基于LFSTM的中学数学解题靶向确定

欧阳亮， 胡吉振， 胡典顺， 吴健荣

(1.华中师范大学 数学与统计学学院， 湖北 武汉 430079；2.丽水学院 教师教育学院， 浙江 丽水 323000；3.苏州科技大学 数学科学学院， 江苏 苏州 215000)

一、问题的提出

波利亚(George Polya)在谈到数学怎样解题时指出：“等价辅助题目链在数学论证中是司空见惯的。”[1]所谓的“等价辅助题目链”是指在解题时，对题目进行一连串等价变换时所得的题目。等价辅助题目链的作用就是将原来的求解题目等价变换成已知的或是明显可以解答的题目。这说明等价辅助题目链的产生是有方向性的，虽然波利亚给出了等价辅助题目链变换的方向“已知或是明显可以解答的题目”和关于解题策略的“怎样解题表”，但在问题解决过程中变换靶向并不是十分明确。

中学数学解题的LFSTM模式，即在数学解题过程中，指引等价辅助题目链朝着元素化少、化熟和化同的方向进行变换的思维模式称作“少熟同思维模式(Less-Familiar-Same Thinking Model)”，即LFSTM[2]。LFSTM为中学数学解题等价辅助题目链的产生提供了方向。但是当等价辅助题目链应用LFSTM无法产生或是产生多个分支时，就会给解题带来困惑。

从LFSTM的角度出发，可以选择把次幂化“少”，角化“少”或是两者同时化“少”，而且在角化“少”的时候，是化“少”成什么角，是化成两倍角还是单倍角呢？在化“少”的靶向上产生了分歧，导致解题陷入了困境。

这有点类似问题解决的爬山法[3]，爬山法的基本思想是设立一个目标，然后选取与起点临近的未被访问的任一节点(有多种选择)，向目标方向运动，逐步逼近目标。虽然爬山法有助于问题的解决，但是在策略和目标的选取上，是通过“试误”或是“尝试”来解题。那么，对于爬山法中多种节点的选择上，是否存在一个或几个比较“便捷”的路径，这是需要甄别的。于是，需要进一步研究当在等价辅助题目链产生过程无法出现或出现多个分支时如何确定变换的方向。

根据全国科学技术名词审定委员会审定公布的靶向定义是指对特定目标采取的行动，我们把通过等价辅助题目链将原题目等价变换成“已知或是明显可以解答的题目”所采取的行动称作解题靶向。为了找到一种基于LFSTM的中学数学解题靶向，我们需要对LFSTM做进一步的分析。

二、基于LFSTM的中学数学解题分析

(一)LFSTM的心理分析

问题解决过程中思维指向“少”是一种心理或思维的本能。1973年库珀(Copper)等人通过“心理旋转实验”，发现人们在完成作业时总是倾向于把作业中的元素转换成最初的表象(表象是心理表征的一个部分)[4]。邓铸等指出问题内部表征的形成机制有样例类比、问题空间表象化、问题范畴化等形式[5]。从这些形式的内部表征形成机制看，问题内部表征的建立依赖于知觉系统对有关问题信息的觉察和过去知识经验对知觉信息的解释，特别是已有的问题样例和理论范畴，可以使问题得到快速表征。韦斯伯格(Robert W.Weisberg)也指出“人们总是从他们所知道的东西开始着手解决问题，并逐步修改这些思路以适应当前的问题情境”[6]。也就是说在解决问题中思维倾向于将问题转化为“熟悉”的表征，“熟悉”成为问题解决思维的起点。而化“同”为化“少”和化“熟”指明方向。

将试题：“锐角△ABC满足sin(A-B)=cosC，求角B的大小”给高中生解答。在高一9月刚开学时，学生选择的方法是利用初中已经学过的公式cosC=sin(90°-C)将函数名变“少”；在高一下学期结束时让上述相同的同学再次进行解答，绝大部分学生选择的方法却是把角化“少”。思维的主体集合没有变，思维的客体(对象)没有变，不同解题方法的选择，反映出主体在进行思维活动时，是以主体的思维为主导，较少关注客体(对象)，而主体的思维在习得新知识和新技能后发生了变化，从而导致了问题解决过程中思维的改变。

