实时混合试验的自适应线性二次高斯时滞补偿方法研究

张 博，周惠蒙，田英鹏，国 巍，古 泉，王 涛，滕 睿

(1. 中国地震局工程力学研究所，中国地震局地震工程与工程振动部门重点实验室，哈尔滨 150080；2. 广州大学工程抗震研究中心，广州 510006；3. 中南大学土木工程学院，长沙 410075；4. 厦门大学土木学院，厦门 361005)

高速铁路多架设在高架桥梁上，高铁列车高速运行过程中与桥梁之间的由于动力相互作用引起的耦合振动对高铁行驶稳定性有较大影响，其中轨道桥梁截面刚度是影响车桥耦合振动的重要因素，通常采用数值仿真或线路试验研究其对车桥耦合振动的影响，但是数值仿真对非线性的模拟精度有限，而线路试验的成本太高，因此本文研究采用实时混合试验对车桥耦合系统进行参数分析模拟[1]。

实时混合试验技术(RTHS)是由拟动力试验的发展而来，可以模拟结构在真实地震或其他荷载下的动力响应，因为采用子结构，所以试验子结构可以做到大比例尺甚至足尺，能够有效提升工程结构系统的动力试验结果可信度，并降低试验成本，已经在土木、机械、海工、高铁等领域得到广泛应用[2-4]。实时混合试验将结构划分为数值子结构和试验子结构，数值子结构计算出边界的运动量(如位移、速度、力等)，通过振动台(或作动器)向数值子结构施加目标运动量，并将试验体产生的反力反馈回数值子结构，进行计算下一时刻的数值命令，形成闭环。振动台(或作动器)从接受命令到实现该命令之间存在一定的时间延迟，即为时滞，时滞越大，试验结果越不准确，严重会造成试验失稳，因此，需要对振动台(或作动器)进行时滞补偿。

针对土木工程结构抗震试验需要，一些学者提出了一系列的时滞补偿方法并应用在实时混合试验中[5-14]。吴斌等[5]提出了基于最大时滞的作动器动力补偿方法，采用与期望位移最接近的过补偿位移作为最佳命令；王贞等[6]提出实时混合试验变时滞的自适应时滞补偿方法，基于最小二乘法估计位移信号；徐伟杰等[7]对逆补偿方法参数α 进行研究发现：参数α 与补偿的时滞存在约10%误差，根据振动台时滞和信号频率给出参数α 的取值范围；Philips[8]提出一种多矩阵反馈控制结合模型高阶导数的控制器，提高了对振动台非线性试件的位移和加速度追踪的性能；Gao 等[9]采用H∞方法补偿内环伺服作动器时滞，在0 Hz～25 Hz 白噪声激励下能够补偿大约12 ms～13 ms；Zhou 等[10]提出了基于鲁棒线性二次高斯控制方法，采用伯德图和奈奎斯特图分析控制器的稳定性和鲁棒性，并应用在Benchmark 问题中，结果表明该方法具有很好的鲁棒性。Ou 等[11]提出了一种鲁棒的集成执行器控制(RIAC)策略，基于H∞优化的环路整形反馈控制，用于噪声影响最小化的线性二次估计块以及可减少小残留量的前馈块延迟/滞后。Chae[12]提出了自适应时间序列时滞补偿算法，算法根据振动台命令和响应信号大批量数据，并基于最小二乘法预测下一时刻的位移，能够有效解决实时混合试验中的时滞问题。Ning等[13]采用自适应前馈控制器降低时滞，并结合反馈控制提升时滞补偿器的鲁棒性，试验结果表明这种控制策略时滞补偿能力较好。李宁等[14]针对作动器的负载不同提出了自适应时滞补偿方法实现RTHS 中的跟踪控制，模拟验证结果表明鲁棒性较好，实用性较好；李小军等[15]提出将加加速度反馈信号和加加速度前馈信号引入控制系统中，提高了振动台系统的有效频带；纪金豹等[16]提出多参量反馈控制方法能提高振动台子结构试验中主动质量驱动器(AMD)的控制带宽；Tang等[17]提出全状态仿真控制(FSCS)来提升振动台RTHS 对高频信号和结构非线性结构的加载特性；迟福东等[18]将考虑时滞补偿策略进行实时混合试验的稳定性分析，并且在考虑补偿的情况下分析混合试验的临界时滞作为试验参考；唐贞云等[19]通过增益裕度等量化指标分析时滞补偿对实时混合试验中的稳定性影响。目前的时滞补偿方法主要是针对结构工程的需要，因为结构的频率相对较低，应用到高速列车车桥耦合振动中时，由于铁道梁桥的频率一般在10 Hz 以上，需要针对性地研究宽频带时滞补偿方法。迟福东等[18]、唐贞云等[19]进行实时混合试验稳定性分析，研究表明，数值子结构频率越高，系统的临界时滞越小，对时滞补偿的要求越高，因此，进行车桥耦合系统的实时混合试验需要在高频段也要对时滞进行很好的补偿。

