义务教育数学课标“数与代数”领域中实例的变化、价值及启示

文∣张定强 申韩丽

一、引言

2001年教育部颁布了《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》(以下简称“2001版课标”)，2011年颁布了《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称“2011版课标”)。2022年4月，颁布了《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称“2022版课标”)。三版“义务教育数学课程标准”的颁布，明晰了当代数学课程改革的基本路径。课标对教师而言是解决“为何教”“教什么”“怎么教”“教到什么程度”的教育教学重大问题的纲领性文件，对学生而言是解决“为何学”“学什么”“怎么学”“学到什么程度”的重大学习问题的指导性文件。作为课标建构中的重要组成部分，“课程内容中的实例”承担着重要的教育教学功能，对课标主体内容有重要的解释作用。本文选取三版数学课标初中部分“数与代数”领域中的实例作为研究对象，从量与质的角度进行剖析，深入挖掘不同版本课标在此领域中实例的变化及价值所在，进一步探析实例对数学教育教学的启示。

二、实例的变化分析

“数与代数”是义务教育阶段数学学习的重要领域，相应的实例也占有重要的地位，而不同版本中的实例有的发生了变化。

(一)实例的分布概况

三版课标在“数与代数”领域的主题设置为“数与式”“方程与不等式”“函数”。

表1 三版数学课标初中部分“数与代数”领域实例的分布

在2001版课标中，“数与代数”领域设计了11个实例，相对集中在“数与式”“函数”主题上，涉及内容标准中的10个具体目标，是对具体目标的解释、示范、引领，但在体现数学思想和方法、启迪学生思维、突出代数思维方面存在不足。

在2011版课标中，“数与代数”领域也设计了11个实例，其中“数与式”主题有4个，“方程与不等式”主题有3个，“函数”主题有4个，分别精确对应课程内容中的11个具体目标。较之2001版课标，强化了“方程与不等式”主题的实例，并通过具体案例，突显了“四基”与“四能”。

在2022版课标中，“数与代数”领域设计了9个实例，其中“数与式”主题有3个，“方程与不等式”主题有1个，“函数”主题有5个。较之前两版课标，在实例减少的情况下加强了“函数”领域中的实例，说明函数的理解与掌握在初中阶段十分重要和关键，注重以下三个方面：一是注重数学文化的渗透，如实例64“负数的引入”，让学生体会古代数学家在数学上的贡献，培养学生学习数学的兴趣；二是注重数学符号推理，如例66、例67，在论证的过程中，让学生提升符号意识，养成利用符号分析论证问题的习惯，感悟符号表达对于数学发展的作用；三是注重学生“几何直观”素养的培养，如例68—例70，不失时机地渗透数形结合思想，让学生感悟如何借助几何直观分析代数问题。

(二)实例的变与不变

三版数学课标在“数与代数”领域中，实例的具体变化如表2所示。

表2 三版数学课标初中部分“数与代数”领域实例统计

从表2可以看出，三版课标在“数与代数”领域均有的实例为简单近似计算，因为数字化时代对运算能力的要求不断增强，近似计算的应用培养也越发重要。同样共有的实例还有通过图象分析函数关系，通过数与形的结合，建构函数表达式，培养学生的逻辑推理能力。增加的实例有负数的引入、代数推理、一元二次方程的根与系数的关系、得到函数表达式，这种变化的一个明显特点是数学文化的融入和代数思维的突显。

需要说明的是还有一个潜在的共有实例——“温度的计量”，2001版课标中它出现在课程实施建议中，与2011版课标例57、2022版课标例70的功能一致，都是引导学生建立两种温标下的一次函数表达式，只不过提问方式不同；2011版课标提出了四个具体的问题；而2022版课标的问题更具开放性，让学生分析两种温标计量值的对应关系，感悟如何借助几何图象分析代数问题。

