圆锥滚子轴承润滑与动力学耦合研究

马子豪,王 瑞,赵海涛,黄 立,孟凡明*

(1.重庆大学 机械传动国家重点实验室,重庆 400044;2.中国航发哈尔滨东安发动机有限公司,黑龙江 哈尔滨 150066;3.中国船舶重工集团公司第七〇五研究所,陕西 西安 710077)

圆锥滚子轴承具有承载能力强、工作寿命长和结构强度高等优点，因此经常被应用于高铁等领域.实际使用中，往往在轴承中加入润滑油以减小其摩擦磨损.在圆锥滚子轴承润滑研究方面，Park[1]针对圆锥滚子轴承的滚子倾斜现象进行了分析，研究结果表明滚子倾斜会显著影响滚子两端压力分布和油膜形状.Mohammadpour[2]发现足够高的预紧力可改善圆锥滚子轴承润滑性能并能减小轴承系统的振动.吴正海等[3]的计算结果表明，圆锥滚子轴承的滚子经过Lundberg对数母线修形后其最小油膜厚度增加，应力峰值减小.杨萍等[4]发现载荷偏置极易使圆锥滚子轴承出现润滑失效，最终导致轴承寿命降低.孙浩洋等[5]对圆锥滚子轴承乏油状态进行分析，结果表明当供油量由乏油到充分供油的过程中，其膜厚轴向颈缩逐步建立且压力边缘效应逐渐明显.胡浪等[6]采用拟静力学和弹流润滑理论建立了圆锥滚子轴承滚子润滑模型，研究发现内圈转速提高会使滚子大端与挡边间膜厚增加，摩擦系数减小.

除了润滑性能外，圆锥滚子轴承的动力学性能也是关注的重点.Majdoub等[7]建立了圆锥滚子轴承倾斜滚子与保持架的动力学方程，并用Powell极小化法求解，数值结果表明当滚子平衡后每个滚子的滑动速度都显著降低.刘静等[8]建立了考虑圆锥滚子轴承挡边表面波纹度的轴承动力学模型，发现轴承内圈表面波纹度幅值增加会加剧轴承振动水平.王志永等[9]通过建立圆锥滚子轴承多体刚柔耦合动力学模型，发现轴承轴向预紧力增加能提高轴承转子的振动频率，有效防止共振.随着商用软件的发展，也有学者基于Ansys等软件对圆锥滚子轴承进行了动力学分析[10-11]，但以上研究均未考虑轴承的润滑作用.

综上所述，虽已有些学者对圆锥滚子轴承弹流润滑性能和动力学特性进行了研究，但有关其润滑与动力学耦合求解的研究还鲜有报道，尽管少数学者进行了球轴承和圆柱轴承润滑与动力学耦合研究[12-14].由于圆锥滚子轴承其滚子大端与内圈挡边之间为点接触而滚子与内、外圈滚道之间是线接触，且滚子与内、外滚道间存在倾斜角，其动力学模型相对于球轴承更复杂，因此仍有必要进行研究.针对上述问题，在本文中以圆锥滚子轴承33 112为例，建立了润滑接触参数实时变化的耦合动力学方程，并采用向后差分法(BDF)以及Newton-Raphson法进行求解，实现润滑与动力学耦合分析，并与不考虑润滑的轴承动力学特性进行对比，本研究可为圆锥滚子轴承动态特性的准确分析提供参考.

1 内圈挡边接触点滑移速度

圆锥滚子轴承结构如图1(a)所示.以第i个滚子为研究对象建立xoy坐标系，其中x轴与轴承转轴重合，y轴为轴承径向方向且与外圈大端面重合.Gi为球面与内圈大挡边的接触点，Ni为滚子小端面圆心，Mi为滚子大端球面球心，Ti为内圈大挡边与内圈滚道接触点.圆锥滚子轴承内圈由滚道和挡边两部分组成，结构相对复杂，并且轴承滚子大端球面与内圈大挡边接触点位置以及相对滑移速度不易求解，因此需单独对该接触点滑移速度进行研究.