本文提出了自适应线性二次高斯(ALQG)时滞补偿算法，能够用于实时混合试验的高频信号输入下的时滞补偿，进而提升试验系统稳定性。采用高铁桥梁轨道与车体的耦合系统(车桥耦合系统)实时混合试验验证算法的可行性，将简化的7 跨桥梁轨道简支梁作为实时混合试验的数值子结构，1/4 缩尺的车辆模型作为试验子结构。采用ALQG 方法，考虑不同轨道梁截面的影响进行了多种工况下车桥耦合振动的实时混合试验，验证方法的可行性和稳定性，并与ATS 方法比较，验证方法的优越性。

1 ALQG 算法原理

ALQG 方法通过线性二次高斯(LQG)控制器提高控制系统的带宽，减少高频信号的时滞。在其基础上，结合ATS 对剩余时滞进行补偿，从而提高对高频信号的时滞补偿能力。

图1 为ALQG 原理框图。其中，被控对象为振动台，自适应补偿器ATS 计算预测信号，状态观测器和线性二次调节器(LQR)控制器组成LQG 控制器，进行外环时滞补偿并提升系统鲁棒性。xt为数值子结构计算出来的目标位移信号，、是由位移命令进行差分得到的速度和加速度命令，xcom是目标信号经过自适应补偿器ATS 补偿之后的信号，yGc为振动台接受到的命令信号，xm为振动台的响应信号。下面分别介绍LQR、状态观测器和ATS。

图1 ALQG 原理框图Fig. 1 Principle block of ALQG

1.1 LQR 控制

线性二次调节器LQR 和状态观测器构成LQG控制。本研究基于单输入单输出系统的连续传递函数设计LQR 控制器，这个传递函数是采用限带白噪声输入由振动台的输入输出信号识别得到的，一般表达式如下：

当被控对象中无积分器时，当系统输入阶跃信号时会逐渐收敛，但会存在稳定误差。当在被控对象与输入输出的误差比较环节之间引入积分环节(如图1 所示)时，并取合适的 ，可以将稳态误差降低为0，K为系统状态X的增益矩阵。选取合适的增益kI和增益矩阵K即为LQR 控制器的设计，LQR 控制器表示如下：

则当前系统的动态特性为：

已知被控对象数学模型的状态方程，采用最佳调节器LQR 方法设计，求解里卡蒂方程，确定最佳控制矩阵K：

使得下列性能指标达到最小值：

式中：Q为实对称矩阵，由于系统为单输入-单输出系统；R为标量。

1.2 状态观测器

由于振动台-试验体系统的状态量无法直接测量，因此在控制系统中引入全阶状态观测器。根据图1，状态观测器的方程为：

1.3 自适应时滞补偿器ATS

ALQG 采用自适应时滞补偿序列(ATS)[12]进行剩余时滞的补偿。ATS 是基于泰勒展开，预测信号描述为：

1.4 LQG 性能

图2 采用LQG 的控制系统幅相频曲线Fig. 2 Amplitude-phase curve of control system using LQG

2 试验设计

试验对象为高铁桥梁轨道与车体的耦合系统(车桥耦合系统)，图3 为车桥耦合系统简图，将车桥系统看作3 自由度系统，分别是车体、转向架和桥梁，试验中只考虑桥梁的竖向位移。

图3 车桥耦合系统简图Fig. 3 Diagram of vehicle-bridge couple system

当车辆高速行驶时，车轮与桥梁轨道之间的振动会影响高速车辆的稳定性，桥梁的截面的参数(梁高、腹板厚度、截面积、惯性矩等)会影响桥梁的自振频率，这些参数实质上影响桥梁的刚度，会使得桥梁振动的信号处于不同频带，进而测试ALQG 对不同频率信号的补偿效果。将振动台实时混合试验技术应用于车桥耦合系统中，以研究桥梁截面参数对车辆行驶稳定性的影响。

