以“领学”为助力，在数学实验中探寻学生的已知与未知

林超

［摘 要］“做中学”作为辅学手段，与“数学实验”的理念极为契合，可以促進学生思维能力的发展，顺利化解知识难点，为学生的核心素养发展提供助力。在数学思维活动的参与下，以“领学”为助力，以完成共同的实验任务为载体，在学生之间相互协商确定的规则下，“领学”引新、同伴互学，从而促进理性思维、验证数学猜想、归纳数学规律、解决数学问题。

［关键词］领学；数学实验；深度学习

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2022）35-0044-04

陶行知先生指出，“做中学”中的“做”含有三种特征，分别是行动、思想、新价值产生。这里的“做”就是发明，是创造，是实验，是建设，是生产，是破坏，是奋斗，是探寻出路。成尚荣先生也指出，智慧常常躲在心灵的深处，而思考是呼唤它的最好办法和方式。可见，“实验”与“思维”的融合确实是解决数学问题的好手段。陈家梅老师倡导的“领学制”，是变“教师教学”为“学生领学”，变“独学”为“合学”，以“小组群体领学”的学习方式，可将“实验”与“思维”有效串联，能真正还学习者以主体地位，让学生在学习共同体中汲取养分，从而变革传统课堂的学习生态系统。

本文将以“3的倍数的特征”教学为例，论述如何以“领学”为助力，将“实验”与“思维”融合。

【教学前测】

由于学生已经认识了倍数和因数，并学习了2、5的倍数的特征，因此笔者将在本课教学的猜测环节引发学生的认知冲突，激发学生主动探究的欲望。基于此，笔者对任教班级的35名学生进行了前测，结果如表1所示。

可以发现，多数学生已学过相关内容，但不排除有些学生是得到了他人的“剧透”，因此60%的“含金量”有待考究；在没有接触过相关内容的学生中，有8.57%的学生受之前所学特征的影响，猜测3的倍数的特征可能也是看个位上的数，认为个位上的数应该是3，6，9；另有约11.43%的学生应是受到已学特征的干扰，特别是“在‘百数表中圈数”对学生的负迁移影响较大，学生很难将“3的倍数的特征”和“各位上数的和”进行联系，仅凭直觉进行推测；对3的倍数的特征有一定感知但表述不清或有其他表述方式的学生占20%，说明其总结归纳和语言表达能力有待加强。

笔者访谈了部分能正确表述3的倍数的特征的学生，请其说说“为什么3的倍数的特征和各位上的数存在联系”。多数学生根本无法解释，仅有一位学生给出了自己的理解：“我以10为例，10除以2没有余数，除以5也没有余数，但除以3就有余数。我想，这时就需要考虑每个数位上的数了。”虽然该学生的表达还需提炼，但其已能结合数的特征进行考虑。

有一位学生还提出了自己的困惑：“为什么所有数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数？”这一点引起了很多学生的共鸣。因为教材中并没有提供“为什么”的说理材料，学生是通过观察、举例的方法得出结论后，将其作为一个结果加以记忆及应用。虽说教学中常用举例的方法验证猜想，但举例验证只能说明猜想可能是正确的，并不能得到“一定”的结论。

受此启发，又有学生提出自己的困惑：“为什么2和5的倍数只看个位就行，不用看所有数位上的数的和呢？”

基于此，考虑到本课的学习难点，笔者期望借助“领学”，为数学实验提供助力。

【教学片段】

“为什么3的倍数要考虑各位上数的和”的数学实验。

出示“研习探究单”（如图1）：

组内“领学者”（组长）根据前测时掌握的每位学习者（组员）对知识的掌握情况，引导学习者（组员）选择适合自己的“领学”任务，使得人人都可成为某个实验环节的“领学者”。

A组“领学”：

生1（领学者）：这两个数字分别是441和527。我们小组以441为例进行实验研究。如果参考2和5的倍数的特征，441个位上是1，1除以3除不尽，我们小组就想，要不再看十位上的4，但4除以3也除不尽，百位上也遇到了相同的问题。

师：明白他们小组的意思了吗？

生2（学习者1）：我来补充。我们小组的意思是个位上的1除以3有余数；十位上的4除以3，可以理解为40除以3，也有余数；百位上的4除以3，就是400除以3，还是有余数。

