在变中求不变，以不变应万变

张亚新

数学问题千变万化，但是万变不离其宗，许多问题可以通过对比找到其中变化的量，通过变化来激活学生的思维，发现一定的数学规律，对问题进行深入思考，从而把握问题的本质，再以不变的本质应对万变的形式以及具体问题。

《义务教育数学课程标准》明确提出学生能“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”，在我们平时的教学实践中尤其是低段教学中，对于基础知识和技能，教师往往是比较重视的，也比较容易把握教学目标，但一些教师可能就不会再有所延伸或者拓展，这样很容易忽视学生数学思想的培养。而在后面高段学习中，其实数学思想的体会与运用尤其重要。低段学生可能对复杂深度的数学思想理解有困难，但是教师不能“知难避难”，应该结合低段学生的年龄特点设计课堂教学，采用简单活泼的活动形式让学生初步感悟以及理解数学的基本思想与方法。

“变与不变”思想是小学数学的学习中一个重要的思想方法，许多数学问题的解决正是运用了这种思想。在小学数学教材中，“变与不变”的思想贯穿所有年级，也有很多“变与不变”的素材值得教师好好学习利用，促使学生获得基本的数学思想。下面，从笔者的几个教学案例看如何在小学低段的教学中渗透“变与不变”的数学思想。

（一）运用“变与不变”思想体会数学概念

在小学数学的教学当中，数学概念是基础知识，也是教学的核心内容，想要学习好数学的内容，前提是要有对数学概念的正确理解。数学的概念比较抽象难懂，小学数学学习中概念性知识比较多，小学生尤其低段学生由于其年龄特点，很难长时间集中注意力，对概念性内容兴趣不高，可能会感觉枯燥乏味。在教学中，教师应该一边渗透“变与不变”思想，一边把学生的认知以及教学要求紧密地结合起来。在数学问题中可以找出其中的不变量，利用这些不变量来引导学生观察分析变化量，学生在观察分析对比的过程中，了解概念的内涵，能够更好地体会概念的本质，并将之内化为自己的知识和经验，灵活运用到解决问题的具体情境中去。

教学片段1：二年级《有余数的除法》（初步认识余数）

师：小朋友们，看看你们桌上有什么啊？

生：一堆小棒。

师：今天我们用这些小棒来研究一些数学问题。如果用这些小棒搭正方形，可以搭几个？会有剩余吗？有剩余的话会剩几根呢？

学生猜测搭正方形可能是1个、2个、3个、4个……会剩下小棒7根、8根、3根、2根、1根、5根……教师直接把结果记录在黑板上。

师：同桌两人合作摆一摆，把摆出的结果写在这张记录表上。记录表你们能看懂吗？看不懂的举手。

生：能看懂。左边一列是小棒的根数，中间让我们写可以搭几个正方形，右边一栏写剩了几根小棒。

师：现在怎么填都明白了吗？好，开始吧！

师：看看这个小组得到的结果，你们都是这样的吗？

生：是的，跟他们一样的。

出示课件（图1）

师：看，你们是不是这样摆的？再看看这些剩余小棒的数量，它们有什么特点呢？

生：有剩1根的，還有剩2根、3根的。

生：有剩余的话，剩余的数量都是1根、2根、3根，没有其他的了。

师追问：你观察得真仔细。为什么没有你们刚刚猜的4根？5根？谁能讲清楚这个问题？

生：因为剩下4根，就又能摆一个正方形了，如果剩5根的话，可以再摆一个正方形还剩一根。所以剩不下4根，5根。

师：他说的你们听懂了吗？谁再来说一说。

师追问：他很会思考，再想想会不会剩6根、7根？

生：没有，6根的话可以再摆一个正方形，剩2根。7根的话可以摆一个正方形，剩3根。

师：所以大家思考一个问题，摆一个正方形，最多会剩几根小棒呢？

生：最多剩3根。

通过动手摆一摆、填一填，学生发现了剩余小棒数量是1根、2根、3根，因为小棒总数是在变化的，所以剩余小棒数量变化了也不奇怪。但是为什么剩余的一直是1根、2根、3根？这时通过追问“剩余小棒的数量有没有可能是4根、5根、6根、7根？”引发学生的思考，得出剩余小棒的数量即使再变化也不可能超过3根，因为超过3根后，又可以摆成正方形了。设计“用一些小棒搭正方形，可以搭几个”的学习任务，组织引导学生在动脑猜想、动手操作的基础上进行观察、分析和比较，感知余数的产生以及余数的直观意义。

