基于阻抗法的矩形截面均压槽气浮支承静态性能分析

姜 庆,于普良*,夏巨兴,罗 强,鲜小东,蔡 田

(1.武汉科技大学 冶金装备及控制教育部重点实验室,湖北 武汉 430081;2.武汉科技大学 机械传动与制造工程湖北省重点实验室,湖北 武汉 430081;3.武汉科技大学 精密制造研究院,湖北 武汉 430081;4.武汉科技大学 省部共建耐火材料与冶金国家重点实验室,湖北 武汉 430081)

气浮轴承以其摩擦小、工作精度高及工作范围宽广等优点而被广泛应用到高端精密制造行业中[1-3].承载力和刚度是用来描述气浮轴承性能的重要参数，在实际生产中常需要快速校核气浮轴承的承载性能[4-6]，因此提升气浮轴承承载性能的计算速度就显得尤为重要[7-10].

李加福[11]通过研究三种静压节流器阻抗模型来探究流量和压强等相关参数与承载力之间的关系，为节流器理论设计提供新的思路.杨涛等[12]针对复杂湍流求解气膜压强分布较难的问题，提出等效电路建模的方法，极大弥补了仿真方法求解耗时长的缺点.张广辉等[13]采用流体阻抗法建立薄膜节流器和小孔节流之间的流量关系，并采用迭代法对后续方程进行处理，推算出气体流量在节流器中的分布规律；张君安[14]通过阻抗的等效网络图的方法，使得压力、液体阻抗及流量之间的关系更加突出.Chen等[15]使用Newmark积分法和改进的电阻网络法分析带槽空气静压轴承气膜间隙变化所引起的动态特性.现有的研究结果中，气浮轴承承载性能的简化计算方法研究较少[16]，且大多简化计算方法只能解决气浮支承二维方向上的问题，对于含有均压槽的气浮支承在三维方向上简化计算难度较大.

本文作者提出利用阻抗法来计算气浮支承的承载性能，提高气浮支承承载性能计算速度，并进行了均压槽方向上的简化计算.通过研究供气压力、均压槽角度、半径、高度和数目的变化规律，验证阻抗法的可靠性，同时为气浮支承在均压槽方向的简化计算研究提供理论依据.

1 气浮支承结构模型

本气浮支承采用有均压腔的狭缝节流和均压槽节流相结合的节流方式，其中矩形截面均压槽呈现辐射状，周向的横截面为扇形，如图1(a)所示，其主要参数包括：进气口压力Ps，气浮支承外部环境压力Pa，气浮支承半径R4=50 mm，均压腔半径R2=2.5 mm，狭缝所在半径R1=1 mm，狭缝宽度 δ=20 μm，狭缝长度L=0.3 mm，均压腔高度H=0.1 mm，表面节流均压槽半径R3，均压槽径向截面放射角θ，均压槽高度hg，气膜厚度h，均压槽数量N.

高压气体通过进气口进入气浮支承，沿着气浮支承的内壁向四周流动并流至气浮支承底部的间隙，进而形成1层具有一定承载能力的薄膜，实现被支承物体无刚性接触的悬浮.

Fig.1 Schematic diagram and impedance distribution diagram of aerostatic bearings(图中bearing改为bearings)图1 气浮支承结构示意图和阻抗分布简图

类比于电学的欧姆定律[17]，本文作者将压力比拟作电压，流量比拟作电流，阻抗比拟作电阻，则压强、流量和阻抗存在着类似的关系：

该气浮支承由狭缝、均压腔、均压槽及气膜区域四部分组成，其中每一部分都可以用1个阻抗来表示.由图1(b)可知，该气浮支承简化成n条阻抗支路组成，由于该结构完全对称，故Ra1～Ran阻抗值相等，Rb1～Rbn阻抗值相等，Rc1～Rcn阻抗值相等，Rd1～Rdn阻抗值相等，其中Rcn由Rcn1和Rcn2等效而成.

2 气浮支承阻抗模型的建立

2.1 狭缝阻抗的建立

狭缝的阻抗即是狭缝进出口压力与狭缝内流量的比值.由图2可知，设沿着气流方向狭缝长度为L,宽度为b，狭缝内侧圆柱直径为d.为了将计算过程简化[18-19]，将环状狭缝沿圆周展开，即得到1个平面缝隙，则宽度b可以用 πd来表示，在气流中任取微小单元dxdy，作用与气流相垂直的两个表面上压力分别为P和P+dP，作用在与气流相平行的两表面上单位面积摩擦力为 τ和τ+dτ.由于是稳定流动，所以惯性力为0.其中 µ为黏性系数.

