在初中数学教学中渗透数学思想方法

雷丽青

摘  要：数学学科素养主要是培养学生的认知方略与问题解决能力。加强数学思想方法教学，是深化教学改革的重要课题，可以使学生在体会、了解数学思想方法的基础上，提高思维水平，优化思维品质。在初中数学课堂中如何渗透数学思想方法？本文拟结合具体教学例子，从教材中显性的数学知识出发，分析所蕴含的数学思想方法，阐明如何渗透数学思想，使学生有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。

关键词：数学思想方法;数学教学;初中数学

一、关于数学思想方法

在初中数学教学中，教师挖掘教材中隐含的数学思想方法，把问题设在学生的现有发展水平区域内，按照维果斯基的“最近发展区理论”，可激发学生思考的积极性，有效促进学生智力发展，帮助学生更好地认识和理解数学。

布鲁纳认为：“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记。”在初中数学学习中，学生学习经验的获得很大程度上依赖于模仿记忆。在模仿和记忆时数学思想和方法作为一般原理，反复渗透，就能保证记忆不会全部丧失，遗留下来的将使我们在需要的时候能把一个个知识要点重新构思串联起来，哪怕知识点遗忘了，思想方法都能随时发生作用，使我们受益终生。

布鲁纳的观点：“懂得基本原理可使得学科更容易理解;有利于记忆，适于迁移;能够缩小知识间的初、高级水平层次的间隙。任何学科的基础都可以用某种形式教给任何年龄的任何人。”

日本数学教育家米山国藏认为在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后就忘掉了，唯有铭刻在心中的数学思维方法、研究方法、看问题的着眼点等，随时发生作用，使他们终生受益。

国内外很多数学专家对于数学思想方法的含义及教学有过深层次的研究，但往往是基于理论角度，但基于在初中数学课堂渗透数学思想方法的实践研究还不够。随着新一轮教育改革不断深入，教师们充分认识到数学教学一方面要传授数学知识使学生掌握必备的数学基础知识;另一方面，更要通过数学知识这个载体，挖掘其中蕴含的数学思想方法，使学生更好地理解数学、掌握数学，提高数学素养。而在实际教学中，数学基本思想的渗透却没有象基础知识、技能那样落到实处。作为一线教师，如何把具体的知识化隐为显？这没有具体可操作的方法。下面笔者将结合具体教学例子来说明在初中数学教学中如何统筹安排数学思想方法的教学工作，以求提高学生的数学素养，提升学校的数学课堂教学质量。

二、数学思想方法的应用

初中数学内容包括数学知识与数学思想方法。数学思想方法产生数学知识，数学知识又蕴藏着思想方法。初中数学中蕴含的数学思想方法很多，主要有：整体的思想方法、数形结合的思想方法、化归与转化的思想方法、函数与方程的思想方法、分类讨论的思想方法、类比联想的思想方法等。

（一）关注整体，化难为易

整体思想，就是把一些彼此独立但实质上又紧密联系的量作为整体来处理。通过敏锐洞察问题的本质，加上直觉的作用，把着眼点放在问题的整体上，往往化繁为简。整体思想常常表现为：整体代入、整体补形、整体换元、整式约简、整体构造、整体求和与求积等。

1.数与式中的整体思想

在初中数与式的教学中，设计变式练习，让学生运用多种解题方法，掌握整体思想方法，化难为易，有效促进学生的基础知识转化为基本技能。

设计解读：把2x和kx+b分别看成整体，根据函数值大小关系，由图象直接找出相应的自变量的取值范围，利用整体思想和数形结合想方法。

4.几何图形中的整体思想

整体思想在代数中经常用到，在解決几何问题时，常将问题“化整为零”，但有时也从整体入手才能解决问题，常用的是补形。

题组五：

（1）如图⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离，它们的半径都是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD，则图形中四个扇形（阴影部分）的面积之和是（         ）

（2）如图正方形OCDE的边长为1，阴影部分面积记作S1;如图2，最大圆半径r=1，阴影部分面积记作S2，则S1           S2（用“>”“<”或“=”填空）。

（3）如图某农场有一块长40m，宽32m的矩形土地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽。

设计解读：（1）中的四个阴影扇形的半径相同，将它们拼在一起组成一个圆;（2）中图1的两块阴影补成小矩形ACDF的面积，图2的三块阴影补成最大圆的面积的四分之一;对于（3）可设小路的宽为xm，将4块种植地平移为一个长方形，长为（40﹣x）m，宽为（32﹣x）m，根据长方形面积公式求出小路的宽。