教师追问：这些都表示四分之一吗？按照平均分的理论，把一个物体平均分成4份，取其中的一份就是表示四分之一，这个分数是相同的，但是它出现的形式变了。利用丰富的数学素材或者情境巩固几分之一的概念，不管形式怎么变化，它的意义没有变，这个分数也就没变。因此在教学过程中，教师要充分注重数学思想和方法的科学准确应用，促进学生对数学概念的真正理解。

（二）运用“变与不变”思想感受数量关系

教学片段2：研究除数与余数的关系

师追问：刚刚我们是摆正方形，如果是摆五边形的话，可能剩几根？

学生回答：可能会剩余1根、2根、3根、4根。

师：所以摆五边形，最多剩……4根。

师追问：那摆三角形呢？

生：1根、2根，最多剩2根。

师：用小棒摆正方形，最多剩3根；五边形最多剩4根；三角形最多剩2根。那摆图形时剩下的小棒根数和图形的边数有什么关系呢？你们能总结吗？

生：剩余小棒根数少于图形的边数。

在刚刚的基础上改变拼搭的图形，实质上就是改变了图形的边数即算式里的除数，让学生进一步想象、推理：用这些小棒搭三角形、五边形、六边形等多边形，剩下的小棒根数和图形的边数之间有什么关系。学生会发现即使图形在变、剩余小棒数量在变，但是他们对应的大小关系不变，在具象理解的基础上再抽象成算式，并能用除法的模型进行初步建构与扩展，进一步体会除数与余数之间的关系。

教学片段3

师：继续观察这组算式，你有什么发现吗？这里哪些不变，哪些是在变化的？

生：除数都是4。被除数在变大。

生：余数总是1，2，3。还有一些余数是0。

师：你们很会观察，余数在变化是1，2，3，除数不变都是4，说明余数和除数有什么关系？

生：余数好像都比除数小。

生：除数比余数大。

师小结：在有余数的除法算式里面，余数都比除数小或者说除数比余数大。

在有余数的除法算式里，通过观察对比这一组算式，能够发现除数一直都没变，因为除数代表的是围成一个正方形所需要的小棒数量，是不会发生变化的。余数是在变化的，因为被除数变了，余数（剩余小棒数量）也发生相应的变化，但是它不会像被除数一样一直变大，无论如何变化都比除数4小。从而揭示了余数与除数的关系。

（三）运用“变与不变”思想探索数学规律

数学规律的发现考验观察能力以及思考能力，比如一年级的《找规律》这节课也蕴含着“变与不变”的数学思想，比较是数学思维和理解的基础，我们可以通过比较以及对比的方法去观察去发现。

教学片段3：一年级《找规律》课间操

师：小朋友们，老师带大家做个游戏，你们想不想玩？

生：想。

师：那你们认真看哦，看谁反应最快，能跟得上我。

老师开始做动作。

第一组：拍手拍手拍肩拍手拍手拍肩拍手拍手拍肩……

第二组：拍手跺脚跺脚拍手跺脚跺脚拍手跺脚跺脚……

很多学生能够跟着一起做。

师：你们怎么都会做了？

生：老师，你做的动作是有规律的。

师：谁也能像老师一样，创造一组不一样的来演一演？

领悟规律的内涵，就要先知道研究对象之间的关系或者联系，对于年纪较小的儿童来说，事物之间比较容易理解的关系就是相同或者不同，也就是我們后面说的“变与不变”。在这组动作里面看似动作发生变化了，但是懂得观察的孩子就会发现，变化的动作里面也有不变的，那就是《找规律》里面最关键的“一组”，这一组（可能是动作、图形、数字）是不变的，是重复发生的。从变化里面找不变（重复），学生就容易找到规律了。找到规律后教师又让学生自己创造规律，带来新的重组、变化。