Fig.1 Position and motion state of contact point between roller large end and inner ring rib图1 滚子大端与内圈挡边接触点位置与运动状态

以往学者在进行相关分析时为了计算简便，往往设定结构中特殊点的坐标值来推导滑移速度[15-16]，这些点的坐标在实际工程中难以直接测量.为了满足测量要求，本文作者从轴承结构出发，通过结构参数直接推导挡边接触点位置，使计算过程更符合实际工程需求，其公式在使用时更具有普适性.当轴承结构参数已知时，可求出滚子大端球面球心Mi的坐标：

式(1a～1b)中：xm与ym分别为Mi的x与y坐标；Rff为滚子大端球端面半径；αf为内圈挡边接触角；lt为内圈大挡边与滚道接触点Ti到y轴的距离；Rt为其到轴承转轴的距离；Romin为外圈大端半径；αo为外滚道接触角；αg为滚子中心轴线与轴承转轴方向的夹角.由滚子大端球面球心坐标即可推导出接触点Gi坐标(xg,yg)：

式(2a～2b)中：xg与yg分别为接触点Gi的x与y坐标；从公式(1a～2b)中可看出，内圈挡边接触点位置坐标只与轴承结构参数有关，当轴承型号确定时根据结构参数即可求出接触点坐标.

假设轴承外圈固定内圈转速为ωi，滚子大端与挡边接触时其运动状态如图1(b)所示，建立yoz坐标系，y轴和z轴分别为轴承的纵横方向.滚子既有自转速度ωr又有公转速度ωg，因此滚子大端在接触点的线速度u1为

内圈大挡边在接触点的相对滑移线速度u2为

滚子大端与内圈大挡边在接触点的卷吸速度uf为

由公式(5)推导出的卷吸速度uf将用于下文中滚子大端与内圈挡边的接触参数和润滑状态分析.

2 圆锥滚子轴承耦合动力学方程

2.1 无润滑时接触参数确定

当滚子处于干摩擦状态时，滚子与内外滚道间表现为线接触.滚子与内、外圈滚道间的刚度表征了滚子抵抗变形的接触刚度.根据文献[17]给出的适用于工程实际的滚子与内(外)圈接触时的弹性变形量δwi(δwo)，可进一步推导出无润滑时滚子与内(外)圈的接触刚度kwi(kwo)：

式(6a～6b)中：kwi和kwo分别为滚子与内、外圈间的接触刚度；l1为滚子接触区长度；Eig和Eog分别为滚子与内、外圈的综合弹性模量；v为材料泊松比.Rg为滚子平均半径；Ri和Ro分别为内、外滚道的平均半径；Qi和Qo分别为滚子与内外圈的接触力.

滚子与内圈挡边间为点接触，根据Hertz接触理论，推导出无润滑时滚子与内圈挡边间的接触刚度kwf，其表达式[18]为

式(7a～7c)中：k为椭圆参数，通过接触区长半轴和短半轴计算；Γ和Σ分别为第一类与第二类全椭圆积分；Σρ为接触副曲率和.未考虑润滑时，轴承各组件间的接触阻尼由轴承材料特性决定，在本研究中滚子与内、外滚道及内圈大挡边的接触阻尼均设为2 000 N∙s/m[8].

2.2 考虑润滑时接触参数确定

当滚子处于润滑状态时，滚子与内外圈滚道间的接触区由润滑剂入口区、接触区和润滑剂出口区三部分组成.由于接触材料的阻尼较小，因此滚子与滚道间的阻尼以入口区的油膜阻尼为主.考虑润滑的滚子与滚道间的接触模型如图2所示，其中kli与klo为滚子与内、外滚道接触区油膜刚度；kwi与kwo分别为滚子与内外滚道接触区结构接触刚度；kri与kro分别为滚子与内、外滚道入口区油膜刚度；Ci与Co分别为滚子与内、外滚道入口区油膜阻尼.滚子大端球面与内圈大挡边之间的接触模型和滚子与内、外圈滚道接触类似，其刚度也由接触刚度kwf、接触区油膜刚度klf以及入口区油膜刚度krf组成，阻尼以入口区油膜阻尼Cf为主.

根据刚度的定义，接触区内的油膜刚度可根据中心膜厚方程，利用接触载荷对中心膜厚求偏导数得出.根据文献[19]提出的等温弹流润滑膜厚计算公式，可得出线接触和点接触下油膜刚度公式分别为

式(8a～8b)中：α为润滑剂黏压系数；η0为润滑剂动力黏度；u为接触物体间的卷吸速度；E*为综合弹性模量；R为综合曲率半径；w为接触载荷；k为椭圆参数，其含义与式(7)中的k相同.在润滑入口区，滚子与内、外圈之间为线接触，因此其入口区油膜刚度kri(o)以及油膜阻尼Ci(o)可采用以下公式[20].

式(9～10)中：hc为中心膜厚，油膜刚度kli(o)及接触刚度kwi(o)可通过式(6)与(8a)推导得出.