生3（学习者2）：这样的话，每个数位上都有余数，这就不像2和5的倍数，个位上的数都能整除。这时就要看各数位上的数是几，再把这些数相加。

师：根据之前的猜想，3的倍数的特征是要把各数位上的数相加。根据你们组的想法，这和每个数位上的余数有没有关系？

生4（学习者3）：我们小组是从方块图（如图2）中得到了启发，可以把每个数位分开来看。百位上的4不要一下子全分完，可以1个百1个百地分，每个百除以3都余1，4个百就余下4个1；十位上的4也是1个十1个十地分，每个十除以3也都余1，最后也余下4个1；个位上的数本来就是几个1，就不用分了，那么多出来的就是4+4+1=9，9能被3整除，这就和3的倍数的特征一样了。

生1（领学者）：也就是把每个数位上的数除以3后，多出来的1全部相加，再看得到的和能不能被3整除，就可以判断这个数能不能被3整除了。要不换个数再验证？

B组“领学”：

生1（领学者）：我们小组认为527不是3的倍数，我们也同意A组的发现。527百位上是5，因为100除以3余1，5个百就会余5个1；十位上是2，1个十除以3余1，2个十就会余2个1；个位上的7表示7个1。

生2（学习者1）：请大家看我们组的方块图（如图3），只要看多出的部分就行了。5+2+7=14，14不是3的倍数。

生3（学习者2）：我们还有一个有趣的发现。我们一直以为判断一个数是不是3的倍数，只要把各数位上的数加起来就行，但今天才发现，需要的数并不是各数位上的数的和，而是各数位上的数的和除以3之后的余数。

师：明白他们的意思吗？

生4（学习者3）：也就是有几个计数单位就会多几个1。比如百位上是8，每个百除以3都余1，8个百就会余8个1。其实我们加的是每个计数单位上的数除以3之后的余数。

师：你们的发现真了不起！现在大家明白3的倍数的特征的道理了吗？

“组际交流”：

生1：通过今天的学习，我想到这个方法也可以用在2和5的倍数的特征上。我昨天学的时候就一直在想，为什么检验是不是2的倍数、5的倍数只要看个位，不用看前面的数，刚才听了A组和B组的汇报才想通。我和我的组员们还进行了实验。

生2：以238为例，我们画了一幅示意图（如图4）。百位上的2表示2个百，因为100÷2=50，所以百位上无论是几，都是2的倍数；十位上的3表示3个十，10÷2=5，所以十位上的数也肯定是2的倍数，都能分完。

师：照这样的分法，百位和十位上的数除以2的余数肯定是几？

生3：百位上无论是几个百，每个百都能分完，余数是0，十位上也一样。

师：照这个思路，还有哪些数位上的余数也会是0？

生4：千位、万位……因为更高数位上的计数单位都可以看成几个千、几个万，所以都能被2整除，余数为0。

生5：只有个位的余数不能确定。因为个位上的数除以2，要么能整除，要么余1。

师：那个位是什么数的情况下没有余数？

生6：个位上是0、2、4、6、8时没有余数，是1、3、5、7、9时有余数。因此2的倍数的特征只需要看个位。

生7：5的情况和2一样，个位之前的数位余数肯定都是0，只要看个位就行了。

……

以上教学借助三次互学活动，驱动学生以自己的实验生成自己的数学感悟，解释了“为什么3的倍数要考虑各数位上的数的和”。在思维聚焦的过程中，有的学生已经在反思“为什么2、5的倍数只需要看个位上的数字”。可见，在考虑到学生“已知”和“未知”的需求基础上，通过设置挑战性的任务，能让学生在数学实验中探究知识的本质，生成多元的思考；通过“领学”式的互学，学生能够对核心问题有个性化的思考和表达；通过延展探究式的推理，学生能够基于自身的学习基础及经验进行结构化展示并形成对问题本质的思考。

【教学反思】

1.“做”中见行动，嵌入单项实验，促“领学”开展

杨九俊先生指出，“领学制”的课堂重构了学习小组的关系，“领学组”与“学习组”之间的交流，不仅仅体现在“领”，更有“引”的意蕴。佐藤学也指出，真正的学习是一种对话与修炼的过程。也就是学生之间的互学，其意义远胜于教师的教。但是，若是学生的互学始终贯穿于全程，则会脱离教师的指导，容易失去方向。因此，教师可以针对教材中的某个环节设计单项实验：可以围绕一个知识点开展，引导学生直接指向对某个数学内容的求解。

在 A组“领学”时，对于“441是否是3的倍数”这个数学实验，笔者认为最为关键的是问题的生成，因为问题是从学生的已知与未知中提炼出来的，对学生而言，提出问题才是学习的开始。