所以，LFSTM应该是中学数学解题思维的起点，更多侧重于对解题中个体本能反应的描述。这种本能的反应是以自我意识为主导，较少从问题的本质入手或是不太深入地分析问题的本质属性，属于思维的条件反射，是个体数学直觉的反应。它是思维主体性体现，是主体的思维，“为人的认识活动和实践活动提供了自身的内在尺度”[7]。同时，朱智贤、林崇德[8]指出思维能力是分层次的，因为“智力是分层次的，智力的层次，主要体现在思维能力上”。那么，LFSTM应该是属于中学数学解题思维的基础层，为中学数学解题等价辅助题目链的产生提供基础的、数学直觉的、主体性的思维靶向。

(二)基于问题解决客体(对象)的分析

在相关研究评述中我们提到数学解题需要对问题进行准确的表征。认知心理学研究者通常认为问题解决机制中问题表征就是理解问题，仅仅是个体内部的心理过程。有学者对此提出了质疑，其使用Tic-Tac-Toe式同型游戏问题作为实验材料，发现问题的外部结构与情景不只是对内部意识的输入和刺激，它也具有独立于内部表征的作用[9]。这就是说问题解决过程中不能只关注个体内部的心理过程——主体，还要重视问题的外部结构与情景——客体(对象)。“现实的思维活动只有在既有主体又有客体，并且在主体和客体通过实践的实际相互作用中才能产生和形成。”[10]不存在单一的主体的思维，或是客体的思维，思维都是主体思维为主导的联系客体(对象)的思维。

格式塔的知觉场理论认为，“良好均衡的知觉场的形成取决于问题解决者超越了对于事物的表面特征的认识，而领悟到事物之间的内在关系，这种均衡良好的知觉场的形成，问题就会迎刃而解”[11]。于是对于客体(对象)的分析要把握问题的本质与核心概念，并建立起与问题解决相关的概念、命题的内在联系，建构良好均衡的知觉场，以及对问题的准确表征。我们把这种基于问题解决的客体(对象)而展开的思维称作客体性(对象性)思维。也就是，问题解决过程中个体思维要从自我意识为中心转化到以客体(对象)为中心，体现基于客体(对象)的客体性思维。

如对于上面的例子“锐角△ABC满足sin(A-B)=cosC，求角B的大小”，若学生能从客体(对象)的角度展开思维，在问题不变、解决问题的程序随着实践活动、经验、观念的积累不出现简化的情况下，解决方法和行为应该是不变的。上例若利用LFSTM从客体性(对象性)思维的角度出发，可以发现三个角化“少”暂时只能化为两个角；而三角函数名化少，却可以直接化成一个。三角函数名化“少”更有利于问题的解决。这样通过对客体(对象)的分析，即使学生在习得三角恒等变换后，由于新的方法没有使原有的程序带来简化。所以，等价辅助题目链的产生靶向是不变的。

“思维客体属于现实世界，是现实世界的一部分，但并非现实世界的一切现象、一切事物都是现实的思维客体，只有那些为人的认识活动、实践活动触及或指向的事物，成为实现人的目的、本性和本质力量，从而满足人的某种需要的对象，才能成为思维主体的现实的思维客体。”[12]也就是说，在问题解决过程中，思维客体需要甄别和选择，应该抓住客体(对象)的主要矛盾和主要方面，舍去无关因素，抓住客体(对象)的本质。当然也不能忽略个体的主体性思维，此时主体性思维是在基于对象(问题)客体的特征下展开的。