根据微小单元受力平衡方程：

将式τ=µ×du/dy代入式(2)有：

对式(3)积分两次得：

Fig.2 Force analysis diagram of slit of aerostatic bearing图2 气浮支承狭缝受力分析图

当缝隙间的相对运动速度为v0时，在y=0处，v=0；y=τ处，v=v0.即：

由此得通过平面缝隙的流量为

当平面缝隙间没有相对运动时，通过的气流只由压差引起，故流量为

故狭缝阻抗：

2.2 均压腔阻抗的建立

按照径向均匀流动的假设，将N-S方程对应的笛卡尔坐标系转换成柱坐标系，则运动方程[11]可以写为

由式(10)和式(11)可知，p与 θ和z无关，上式可以改写成：

将式(12)对z进行积分两次，即可得到：

均压腔内向外流动的流量：

所以均压腔的阻抗为

2.3 等效均压槽阻抗的建立

均压槽的存在能有效改变气浮支承的压力分布状况[20-22]，但同时给求解阻抗过程带来了困难，所以在本文中采用将气膜分块方法，以均压槽末端为划分边界，将气膜划分为两部分，有均压槽区域气膜和无均压槽区域气膜，将均压槽和有均压槽区域的气膜进行等效处理，进而转成求解等效均压槽阻抗[23].

等效区域的质量流量：

将式(13)代入式(16)中，利用边界条件有：

将状态方程代入质量流量上式得：

由边界条件：r=R2处p=pd1和r=R3处p=pd2，可以求得等效区域质量流量为

从而求得等效均压槽厚度he：

则均压槽体积流量：

所以等效均压槽的阻抗公式为

2.4 气膜阻抗的建立

由式(13)，则气膜的体积流量[11]：

所以均压腔的阻抗公式为

3 气浮支承承载性能计算

由式(1)可得：

其中：Ra、Rb、Rc和Rd分别为对应部分的阻抗值，Pd为狭缝出口压强，Pd1为均压腔出口压强，Pd2为等效均压槽出口压强.定义狭缝的阻抗值与后三者阻抗值之和的比值为阻抗比，符号为Z，则阻抗比为

则狭缝、均压腔以及等效均压槽出口压强为

通过建立该结构的阻抗模型，将气浮支承内气体流量、压强和阻抗关系简化成电学串并联的拓扑结构.其中ε趋近于0.将状态方程带入式(13)，并在对应分段积分，则对应区域压力分布为

气浮支承压力分布如图3(a～b)所示，气压在均压腔内可以看成等压强分布，在均压槽和气膜区域分别将压强近似看成直线分布.则气浮支承承载力的计算公式可简化为

根据静刚度定义：对于不同气膜厚度的变化量Δh，可得到对应的承载力变化量ΔW，则刚度表达式为

文中使用运行内存为16 GB、Inter Core(TM) CPU@2.4 GHz处理器的计算机，分别在fluent15.0中进行仿真模拟和在Matlab 2018a中进行数值计算，并分别统计模型达到收敛情况下的耗时和得出计算结果的耗时.通过改变模型网格数量，对比阻抗法和仿真方法耗时长短.为了验证阻抗法计算结果的精度，需要将仿真得到的承载力数值与式(29)计算得到数值进行对比.气浮支承各参数为均压槽角度θ=4°、均压槽数量N=4、供气压力Ps=0.6 MPa、均压槽半径R3=35 mm和均压槽高度=0.10 mm.通过给定的已知参数，利用式(8)、(15)、(22)和(24)分别计算出狭缝、均压腔、等效均压槽和气膜的阻抗，利用式(26)可求出阻抗比Z，然后利用式(27)将阻抗比与狭缝出口压强Pd、均压腔出口压强Pd1和等效均压槽出口压强Pd2联系起来，最终将式(27)和式(28)代入式(29)中，即可求出利用阻抗法计算得到的承载力数值.