滚子与内圈挡边之间为点接触，其入口区油膜刚度krf以及油膜阻尼Cf的计算表达式为

式(11～12)中：klf及kwf分别为挡边接触区油膜刚度和接触刚度，通过式(7)与(8b)推导得出；a为接触椭圆的长半轴长.根据图2的接触模型，考虑润滑后滚子与内外滚道以及内圈大挡边的总刚度，可由接触刚度、油膜刚度以及入口区刚度推导得出.考虑润滑后滚子与内、外滚道以及内圈大挡边的油膜阻尼为总接触阻尼.考虑润滑后的总刚度与总阻尼将用来构建下文中的圆锥滚子轴承耦合动力学方程.

Fig.2 Contact model of roller and raceway with lubrication effects图2 考虑润滑效果的滚子-滚道接触模型

2.3 圆锥滚子轴承耦合动力学方程建立

轴承工作过程中运动状态不断变化，因此滚子与内外滚道之间的油膜厚度、接触载荷等也不断改变.这种变化会影响各个滚子与内、外滚道之间的总接触刚度与总接触阻尼.为了更准确地描述运动过程中圆锥滚子轴承的运动及润滑特性，根据上述滚子-滚道接触模型，克服了以往动力学模型没有考虑实时变化的油膜刚度和油膜阻尼的缺点，将时变油膜刚度和阻尼耦合到轴承的动力学方程中，建立轴承三自由度动力学微分方程：

式(13)中：ψj为第j个滚子的方位角；n为内外圈系数，当n=i时上述方程为内圈动力学方程，n=o时上述方程为外圈动力学方程.mn为内外圈的总质量；Cnj和Cfj分别为第j个滚子与内外滚道、内圈大挡边的总接触阻尼；Knj和Kfj分别为第j个滚子与内外滚道、内圈挡边的总接触刚度；δnj和δfj分别为第j个滚子与内外滚道、内圈挡边的弹性变形量；γn和γf分别为线接触和点接触时的变形系数；αn和αf分别为内外滚道接触角、内圈挡边接触角；λ为挡边系数，当计算外圈方程时λ为0，当计算内圈方程时λ为1；Fx、Fy和Fz分别为轴承在3个方向上所受到的总力，当计算外圈方程时，需在y、z方向上的考虑离心力作用.

3 模型求解及验证

在求解过程中，通过轴承运动状态的初始值计算其润滑油膜厚度，进而推导轴承各组件间总接触刚度及总接触阻尼.将计算出的接触参数带回运动学方程中，采用向后差分方法(BDF)以及Newton-Raphson迭代算法对式(13a～13c)进行求解，从而得到轴承内圈及各滚子新的位置参数、载荷参数以及速度参数.利用以上计算出的动力学参数重新计算下一时刻各组件间的润滑参数，从而得出随时间不断变化的考虑润滑的接触刚度和阻尼，供动力学方程耦合求解使用.

为验证上述动力学计算模型的正确性，本文作者对圆锥滚子轴承振动加速度级进行验证，将本研究中的计算结果与文献[21]中试验得到的振动加速度级Lr进行比较，Lr的表达式如下：

式(14)中：arms为振动加速度的均方根值，a0为参考加速度，一般取9.81 mm/s2.验证过程中程序仿真所使用的圆锥滚子轴承32 310结构参数、工况参数以及润滑油参数与文献[21]参数一致，并且都未考虑温度影响.由图3可看出，本文的研究结果与文献[21]中所得出的结果较好地吻合，3%到7.5%的相对误差是因为保持架对滚动体的振动约束在文献[21]中被考虑，但在本文研究中被忽略.以上比较说明了本文中建立的圆锥滚子轴承润滑和动力学耦合方程的合理性，因而可用于其耦合性能分析.

4 结果与讨论

轴承在工作过程中外圈经常与轴承座固定，并且通常轴承内圈的振动较大，因此在研究时重点分析轴承内圈的动态特性.影响内圈振动的因素主要是刚度以及阻尼，当转速高于500 r/min时，油膜阻尼的变化梯度并不大[22]，因此在本文中主要探讨轴承总接触刚度的变化规律.以圆锥滚子轴承33 112为对象，其结构参数与润滑参数列于表1中.