(三)思维的社会历史性

社会性是思维主体的最本质规定之一，不了解思维主体的社会性，就不能揭示思维现象、思维活动的社会根源和现实基础，因而就不能揭示思维和思维结构的深刻本质[13]。思维作为主体的思维，是在一定的文化和观念的基础上慢慢积累产生、演变和发展的，并受社会历史条件的制约，具有社会历史性。而“作为主体活动对象的客体，是同主体的需要、主体的本质力量所能达到的可能界限和范围，以及主体所处的历史条件、社会关系联系在一起的，是随主体的发展和主体所处的历史条件的变化而不断扩展的。客体不是始终如一、一成不变的老样子，而是不断变化的社会历史的产物，是以劳动、实践为基本内容的人的历史活动产物。”[14]也就是思维的客体(对象)是随着思维的主体的社会实践、历史条件、社会关系的变化而变化的，同时思维客体(对象)的变化，也影响着主体思维的变化。

怀尔德(R.L.Wilder)指出一个人的数学实在观往往离不开特定的文化背景[15]。个体数学实在观的建立是在生产活动中积累产生的，具有社会和历史的痕迹，这种痕迹以文化约定的方式外显出来。数学思维作为数学实在观的一个方面，必然也体现着文化的约定。

(四)LFSTM、基于对象—客体的思维及思维的社会历史性的联系

LFSTM作为主体思维的一种，是个体展开中学数学解题思维活动的基础之一。但是，只有思维的主体，而没有思维的客体，思维活动是无法产生的。任何真正的思维，都必是关于他自身之外的某种客体、某种对象的思维。如果思维没有了思维的对象，它就成了无本之木、无源之水，没有了存在的根据和思考的价值。同时思维作为主体主导的关于对象的思维是不能脱离社会性和历史性而孤立存在的。思维是在一定的文化、观念的基础上产生和发展的。

它们三者构成了数学解题思维的整体结构，对客体(对象)的分析开启思维活动，受到社会和历史制约的主体思维积极检索、分析、甄别问题解决的程序，得出解决问题的方案，对解决问题的方案进行实践与检验。在实践和检验的过程中，有可能会出现新的需要解决的问题，所以问题解决的思维过程不一定是单向的，有时需要上述思维活动多次循环以实现问题解决。LFSTM和思维的社会历史性在个体反复的实践活动中可以相互转化，它们视域的交集也会增大。同时LFSTM、对象性(客体性)思维和思维的社会历史性三者之间也在反复的实践活动中相互促进、发展和完善。比如：当主体第一次在问题解决的过程中用到二次函数的配方法，这时的配方法属于社会历史性文化约定的范畴，因为这是数学研究者、教育者和使用者在实践中约定俗成的方法。但是随着对配方法深入的认识，发现它属于LFSTM的范畴，因为配方法实现了变量的化“少”；并且随着反复的实践，配方法也由不“熟悉”内化为“熟悉”的方法，依然属于LFSTM的范畴。而基于LFSTM的“货源充足和组织良好的知识仓库网络”的建立，网络中知识、方法节点的增多，网络结构的完善和链接的增强，也有利于对客体(对象)本质的认识，有利于对文化约定的分析和理解。同时对客体(对象)本质表征的精确把握，让主体思维的LFSTM靶向更加准确，在问题解决的实践活动中主体也对问题的本质有更深入的了解。当然对文化约定视域的扩大，有利于主体对客体(对象)的理解、分析和抽象，有利于LFSTM心理网络节点的增加和网络整体结构的完善，更有利于问题的解决。

三、基于LFSTM的中学数学解题靶向

(一)基于LFSTM的主体思维靶向

主体思维作为思维活动的起源和基础，为问题解决提供了基础的思维方法和方向。主体思维靶向，即从主体的角度出发产生的问题解决的行动。LFSTM为主体的思维提供了中学数学解题等价辅助题目链的产生朝着“少数同”方向行动的目标。这与相关研究评述中波利亚、涂荣豹等提出的解题策略不谋而合。如对于上面例子“锐角△ABC满足sin(A-B)=cosC，求角B的大小”，通过角化“少”和三角函数名化“少”都可以对原题进行解答。但是基于LFSTM主体思维靶向，并不是绝对对客体(对象)的忽视，而是在理解、提取客体的问题表征后，从主体的思维角度出发去寻求中学数学解题的靶向。