在网格数由100万左右增加到约350万左右过程中，两种方法耗时对比如图4(a)所示，可知阻抗法能够显著提升气浮支承的计算效率.当网格数量为250万左右时，两种方法计算承载力的结果如图4(b)所示.在多组网格数量条件下，两种方法所得承载力的误差图如图4(c)所示，其中FI是阻抗法所得承载力，FS是仿真方法所得承载力，两种方法得到承载力最大的误差为8.63%.

4 阻抗法的验证

为了验证所提的阻抗法的适用性，本文作者采用Chen[24]的方法进行验证，其结构模型如图5(a)所示：其中的主要参数包括轴承外径d1=110 mm、气孔分布圆直径d2=82.5 mm、气孔直径d3=0.35 mm、轴承内径d4=50 mm、进气压力Ps=0.5 MPa.在考虑微观因子流量系数情况下，由式(30)将承载力转化成刚度，三种方法得到的刚度如图5(b)所示，通过对比三种方法有着相同的变化趋势，其中阻抗法与仿真结果最大误差为5.26%，阻抗法与试验结果最大误差为9.51%.

Fig.3 Pressure distribution area of aerostatic bearing图3 气浮支承的压力分布区域

Fig.4 Comparison of two methods图4 两种方法对比图

Fig.5 Schematic diagram of aerostatic bearings and comparison of calculation results图5 气浮轴承结构示意图和计算结果对比图

5 阻抗模型结果分析

从流量、阻抗和压强因素相结合考虑，本文作者通过对不同均压槽半径、数量、高度、角度及供气压力的气浮支承模型仿真分析，来探究阻抗比的变化对环形狭缝节流气浮支承的静态特性影响规律.

5.1 均压槽半径影响分析

当均压槽半径改变时，探究其对气浮支承静态性能的影响，气浮支承的其他参数均保持不变(θ=4°，hg=0.10 mm，N=4，Ps=0.5 MPa)，均压槽半径对气浮支承性能影响如图6所示.

Fig.6 The influences of the radius of the pressure groove on the gas-impedance,the stiffness and the loading capacity图6 均压槽半径对阻抗比、刚度和承载力的影响

由图6(a)可知，对于环状狭缝气浮支承，随着气膜厚度的增加，气浮支承的阻抗比也随之增加.与无槽气浮支承相比，当均压槽半径R3=5 mm时，矩形截面均压槽气浮支承的阻抗比增幅不明显.当气膜厚度较小(h≤8 mm)时，均压槽半径的增大对阻抗比的作用不明显.随着均压槽半径的增大，气浮支承的阻抗比也逐渐增大，且变化速率也逐渐增加.由图6(b)可知，随着阻抗比的增加，矩形截面均压槽气浮支承刚度先增加后减小，刚度的变化速率先快后慢.随着均压槽半径R3的增加，矩形截面均压槽气浮支承的刚度逐渐增加且刚度的峰值逐渐增大，刚度峰值对应的阻抗比值会增大.当均压槽半径R3=5 mm时，随着阻抗比的增加，矩形截面均压槽气浮支承刚度最终会低于无槽气浮支承，而当均压槽半径R3>5 mm时，矩形截面均压槽气浮支承刚度最终会降至无槽气浮支承刚度左右.由图6(c)可知，随着阻抗比的增大，气浮支承承载力会逐渐减小且变化速率越来越慢.随着均压槽半径R3逐渐增大，承载力会逐渐增大，当均压槽半径R3=5 mm时，矩形截面均压槽气浮支承的承载力与无槽气浮支承增值不明显.

5.2 均压槽数量影响分析

当均压槽数量改变时，探究其对气浮支承静态性能影响，气浮支承的其他参数均保持不变(R3=35 mm，hg=0.10 mm，θ=4°，Ps=0.5 MPa)，均压槽数量对气浮支承性能影响如图7所示.由图7(a)可知，当均压槽数量逐渐增加时气浮支承阻抗比会逐渐增大，且均压槽数量越大，阻抗值的变化速率越快，当气膜厚度较小(h≤10 mm)时，阻抗比的值变化不明显.随着气膜厚度的逐渐增加，阻抗比逐渐增大.由图7(b)可知，随着阻抗比的增加，矩形截面均压槽的气浮支承刚度先增加后减小，且刚度的变化速率先快后慢.当阻抗比Z>1.2时，矩形截面均压槽气浮支承的刚度最终都会略低于无槽.随着均压槽数量的增加，矩形截面均压槽气浮支承刚度会逐渐增大且刚度峰值也会逐渐增大，刚度峰值对应的阻抗比值会增大.由图7(c)可知，当均压槽数量一定时，承载力随着阻抗比的增加而减小，随着阻抗比的增大，矩形截面均压槽的气浮支承承载力最终会低于无槽气浮支承承载力；随着均压槽数量的增加，承载力会逐渐增加且承载力峰值也会增加，当阻抗比越小时，承载力的变化越明显.