不同的加载条件下(不同的桥梁截面刚度)，用ALQG 控制器来修正位移命令，使得响应信号的幅值和相位与命令信号尽量一致，并利用命令与响应信号的均方根误差作为时滞补偿效果评价标准。

2.1 子结构划分

在高速铁路车桥耦合系统的实时混合试验中，将7 跨(每跨32 m)桥梁的简支梁桥作为数值子结构，桥梁简化模型如图4，将桥梁简化为简支梁，桥梁、桥墩和地基之间力传递均看作弹簧阻尼。将车体和转向架简化的1/4 车体模型作为试验子结构，车体模型为质量块，重量为真实车体质量的1/4，转向架采用弹簧阻尼代替，图5 为试验子结构模型等效示意图，图6 为试验体和传感器布置图。

图4 数值子结构模型Fig. 4 Model of numerical substructure

图5 试验子结构模型等效示意图Fig. 5 Equivalent schematic diagram of experimentalsubstructure model

图6 试验体及传感器布置图Fig. 6 Experimental body and sensor layout

实际中，车轮受到桥梁轨道的竖向振动，车体、转向架都是竖向运动；但在本研究中，由于试验条件限制，采用的是水平单向加载的振动台，因此将车体和转向架的运动方向由竖向转换为水平运动，重力作用采用数值计算与测量的轮轨力相加，同时因为导轨非常光滑，车体和转向架模型的重力影响可忽略不计，桥梁轨道、车体和转向架的动力相互作用没有变化。

为方便试验体的设计，试验体的质量、刚度、阻尼等参数与高铁原型相应参数的质量缩尺比值为0.0045，车体与转向架之间的质量、阻尼和刚度分别为38 kg、45 (N·s)/m 和1012.5 N/m；转向架与车轮之间的质量、阻尼和刚度分别为4.63 kg、90 (N·s)/m 和7974 N/m。

2.2 试验框架

车桥耦合实时混合试验是由数值子结构、控制算法ALQG、试验子结构、振动台及其控制器组成，数值子结构采用移动载荷卷积积分法[4](MLCIM)求解每一时步k的桥梁变形信号xkt，发送至预测算法ALQG 计算出预测信号ykGc，通过Pulsar 控制器将预测信号发至振动台进行加载，将振动台响应信号反馈至控制算法ALQG 中形成内环；振动台产生动作以加载试验子结构，质量块和转向架的惯性力和重力转化为交界面的轮轨力fk反馈至数值子结构，用于计算下一时刻k+1的桥梁变形信号，形成外部闭环。轮轨力计算公式如下：

使用到的软件为Matlab/Simulink 和Pulsar 控制软件，Matlab/Simulink 用来搭建数值桥模型和ALQG 算法，Pulsar 控制软件接收到预测信号xcom控制振动台运动；硬件为算法运行平台xPC目标机、数据实时通信模块Scramnet 卡以及加载平台单自由度振动台。实时混合试验开始前将Matlab/Simulink 中数值子结构、控制算法等编译后下载至xPC 目标机中，通过Scramnet 卡进行发送接收数据，试验中的数据采样频率为1024 Hz，上述软硬件构成实时混合试验的实时环境。基于ALQG 时滞补偿的车桥耦合系统实时混合试验总体框架如图7 所示。

图7 实时混合试验框架Fig. 7 RTHS experiment frame

2.3 试验工况

采用ALQG 控制算法对车桥耦合系统的实时混合试验中振动台的时滞进行补偿，用于桥梁截面的参数对车桥耦合振动影响的分析，可以通过改变梁高、腹板厚度和截面积以调整桥梁刚度以达到对桥梁整体变形信号频率的改变。本次试验设定列车速度为300 km/h，选择3 种桥梁截面(形状见图8 和表1)作为试验工况，验证ALQG 算法的补偿效果和稳定性。

表1 桥梁截面信息Table 1 Bridge section information

图8 桥梁轨道横截面[20-21]Fig. 8 Bridge section shape[20-21]