LFSTM的主体思维靶向的确定，随着LFSTM的“货源充足和组织良好的知识仓库网络”中知识、方法节点的增多，网络结构的完善和链接联系的增强而发展和提升。

(二)基于客体(对象)的思维靶向

“问题解决包括对初始问题连续的再阐述；对一个复杂问题的解决过程包括提出一些连续的更精炼的问题——更能体现已知信息与目标之间关系的问题。这一系列问题提出的同时，也将总的解决问题的目标分解为一层一层的次目标，通过逐次对次目标的实现，达到对原问题的最终解决。”[16]从中可以得出，问题的解决是围绕问题本身展开分析和分解的。所以思维是基于对象的思维，对象也就作为它的内容而规定着它。对于问题解决不能忽视对象。结合基于客体的思维和靶向的概念，提出运用主体思维从客体(对象)的角度出发，分析发现客体(对象)的目标或解决问题的难易程度而产生的问题解决行动称为客体性(对象性)思维靶向。以下例来说明基于LFSTM的客体性(对象性)思维靶向。

通过前面的分析，得出单纯从LFSTM的角度出发在化“少”的靶向上产生了歧义，导致解题陷入了困境。但是，若从客体(对象)的角度进行分析，可以很快地确定化“少”的靶向。因为是求α+2β的大小，所以等价辅助题目链的产生应该朝着角化“少”成α和2β两个小目标来产生。于是两式分别化为：3sin2α=cos2β，3sinαcosα=sin2β，相除即得解。

对象性—客体性思维的提高，需要个体有意识地从客体(对象)的角度分析、思考、抽象问题，建构准确的问题表征。并在反复的实践活动中提高自己的客体性(对象性)思维。当然，主体思维LFSTM网络的完善和增强，以及基于文化约定的思维提升也有助于主体分析、理解客体(对象)。

(三)基于LFSTM的文化约定靶向

“约定主义认为数学思维是一种发明过程，数学的公理、符号、对象、结论的正确性，无非是人们之间的一种约定。”[17]虽然从约定主义的角度将数学看成是一种约定有其片面性，但是不可否认约定是数学的一个属性。文化的进步和发展离不开社会的约定。审视数学的发展，数学概念、命题、定理、方法等的提出和确定，都是经过数学猜想、逻辑论证、交流反思后，才达成约定的。而这种约定是数学阶段性发展的成果，是数学研究者、教育者或使用者通过数学交流达成的共识。譬如：数学研究者、教育者或使用者在解一元二次方程的反复实践活动中，发现运用配方法、求根公式法或是分解因式法能很好地解决问题。于是在实践活动、交流过程中慢慢地达成默契，形成共识，确定了为大家所接受的解一元二次方程的几种常用方法。

对于文化约定靶向思维的提高，需要个体积极地学习数学文化知识、勤于实践、乐于反思。从前人类的数学科学实践和成果中获得新知，丰富个体的数学文化约定知识储备，并通过理解和实践将约定内化成LFSTM的范畴，成为LFSTM心理网络图示的知识与方法节点。

四、结语

基于LFSTM的中学数学解题靶向分为三个维度：主体维、客体(对象)维和社会历史维。在中学数学解题过程中受到社会历史性约束的主体首先对客体(对象)进行理解、分析和抽象，形成问题的表象；随后主体利用LFSTM围绕问题的表征展开解题方法和策略的计划、检索、评价、调节和实践，直到问题解决。三个维度的有机结合构成了中学数学解题的思维结构，三个维度互相独立，但又可以相互转化，互相制约，相互促进。

基于LFSTM的主体思维、基于客体(对象)的思维和文化约定的靶向确定为中学数学解题等价辅助题目链的产生提供了更具体的方向。教师可以将其应用于习题课、试卷讲评课、复习课，或是概念课的习题演练环节。学生可以应用于指导等价辅助题目链的产生，为解题提供方向。▲