表1 圆锥滚子轴承33 112结构参数与润滑参数Table 1 Structure and lubrication parameters of tapered roller bearing 33 112

假定其内圈旋转外圈固定，在轴承运转时给内圈施加700 N的轴向力以及1 100 N的径向力，仿真时间为0.5 s，计算步长为Δt=5.0×10−4s，收敛精度为1.0×10−4.假设内圈与滚子的材料相同，弹性模量均为207 GPa，泊松比为0.29，材料密度为7 801 kg/m3.轴承滚子末端球端面半径为200 mm、挡边倾角为9.28°、内圈转速为600 r/min、滚动体个数为16个.若无特殊说明，下述仿真结果均在上述参数下获得.

4.1 润滑对轴承振动的影响

轴承33 112在旋转过程中，有无润滑效果时内圈的轴向位移均方根值(RMS)以及内圈的轴向、径向振动加速度级对比结果如图4所示.

Fig.4 Comparison of results at different rotation speeds with and without lubrication effects图4 不同转速下有无润滑效果的结果对比

由图4(a～b)可知，无论是否考虑润滑，轴承的轴向振动加速度级及径向振动加速度级都随着内圈转速的升高而增大，说明转速越大轴承振动越剧烈.当转速从500 r/min变化到600 r/min时二者差值减小，这是因为当转速高于500 r/min时，油膜阻尼的变化梯度并不大[22]，且此时有无润滑效果时二者接触区刚度值差值不大，因此结果比较接近.当转速持续升高时，虽然油膜阻尼变化梯度不大，但二者接触区的接触刚度差值逐渐增加，导致有无润滑效果的差异逐渐明显.考虑润滑后，轴承振动加速度级以及内圈轴向位移均方根值都比未考虑润滑要小，其轴向振动加速度级最大降低了1.66%，说明考虑润滑后可以改善轴承的振动情况，文献[23]也有类似结论.这是因为考虑润滑后，轴承工作时滚道间的油膜起到了减震吸能的作用，因此使轴承振动减小轴承内圈更稳定，后续各因素对轴承动态特性的影响均在考虑润滑的基础上进行.

4.2 不同滚子球端面半径下轴承动态特性

由于轴承滚子在旋转1周时，其油膜厚度以及接触刚度变化都是周期性的，因此不失一般性研究初始阶段承受载荷最大的滚子的动态特性.图5为有无润滑时，不同滚子球端面半径Rff下轴承内圈径向加速度级的变化.当Rff增大时，有无润滑的轴承内圈加速度级均略有增加，这是因为球端面半径增加使滚子球端面与挡边接触点的位置发生变化从而使滚子与内圈挡边间的接触刚度增加，当轴承受到冲击力时其挡边与滚子的变形减小，其缓冲作用更不明显，导致振动加剧.考虑润滑时由于滚子与挡边间有油膜的存在，其缓冲作用得到增强，因此其振动情况相较于未考虑润滑时要好.

Fig.5 Radius acceleration level with and without lubrication effects at varied roller end spherical radius图5 不同滚子球端面半径下有无润滑效果的径向加速度级

图6(a)和(b)分别为考虑润滑后，不同滚子球端面半径Rff下轴承内圈挡边的最小油膜厚度hfmin、挡边-滚子总接触刚度Kf的变化，其中最小油膜厚度采用Dowson公式求解.由图6(a～b)可知，随着滚子球端面半径增加，其滚子与内圈挡边的最小油膜厚度hfmin以及总接触刚度Kf都在增加，文献[6]在研究双列圆锥滚子轴承时也发现了类似结论，且最小油膜厚度随时间呈现周期性的波动.这是因为当轴承在旋转时，接触载荷会呈周期性变化.接触载荷会进一步影响最小油膜厚度的变化，因此最小油膜厚度也随时间呈现出周期性的波动.并且由公式(7)可知接触刚度与接触副的曲率和Σρ有关，当Rff增加时，其接触副曲率和下降使接触区的接触刚度上升，使总刚度呈现上升趋势.一般来说刚度上升会使油膜厚度减小，但滚子与挡边间的油膜厚度还与等效曲率半径有关，当Rff增加使其等效曲率半径增加，曲率半径的影响比刚度影响要大，最终使最小油膜厚度也呈上升趋势.

Fig.6 Influence of roller end spherical radius on minimum film thickness and total contact stiffness图6 滚子球端面半径对最小膜厚及总接触刚度的影响

4.3 不同挡边倾角下轴承动态特性

图7为有无润滑时，不同内圈挡边倾斜角αff下轴承内圈的径向加速度级的变化.当αff增大时，其径向振动加速度级在不断增加.这是因为αff增加使滚子与内圈挡边间的接触刚度增加，二者碰撞时产生的变形更小，其缓冲作用越不明显，因此径向振动加剧，这在文献[24]的研究中也有报道.在考虑润滑的情况下，油膜能够增强缓冲作用，其振动加速度级相较于未考虑润滑情况下要减小1.71～2.07 dB.