（四）运用“变与不变”思想建构数学模型

生活中的问题千变万化，在这些问题里总有不变的数量和数量关系，有的问题中看似没有，但实际上这些不变的数量或者关系常常隐含在题目所给的信息中，在解决问题时，教师应该引导学生尽量找到这些“不变量”，把它们作为突破口。小学教材中蕴含着许多关于“变与不变”的素材，教师在研读教材时应该深入挖掘，在教学中无形渗透，帮助建构数学模型，解决看起来较为烦琐复杂的问题，以此提高学生的数学素养。

以三年级上册《多位数乘一位数》单元的解决问题为例。教材里的例题：妈妈买3个碗用了18元。如果买8个同样的碗，要用多少钱？教学这一问题时，教师往往是引导学生画出能表示数量关系的示意图，需要运用两步解决的问题，教师都会问一句“这一题要先求什么”。但是真正教过的老师都会有同感，部分理解偏薄弱的学生对于这三个条件无从下手，理不清这三个量之间的关系。所以这时我们先带学生溯源，为什么是“先求一个碗多少钱”？因为这个问题里其实有两个情境，第一个是“3个碗用了18元”，第二个是“8个同样的碗用的钱”，两个情境其实是有联系的，碗是一样的，所以每个碗的价钱是一样的也就是单价不变。我在教学这部分的内容时，问的第一个问题不是“先求什么”而是“在这个问题中，你们找到相同或者不变的量了吗？”这里把不变的量作为突破口，一旦找到这个不变的量，问题就能迎刃而解。先要求出每份数，再求总数或份数的两步计算解决问题，就是“归一问题”的数学模型。

类似的还有这单元的“归总问题”，教材里面的例题是“妈妈买6元一个的碗，正好买6个。用这些钱买9元一个的碗可以买几个？”这个题目同样有两个情境，一个是“买6元一个的碗，正好买6个”，然后是“用这些钱买9元一个的碗可以买几个”。在这两个情境里面，碗的单价改变了，但还是有不变的量，那就是总价钱。所以用这个不变的量去沟通两个情境，建立联系，就能求出第二个情境的数量，从而建立“先求出总数是多少，再去解决具体问题”的归总问题数学模型。

通过比较，引导学生找出不同事物共同的本质属性，促进数学模型的建构。问题从情境中来，等到熟练运用“变与不变”的数学思想后，学生就会从不断变化的情境中发现所有这些问题的结构、本质都是相同的，通过观察、分析、比较、推理跳出具体情境，从具象的形式中抽象出其本质，促进学生思维的进一步发展。在数学教材中，无论是概念的引入、规律的探索或者模型的建构都蕴含着数学的基本思想方法，教师备课时一定要深入钻研教材，挖掘出重要的数学思想方法。

教师在低段的教学中，如果能在平时渗透“变与不变”的思想，学生在日后或者高段更加有难度的数学学习中也会受益，对于一些比较难理解的知识点学生首先会从这一思想出发去思考。例如，积的变化规律、商的变化规律，这两个课时都是所在单元的难点，尤其两个课时学完做练习时，学生很容易把里面的两个知识点混淆，即“什么情况下积不变、什么情况下商不变”。教学时有一点一定要让学生体会到，如果是最后的结果不变，那么另外两个能导致结果的元素必然是发生变化的，也就是我们所说的“变中有不变”。难点在于另外两个元素分别怎么变化。在课堂教学中，通过举例、对比一组组算式发现，如果要使积不变，那么两个因数的变化趋势必然是相反的。如果要使商不变，那么被除数和除数的变化趋势是一致的。

我们周围的世界每天都在发生变化，而变化又会带来新鲜事物、带来发展，作为一个老师更不应该拒绝变化，要跟着时代一起进步。但是在变化的同时，不忘初心，有时还是要回归最本质最自然的状态，在变化中寻求一种平衡，在平衡中继续适应不断变化的万千世界。