基于泊松洞过程的异构蜂窝网络性能分析

陈 永 红，荀 磊

（江苏工程职业技术学院信息工程学院，南通 226006）

0 引言

移动数据业务的爆炸式增长给传统的蜂窝网络带来极大挑战，具有宏小区和微小区的异构蜂窝网络结构应运而生。异构蜂窝网络基站的部署需要根据不同的应用场景进行具体规划。在商场、电影院等热点区域需要部署大量的微蜂窝基站，使基站的部署呈现一定的聚集性，但是基站之间距离又不能太近，否则基站之间会存在一定程度的排斥性。

PPP 由于其理论的可分析性（能给出简单的闭式表达式）以及点与点之间的完全独立随机分布的特性而被广泛应用于蜂窝网络的建模和分析。然而，PPP的应用前提是假设基站独立，这一假设偏离了现实的网络部署，分析的结果比较理想化。为解决网络部署的建模问题，一些文献提出用非PPP 的空间排斥或聚集来拟合现实异构蜂窝网络的不同空间相关性。Ginibre 点过程（Ginibre Point Process，简称GPP）[1-3]和Matérn硬核点过程（Matérn Hard-core Point Process，简称MHCPP）[4-5]被用于拟合同层基站之间的相斥性。Matern 簇过程（Matern Cluster Process，简称MCP）[6-7]和泊松簇过程（Poisson Cluster Process，简称PCP）[8-10]被用于拟合小基站的聚集特性。PHP 被用于拟合MBS 与小基站的相斥性[11-12]。基于非PPP 建模的网络信干比（Signal-to-Interference Ratio，简称SIR）分布难以精确计算，GPP网络中SIR的计算虽然相对简单，但其互补累积分布函数（Complement Cumulative Distribution Function，简称CCDF）的精确表达式中也出现了无限求和与积分的组合，而基于其他非PPP 的网络分析则更加复杂，性能分析也更具挑战性。文献[13-15]提出了基于非PPP 网络的SIR 可以由PPP 网络的SIR 近似代替，这为分析实际网络的性能提供了一种有效方法。

本文从异构蜂窝网络的层间相关性方面研究网络的性能，其中MBS 的部署采用PPP 建模，PBS 的分布采用PHP 建模。文献[16]分析了单层蜂窝网络中基站采用PHP 建模时网络的覆盖概率，本文在此基础上研究了两层异构蜂窝网络的覆盖概率，先根据网络模型给出SIR 的表达式，再用基于平均干扰信号比（Mean Interference-to-Signal Ratio，简称MISR）增益的方法推导MBS 和PBS 的覆盖概率，最后根据用户接入概率，得到系统总的覆盖概率。

1 系统模型

系统由MBS 和PBS 构成两层异构蜂窝网络，结构示意见图1，其中MBS 的部署服从PPPΦm分布，分布密度为λm，PBS 的部署服从PHPΦp分布，分布密度为λp。PHP 的产生过程为：假设是密度为的独立均匀PPP，记以x为圆心，r为半径的圆盘为b(x,r)},令Xr=∪{x∈Φm:b(x,r)，Xr是Φm中所有b(x,r)的并集。，即Φp为中去除Xr区域中的所有点后剩下的点所构成的点过程，其密度将MBS 和PBS 的部署位置均匀放置在[-50 m，50 m]的矩形区域内，两层异构蜂窝网络的基站分布见图2，这里λm=0.001 m-2，λp=0.01 m-2，r=5 m，网络面积为104m2。

图1 两层异构蜂窝网络模型

图2 两层异构蜂窝网络基站分布图

MBS 和PBS 的发射功率分别用μm和μp表示。由于网络模型的平稳性，所有用户都具有相同的统计特性，所以仅考虑位于原点的典型用户。考虑开放式接入方式，以平均最大接收功率作为接入基站的准则，用户接入服务基站的接收功率可表示为，其中k∈{m,p}，路径衰耗因子α＞2，x0为Φk中服务基站的位置，也表示典型用户与服务基站之间的距离，hk0为信道增益，μk表示k层基站的发射功率。典型用户从其余基站接收到的信号则视为干扰信号。在干扰受限的异构网络中，噪声功率可以忽略不计。与位于x0∈Φk处的服务基站相关联的典型用户的SIRk表达式见式（1）。

2 覆盖概率

在干扰受限的下行异构蜂窝网络中，用户接收到信号的信干比大于或者等于给定阈值的概率被定义为覆盖概率。因为用户最多与某一层相关联，所以覆盖概率可以表示为几个不相交事件的概率之和。在本文的网络模型中，覆盖概率PC见式（2）。

式（2）中Am和Ap分别表示典型用户接入MBS 和PBS 的概率，PCm和PCp分别表示MBS 和PBS 的覆盖概率。PCm定义为典型用户从MBS 接收信号的信干比SIRm大于给定阈值θm的概率，即PCm=Pr（SIRm＞θm），PCp定义为典型用户从PBS 接收信号的信干比SIRp大于给定阈值θp的概率，即PCp=Pr（SIRp＞θp）。本文假设MBS 和PBS的给定阈值相等，值为θ。