因此，在实验之前，笔者设计了相应的学习要求，并预设了实验时的“领学”、互学成效（如图5）。此时，无论是“领学者”还是学习者，交流的对象由教师转变为同伴，他们不必担心问题的质量高低，也不必担心交流受限，更多的时候可以在问题的启迪下，产生更多的新问题，在心理放松的同时，增进了彼此的学习能力。

由图5可知，在互学时，学生可在组内先行提出问题并在组内解决，以增强组内学习的自信心；在组际交流时，可着重交流本组尚未解决的问题。这就需要教师在实施“领学”时重构“群”与“个”的关系，不仅要关注“领学者”的表达过程，还要关注学习者的思考过程。

2.“做”中见思想，建构组块实验，促核心聚焦

陈家梅老师指出，“领学制”的实施，让学生在探究中学习，在提问中学习，在交往中学习。从A组“领学”到B组“领学”的自然过渡，是因为“领学者”在知识的核心处提出了问题“也就是把每个数位上的数除以3后，多出来的1全部相加，再看得到的和能不能被3整除，就可以判断这个数能不能被3整除了。要不换个数再进行验证？”，将研究视角从“结论的字面意义”转向了“各数位上数的和”，进而为概括出3的倍数的特征的真实意义并由此形成的判断方法埋下伏笔。这样的教学转化非常契合小学数学实验的内涵，因其本身就强调引导学生通过操作、观察、分析、猜想和推理等数学活动，经历数学知识“再创造”与“再发现”的过程，亲身体验数学、理解数学。

学生因受除法运算思维的影响，习惯把一个数看成整体后进行平均分，而要感悟3的倍数的特征及2、5的倍数的特征则需要把每个数位上的计数单位进行平均分，如除了个位，每个数位上的计数单位都能平均分成2份或5份，因此判断是不是2、5的倍数，只需要关注个位。同样的方法也适用于解释3的倍数的特征。沟通这些关系的过程正是教学片段中的三次“领学”。

随着数学实验不断增加，问题的范围也不断扩大，因此在組内互学阶段，组员需在“领学者”的引导下在小组内对问题进行判断与筛选、组织与聚焦，并在后续的组际交流中确立核心问题。

3.“做”中见价值，善用“先期学习”，促思维提升

在前测时，60%的学生通过课外的学习已能正确表述特征，俞正强老师将这样的学习称为“先期学习”，即以某知识点为对象，在教师还没有组织全班学生进行系统学习之前，学生在已具备学习能力的基础上，已经以个体的方式对该知识进行了一定程度的学习，从而形成个性化的理解。这种现象其实也是当前学习型社会的必然结果。因此，陈家梅老师指出，考虑到学生存在“先期学习”的情况，在课程知识的精准掌握阶段，由“领学组”承担教学任务相当于新授课环节。教师需指导“领学组“提炼问题、提问以及进行目标检测等，“领学组”还要筛选目标检测题（这一环节也可以放在课前，由师生共同完成）。

学生的“先期学习”在给教师组织课堂教学提出挑战的同时，也为教师调整组织方式、转变学习形态提供了契机。教师需要接纳学生的先期学习成果，要试着对学生的先期学习做出诊断，以完善他们的学习成果，弥合个体之间的差距，而“领学”的方式此刻最能激励学生的学习热情，促进学生带着更多的学习成果来到课堂上交流。

综上，教师既要关注学生的想法，又要关注学生潜在的、尚未表达的想法。“领学制”可以引领学生把注意力从教师身上转移到其自身，在同伴互助与支持下学习。这种由学生“领学”的模式更能凸显数学问题的聚焦性。正如郭庆松老师所指出的：要让学生经历数学知识探究和发现的过程，体会数学内在的逻辑与结构，还要让学生通过对所学知识的阐述，学会有条理地进行数学表达。

【本文系江苏省教育科学“十三五”规划课题2016年度立项课题“‘小先生制思想关照下同伴互学课堂文化建设的研究”（B-b/2016/02/24）阶段性研究成果。】

［ 参 考 文 献 ］

[1] 潘小福，陈美华.小学数学实验教学的理论与实践[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2018.

[2] 陈家梅.数学课堂“领学制”的实践探索[J].江苏教育，2019（81）：32-34.

[3] 陈家梅.“领学制”的内涵、操作范式与意义[J].江苏教育，2021（86）：7-9.

[4] 郭庆松.指向学科育人的教学方式变革：“领学制”教学法的启示[J].江苏教育，2021（86）：18-22.

[5] 杨九俊.“领学制”：别开生面的儿童数学课堂［J］.江苏教育研究，2021（35）：14-16.

（责编 金 铃）