图8(a)和(b)分别为计入润滑后，不同挡边倾斜角αff下挡边-滚子总接触刚度Kf、轴承内圈挡边的最小油膜厚度hfmin的变化.由图8(a～b)可知随着αff的增大，Kf逐渐上升，同时hfmin逐渐减小.这是因为挡边倾角增大，滚子与内圈挡边的接触点发生变化，二者间的总接触刚度增加.总接触刚度的增加使二者间抵抗变形的能力上升，相同条件下滚子与挡边间的变形减小，弹性变形量减小，因此最小油膜厚度减小.

Fig.7 Radial acceleration level with and without lubrication effects at varied rib inclination angle图7 不同挡边倾角下有无润滑效果的径向加速度级

Fig.8 Influence of rib inclination angles on total contact stiffness and minimum film thickness图8 挡边倾斜角对总接触刚度以及最小膜厚的影响

Fig.9 Radial acceleration level with and without lubrication effects at varied roller number图9 不同滚子数下有无润滑效果的径向加速度级

4.4 不同滚子个数下轴承动态特性

图9给出了内圈转速为600 r/min时，不同滚子个数Z下轴承内圈径向加速度级的变化.由图9可知当滚子个数从12个增至20个时，考虑润滑与不考虑润滑情况下，轴承内圈的径向加速度级都在减小.这是因为随着滚子个数的增加，各个滚子承受的载荷降低，因此每个滚子的承载情况更加稳定，滚子与内圈碰撞时产生的振动加速度减小，最终使振动情况得到改善.同时由于润滑油膜能够减震吸能，因此考虑润滑时其内圈径向加速度级相对未考虑润滑略变小.

图10(a～b)为考虑润滑后，轴承内滚道与滚子总接触刚度Ki、内圈挡边与滚子总接触刚度Kf随滚子个数Z的变化.由图10(a～b)可知，随着滚子个数增加，Ki和Kf都在逐渐减小.图10(c)给出了计入润滑后，轴承内圈平均最小油膜厚度hnm及内圈挡边平均最小油膜厚度hfm随滚子个数Z的变化.为了避免因研究对象过多而导致曲线过多，因此取最小油膜厚度在0.5 s内的平均值进行分析.由图10(c)可知，当滚子个数由12增至20时，其hnm和hfm分别增加7.97%和4.43%，且滚子与内滚道间的油膜厚度略大于滚子与挡边间的油膜厚度.这是因为随着滚子个数的增加，滚子与内滚道以及内圈挡边的总接触刚度减小，因此在运动过程中滚子与内滚道以及内圈挡边间的变形增加，从而使平均最小油膜厚度逐渐变厚.

5 结论

a.建立了基于油膜刚度与阻尼的圆锥滚子轴承润滑和动力学耦合方程，通过与文献试验结果的对比，证明了该方程的有效性.

b.在有无润滑的条件下，圆锥滚子轴承的振动加速度级随着内圈转速的增加而逐渐增大.考虑润滑时轴承的振动加速度级更小且内圈的轴向位移更小，轴承运行更稳定.

c.圆锥滚子轴承内圈的振动加速度响应会随滚子球端面半径的增加而增大，因此，在设计时选择合理的滚子球端面半径将有利于抑制内圈的振动水平.

d.相对不考虑润滑的情况，考虑润滑后轴承振动更不明显；挡边倾角由7°增加到8.5°时，有润滑后其振动加速度级相较于未考虑润滑情况下要减小1.71～2.07 dB.

e.随着圆锥滚子轴承滚子个数增加，轴承内圈滚道与内圈挡边处的平均最小油膜厚度增加，且滚子与内圈滚道间的平均最小油膜厚度略大于滚子与内圈挡边间的平均最小油膜厚度.

Fig.10 Influence of number of rollers on total contact stiffness and averaged minimum film thickness图10 滚子个数对总接触刚度及平均最小油膜厚度的影响

f.针对考虑润滑的圆锥滚子轴承动态特性进行研究，其研究过程均认为是充分润滑状态，所得结论为圆锥滚子轴承性能的准确分析提供了参考.今后可开展考虑轴承保持架且在乏油状况下圆锥滚子轴承热性弹流润滑与动力学耦合研究.