(三)实例的匹配度

课标中实例的匹配度直接影响实例的质量，影响着数学教育工作者准确理解课标目标、内容、学业质量的核心要义，也影响着数学教材建设和师生的教与学。为了更好地理解实例在三版课标中的重要地位与价值，我们对三版课标中初中“数与代数”领域实例的匹配度进行了分析，发现2001版课标中的具体目标与实例内容及相应知识点的匹配度稍低，实例相对比较简单。可能是初次研制课标，实例的示范功能不足，大多数实例没有“说明”，即实例设置的目的、情境、分析及拓展。2001版课标中例1的估算比较简单，小学阶段学生已经掌握，放在初中阶段不太适宜；例3、例4与例5所对应的具体目标有重复之嫌；例8放在“函数”中不是很适宜，适合放在“数与式”中，能让学生很好地理解代数式。2011版课标是在2001版课标基础上修订完善的，丰富和完善了实例的内容，实例的“说明”解释更加具体，对理解实例与课程目标、内容要求及具体的知识点匹配度更高。2022版课标“数与代数”领域实例与课程目标、知识点对比如表3所示。

表3 2022版课标初中部分“数与代数”领域实例与课程目标、知识点对比

(续表)

2022版课标对2011版课标的实例进一步优化，实例与课程目标、课程内容的匹配度达到了新的高度，对广大数学教师进一步掌握和理解课标的要求提供了新的分析；实例中的“说明”更加清晰与全面，透过实例这一视角对课标中所倡导的课程性质、课程理念的理解更加到位，对“数与代数”领域中的课程目标、课程内容、学业质量以及课程实施能更加清晰准确地掌握，实例可以助推教师更好地开展数学教与学。

三、实例的价值分析

实例在数学教育中具有十分重要的价值。从育人的导向审视，实例立足于立德树人；从功能的发挥审视，实例服务于课程建设；从现实的要求审视，实例引导教学发展。

(一)立足立德树人

立德树人是教育工作的根本任务，也是实例承担的根本任务，2022版课标中“数与代数”领域对此进行了系统的设计，突显了实例的育人导向。经过专家精挑细选、前后斟酌、深思熟虑的实例，不仅有精确对标具体目标，解释具体目标的效用，更是具有通过例说的方式诠释数学核心素养本真之功效。如2022版课标实例64(负数的引入)，借助历史资料说明人们最初引入负数的目的，感悟负数的本质特征。此实例在说明中，展示了负数概念出现的历史脉络，《九章算术》中三元一次方程组建立和求解中负数的出现以及负数意义的解释，透过此实例可以让学生体会我国古代数学家在数学上的贡献。了解优秀传统文化，增强学生的民族自豪感和学习数学的热忱，对学生正确的价值观培育、数学素养落地有重要的作用。

(二)服务课程建设

实例主要出现在内容要求上，表征在附录中。“数与代数”实例已经深深地融入综合与实践领域、学业质量标准之中，全方位地服务于课程建设，如2022版课标例89，从跨学科的视角，提出体育运动与健康或安全有关问题，是“函数”主题的项目化学习。如例92让学生探究叠放杯子的总高度变化规律，旨在建立函数，让学生学会运用函数的知识表示杯子总高度随杯子数量的变化规律，培养学生会用数学的眼光和数学的思维思考现实世界。实例大多基于生活实践和学习探索情境，有示范功能，利于教材编写者在例题、习题的选用方面借鉴。如2022版课标例66代数推理，作为新增实例，可以突破只有在图形与几何领域有推理或证明的误区[1]，强调代数推理同几何推理一样重要，让学生从“推理意识”循序渐进地向“推理能力”过渡[2]；指明在“数与代数”领域，教科书建设要关注代数推理能力。

(三)引导教学发展

实例嵌在内容要求中，旨在对应目标的实现；实现途径在于教学。教师无论在备课还是上课、考试评价阶段，要关注内容要求、学业要求、教学提示，高度关注实例的教学价值，深入剖析发现实例所具有的基础性、综合性、应用性、创新性。如三版课标均有的实例“通过函数图象分析函数关系”，基于生活实践问题情境“父母一起出去散步再回家所用时间不同”创设，旨在加深学生对函数的理解，进而发展学生数形结合的能力。又如2022版课标例69“得到函数表达式”，创设了一个学习探索问题情境，旨在让学生探索用代数式表达几何结论，利用代数与几何知识解决三角形面积问题，综合性相对较强。这样的实例在2022版课标中较多，其目的是导引教学改革，促进教学进步，特别是实例的分析说明比较具体，可操作性强。实例对教学过程中的例题分析、拓展，习题编排、考试命题等具有重要的引领和启示作用。