上面例子运用“整体”思想解题，使不好解的题能轻而易举地解答出来，在培养学生思维的同时，也使学生感受到解题的乐趣。

（二）化归思想，多题一法

化归思想是把一种有待解决的问题，通过某种转化过程归结到一类比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。

例题中隐含丰富数学思想，对例题进行加工改编，多题归一，既有利于学生对知识的系统理解也有利于培养学生的解题能力，达到“做一题，会一类”，提高了学习效率。利用多题一法从不同角度、不同侧面认识，有利于培养发散思维，这种变化教学刺激可维持学生的注意力，让学生学习所需内容，并在教学以外的情境应用所学内容。

例题  某开发区新建了两片住宅区：A区、B区（如图1），要从煤气主管道MN的一个地方建立一个接口，同时向这两个小区供气。问这个接口应建在哪儿，才使所用管道最短？

设计解读：例题中求“两点之间距离最短”，用到“三角形两边之和大于第三边”。变式1、2、3、4情景变化为正方形、圆、直角梯形、菱形，但都需用作对称点转化为例题的方法。通过一类题的解法归纳，让学生掌握知识的核心内容，掌握解决问题的方法，可使学生最大可能地理解知识，有助于学生形成有效的知识结构。它还可培养学生思维的深刻性，提高学生的概括能力与反思能力。

（三）数形结合，直观快捷

华罗庚曾说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”通过深入观察，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉。

在教学中，由数想形，以形助数的数形结合思想，可使问题直观呈现，有利于加深学生对知识的理解;在解答数学题时，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，提高分析问题和解决问题的能力。

设计解读：本题组考查二次函数的性质、运用数形结合思想，解答时运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式.

函数及其图象内容凸显了数形结合的思想方法，提高学生数形转化能力，还可以提高学生迁移思维能力。在初中教学中若注重数形结合思想方法的渗透，将会收到事半功倍的效果。

（四）方程思想，几何代数不分家

方程的思想，是对于一个问题用方程解决的应用，是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，利用方程的性质去分析、转换、解决问题。在几何教学中，也有可以用方程可以解决的问题。

例题：如图在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为               .

设计解读：本题考查折叠的性质：折叠属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等。也考查了勾股定理、矩形的性质、方程思想等知识。在Rt△DEF中利用勾股定理找到等量关系，从而列出方程。

（五）分类讨论，考虑问题要全面

分类是以比较为基础，它揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化。强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类意识，并能在分类讨论时注意一些基本原则。

题组七：

（1）CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是（       ）

A.8          &nbsp; B.2          C.2或8           D.3或7

（2）在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2，则平行四邊形ABCD的周长等于                  .

设计解读：本题组主要是几何位置的分类讨论。题目没有给出图形，在做题的时候更容易忽略某些情形。

（六）类比思想，迁移转化

类比法是学习数学的常用方法。在数学中有一些相类似概念，可利用类比法进行学习;另外在教学中也可用类比思想进行教学。

在八年级上学期进行分式乘除法教学时用类比方法，让学生回忆小学学过的分数乘除法运算法则，提示学生分式乘除法法则与分数乘除法法则类似，要求他们用语言描述分式乘除法法则。

张奠宙教授讲，数学思想和数学方法两者实际上没什么区别，评价数学成就的价值时，称数学思想;用数学成就解决某个问题时，称数学方法。在初中数学教学中，通过挖掘教材中隐含的数学思想方法，可激发学生的学习兴趣，调动学生学习主动性，使学生的认知结构不断地完善，能把复杂问题转化为简单问题来解决，提高学习效益，提高学生分析问题和解决问题的能力。

从教育角度来看，数学思想方法比数学知识更为重要，知识的记忆是暂时的，思想方法的掌握是永久的。知识只能使学生受益于一时，思想方法将使学生受益于终生。加强数学思想方法的培养比知识的传授更为重要，数学思想方法的掌握对任何实际问题的解决都是有利的。因此，在平常数学教学中，我们必须重视数学思想方法的教学。

参考文献：

[1]张奠宙，过伯祥.数学方法论稿[M].上海：上海教育科学出版社，1996.

[2]张奠庙.数学方法论稿[M].上海教育出版社，1996.

[3]张桂珍.浅谈数形结合思想方法的应用[J].素质教育论坛，2011.