典型用户从MBS 接收信号的信干比SIRm见式（3）。

典型用户从PBS 接收信号的信干比SIRp见式（4）。

文献[13-15]证明将PPP 视作参考模型，采用SIR 门限缩放的方法可为一般点过程模型的SIR 分布提供一个良好的近似，即将泊松模型网络SIR 分布的门限值θ缩放到θ/G，则可获得非泊松网络的SIR 分布，G称为渐进增益因子，定义为PPP 模型下的典型用户的平均干扰信号比与目标模型下典型用户的平均干扰信号比的比值，数学表达式可写为。典型用户的MISR 定义见式（5）。

式（5）中Eh(S)是接收信号的平均功率，I是干扰功率之和。

根据覆盖概率和SIR 的累积分布函数等价的关系，进而可以求得单层蜂窝网络的覆盖概率。在此方法的基础上推导两层异构蜂窝网络PPP-PHP 的覆盖概率，文献[17]给出PPP 网络中MISR 的计算结果为MISRPPP=2/（α-2）。文献[16]假设MBS 和PBS 密度一定的情况下，通过仿真和数据拟合给出MISRPHP与路径损耗α的关系式，MISRPHP=14.31×α-1.99。PHP 网络的增益因子Gp表达式见式（6）。

基于MISR 的方法推导两层异构蜂窝网中MBS 和PBS 的覆盖概率，然后根据用户接入概率，得到系统总的覆盖概率。MBS 的覆盖概率PCm见式（7）。

其中fm(r0)是服务MBS 和典型用户之间的距离分布，其表达式见式（8）。

式（9a）中用相同密度的ΦPPPP所产生的干扰代替Φp产生的干扰，得到覆盖概率的下界；式（9b）根据PPP 网络概率生成函数（Probability Generating Functional，简称PGFL）[18]得到；式（9c）信道增益服从瑞利衰落，即hmi～exp（1），hpi～exp（1）；式（9d）中

由式（7）和式（8）可得两层异构蜂窝网中MBS 的覆盖概率表达式见式（10）。

PBS 的覆盖概率表达式见式（11）。

式（11）中fp(r0)是服务PBS 和典型用户之间的距离分布，表达式见式（12）。

式（13a）利用的是基于MISR 的近似方法（即用替换θ），这样采用PHP 建模的网络模型中用户接收的SIR 分布可用PPP 网络近似代替；式（13b）根据PPP网络的PGFL[18]得到；式（13c）信道增益服从瑞利衰落，即hmi～exp（1），hpi～exp（1），然后令即可推导出。

将式（12）和式（13）代入式（11）可得两层异构蜂窝网中PBS 的覆盖概率，表达式见式（14）。

文献[19]中指出用户采用开放式的接入方式时，典型用户与特定层相关联的概率取决于基站的密度及基站的发射功率。典型用户接入MBS 的概率Am见式（15），典型用户接入PBS 的概率Ap见式（16）。

把式（10）、式（14）、式（15）和式（16）代入式（2）可得两层PPP-PHP 蜂窝网络的覆盖概率PC，表达式见式（17）。

3 仿真结果与分析

利用MATLAB 2017 软件对两层PPP-PHP 异构蜂窝网络的覆盖概率进行了仿真研究，系统模型的默认仿真参数如表1 所示。

表1 系统参数

图3 给出了不同路径损耗指数α下两层异构蜂窝网络PPP-PHP 的覆盖概率与SIR 门限值θ之间的关系曲线图。当α=4 时，两层PPP-PHP 异构蜂窝网络覆盖概率的仿真结果与其相应的理论推导结果之间存在微小的差距，该差距是因为PHP 分布与PPP 分布之间的干扰近似，验证了基于MISR 增益方法的正确性。本文仿真了排斥半径为2 时的覆盖概率，当排斥半径变大时，微基站个数减少，用户接入基站的概率降低，会导致覆盖概率减小。从图3 可以看出，路径损耗指数越大，覆盖概率越高。随着路径损耗指数的增加，总干扰减小，系统SIR 增加，覆盖概率也随之增加。从图3 中还可以看出在路径损耗指数α相同的情况下，两层PPP-PHP 异构蜂窝网络的覆盖概率高于两层PPP-PPP 异构蜂窝网络。

图3 覆盖概率与SIR 门限值θ 的关系曲线图

4 结语

本文根据平均接收功率最大准则得到PPP-PHP 异构蜂窝网络的SIR 分布表达式，采用基于MISR 增益的方法推导出两层PPP-PHP 异构蜂窝网络的覆盖概率表达式，仿真结果表明两层PPP-PHP 异构蜂窝网络的覆盖概率高于两层PPP-PPP 异构蜂窝网络的覆盖概率，覆盖概率的推导方法可为分析实际网络的性能提供思路。