四、实例的教学启示

“数与代数”领域中的实例在变迁中不断丰富和发展，以其独特的教育教学价值融入数学教育全程，启示我们在教学改革与评价中充分发挥其功能，实现数学教育的目标。

(一)学懂弄通课标实例的应有之义

课标中的实例有其内在的编排逻辑，独特的结构特点以及特殊的教育功能，需要数学教育工作者深入挖掘。教师要结合数学课标中的课程性质、课程理念、课程目标、课程内容、学业质量、课程实施统整性进行思考和学习，了解每一个实例在课标中的地位与作用。实例体现了课程性质和课程理念，表征课程目标和体现课程内容，渗透“三会”的达成度和素养的落地方法，因此理解和掌握“数与代数”中的实例必须联系当前的教学实际和学生的学情，结合所教内容深钻细研每一个实例的意境。如2011版课标小学第二学段(四至六年级)课标内容“在具体的情境中能用字母表示数”，而在2022版课标第三学段(五至六年级)表述为“在具体情境中，探索用字母表示事物的关系、性质和规律的方法，感悟用字母表示的一般性”，相应地在后面的实例中增加了例19(用字母表示数量关系或规律)和例23(用字母表示数量关系)。事实上，学生学习“用字母表示数”时，思维由具象思维变成了抽象思维。2011版课标初中教材及辅导书在表征这个知识点时用的是“餐桌拼接坐人”的例子，而2022版课标表示该知识点的是例19，引导学生经历数学抽象的过程[3]。该实例有利于培养学生对经验的感悟，积累数学活动经验，为初中阶段方程的学习打好基础。

(二)教学改革中有效融入实例

实例的价值在于有效的使用，而使用的现实场域就是教学。因此，要在读懂课标的基础上，对标找差距，确定教学改革的方向，在尊重教学实际的基础上，将实例与教学内容相融合，真正将实例有效地融入教学中，充分发挥实例的功能。如2022版课标把2011版课标中的选学内容“了解一元二次方程的根与系数的关系”调整为必学内容，且增添了例67，通过这个实例表征“了解一元二次方程的根与系数的关系”的内容要求，目的是让“学生感悟符号表达对于数学发展的作用，积累用数学符号进行一般性推理的经验”。这也积极回应了一线教师对“韦达定理”由选学变为必学内容的现实诉求，为一线教师进行根与系数的教学提供参考。实例中蕴含着以核心概念为主线的结构化内容，能从整体上帮助我们深刻理解主题的内容和方法，将一元二次方程的四种解法、根的判别式、根与系数的关系以及二次函数纳入一个教学单元中进行横向对比，体会2022版课标中课程内容结构化的要义，重视单元整体教学设计，找到教学改革的着力点。[4]

(三)考试与评价中科学运用实例

2022版课标中的学业质量标准对学生应当达到的学业成就表现特征进行了整体刻画，是衡量数学学科核心素养落地的标尺。而要回应课标中确定的目标、衡量实例选择的内容、检视经历的学习过程是否达到了目标要求，基本的举措是考试与评价，考试与评价要依学业质量标准来设计。实例在考试与评价中发挥着重要的示范引领作用，如2001版课标评价建议中的“选哪家旅行社去旅游更优惠”，主要考查一次函数、不等式解法等相关知识内容。2011版课标评价建议中“用长为50厘米的细绳围成一个边长为整厘米的长方形，怎样才能使面积达到最大”，与2022版课标例71“二次函数的最大值或最小值”的意境相似，只要我们善于挖掘实例中的育人价值，科学合理地在考试与评价中运用实例，就能助力数学学业质量的不断提升。