3 试验验证

3.1 正弦信号输入测试

首先分别对振动台输入加载频率为1 Hz～40 Hz正弦曲线，分别采用ALQG 和ATS 补偿器进行补偿，测试算法的控制效果。采用1 Hz～40 Hz 单频正弦信号测试振动台系统不同频率下的时滞，振动台的时滞如图9 中所示，并基于两种控制器测试出不同频率的最大补偿时滞。根据图9 中结果，可以看出，ALQG 相比较于ATS 方法更接近于振动台系统时滞，而且对高频信号，补偿的时滞更大。

图9 不同频率下最大补偿时滞Fig. 9 Maximum compensation delay at different frequency

3.2 实时混合试验验证

将ALQG 控制器应用在车桥耦合实时混合试验中振动台的时滞补偿，验证其在实时混合试验中的补偿效果，通过比较命令信号与响应信号的时域曲线，并采用均方根误差作为衡量标准，判断ALQG 控制器的补偿效果；同时采用ATS 补偿进行补偿作为对比试验。图10～图12 分别为命令信号与响应信号的时程图、功率谱和幅相频曲线对比图。

图10 为命令与响应的时域比较图，当命令曲线和响应曲线吻合度越高时，表明时滞补偿方法对命令信号的复现能力越强，图10(a)～图10(c)展示了ALQG 和ATS 方法的补偿效果对比，整体上，ALQG 方法能够将时滞补偿到5 ms 之内；图10(d)～图10(f)中展示了两种时滞补偿方法在峰值处的局部对比，能够观察到除尖峰处外，ALQG 响应与命令信号吻合度较高，只存在微小波动；但在峰值处，ALQG 响应于命令信号有差异，这是由于在峰值时刻，振动台需要反向运动，液压作动器处于换向阶段，此时作动器动态特性存在静态摩擦，即死区，ALQG 方法在ATS 方法基础上，结合了线性的LQG 方法，提高了响应的速度，所以在尖峰处存在一定的幅值误差。为了保证试验的稳定运行，尽可能减少时滞。需要在减少时滞和减少尖峰处幅值误差之间取得平衡，综合考虑，ALQG 性能要优于ATS。

图10 命令与响应信号比较的时程图Fig. 10 Time history of command and response signals

图11 为在频域中对命令和响应信号进行对比：从图11(a)～图11(c)整体图，能够看到在各频率点下，两种时滞补偿方法的补偿效果相当；从图11(d)～图11(f)局部放大图，将频率点4 Hz～8 Hz的频率响应对比进行放大，能够看到ALQG 响应与命令信号两条曲线吻合度非常高，说明ALQG补偿方法表现出更好的复现能力。从时域和频域结果表明，ALQG 补偿方法能够在实时混合试验中取得优秀的补偿效果，对于中高频信号(4 Hz～8 Hz)，也表现出较强的复现能力。

图11 命令与响应信号比较的频域图Fig. 11 Command and response signals comparison in frequency domain

图12 为各工况下振动台系统(yGc到xm)、ALQG系统(xt到xm)和ATS 系统(xt到xm)的幅相频曲线对比，说明ALQG 和ATS 方法对高频信号的时滞补偿作用。从图12 可以看出，ALQG 系统的相角曲线在0 Hz～20 Hz 滞后接近0，明显小于ATS 补偿方法，说明ALQG 方法比ATS 对高频信号有更好的时滞补偿作用。

图12 传递函数对比图Fig. 12 Transfer function comparison chart

采用均方根误差RMSE(式(17))对补偿效果进行评估，各工况的时滞和均方根误差在表2列出。

表2 中，采用ALQG 时均方根误差和时滞分别为6.04%～7.01%和0 ms～5 ms，远低于采用ATS时的13.02%～15.96%和0 ms～11.3 ms，ALQG 达到了时滞补偿的预期效果。

表2 时滞与均方根误差Table 2 Time delay and value of RMSE

4 结论

针对车桥耦合系统实时混合试验中的10 Hz～20 Hz频率信号时滞问题，本文提出了自适应线性二次高斯控制器ALQG，采用LQG 提升控制系统带宽的基础上，结合ATS 补偿剩余时滞，从而实现宽频带信号的时滞补偿。本文采用车桥耦合系统的实时混合试验验证控制算法的有效性，时域和频域的实验结果表明：采用ALQG 的试验中，命令信号与响应信号的时滞保持在0 ms～4 ms 范围内，均方根误差为6.04%～7.01%范围内，而且在命令和响应的频域信号吻合度非常好，时滞补偿效果优于ATS。