5.3 均压槽高度影响分析

当均压槽高度改变时，探究其对气浮支承静态性能的影响，气浮支承的其他参数均保持不变(R3=35 mm，θ=4°，N=4，Ps=0.5 MPa)，均压槽高度对气浮支承性能影响如图8所示.

由图8(a)可知，对于环状狭缝气浮支承，随着气膜厚度的增加，气浮支承的阻抗比也随之增大且增大的速率越来越快.随着均压槽高度的增加，阻抗比也随之增大，当气膜厚度较小(h≤8 mm)时，阻抗比的值变化不明显.由图8(b)可知，随着阻抗比的增加，矩形截面均压槽气浮支承的刚度先增加后减小，刚度峰值对应的阻抗比值会增大.随着均压槽高度hg增大，气浮支撑刚度逐渐增加，当均压槽高度hg< 60 μm ，阻抗比Z>0.8时,矩形截面均压槽气浮支承的刚度会略低于无槽的气浮支承.由图8(c)可知，随着阻抗比的增加，承载力逐渐减小，最终不同均压槽高度的气浮支承承载力值均会降至与无槽气浮支承承载力接近.随着均压槽高度的增加，气浮支承的承载力逐渐增大且承载力的峰值 会小幅度增大.

5.4 均压槽角度影响分析

当均压槽角度改变时，探究其对气浮支承静态性能的影响，气浮支承的其他参数均保持不变(R3=35 mm，hg=0.10 mm，N=4，Ps=0.5 MPa)，均压槽数量对气浮支承性能影响如图9所示.由图9(a)可知，相比于无槽的气浮支承，当矩形截面均压槽角度逐渐增加时，气浮支承阻抗比会逐渐增大，当气膜厚度较小(h≤10 mm)时，阻抗比的值变化不明显.随着气膜厚度的逐渐增加，阻抗比逐渐增大.由图9(b)可知，随着阻抗比的增加，矩形截面均压槽气浮支承的刚度先增加后减小，且刚度的变化速率先快后慢.当阻抗比Z>1时，矩形截面均压槽气浮支承的刚度最终都会略低于无槽.随着均压槽角度的增加，矩形截面均压槽气浮支承刚度会逐渐增大但峰值的变化不明显，刚度峰值对应的阻抗比值会增大.由图9(c)可知，随着均压槽角度逐渐增大，承载力逐渐增大，承载力峰值会小幅度增加.随着阻抗比逐渐增大，气浮支承的承载力会逐渐减小，最终不同均压槽角度的承载力值均会降至与无槽气浮支承承载力接近.

Fig.8 The influence of the height of the pressure groove on the gas-impedance,the stiffness and the loading capacity图8 均压槽高度对阻抗比、刚度和承载力的影响

Fig.9 The influences of the angle of the pressure groove on the gas-impedance,the stiffness and the loading capacity图9 均压槽角度对阻抗比、刚度和承载力的影响

Fig.10 The air supply pressure on the gas-impedance,the stiffness and the loading capacity of the gas图10 供气压力对阻抗比、刚度和承载力的影响

5.5 供气压力影响分析

当供气压力改变时，探究其对气浮支承静态性能的影响，气浮支承的其他参数均保持不变(R3=35 mm，hg=0.10 mm，N=4，θ=4°)，供气压力对气浮支承性能影响如图10所示.由图10(a)可知，随着气膜厚度的增加，气浮支承的阻抗比逐渐增大.当气膜厚度较小(h≤12 mm)时，阻抗比的值变化不明显，随着供气压力的增加，阻抗比逐渐增大.由图10(b)可知，随着阻抗比的增加，矩形截面均压槽气浮支承刚度先增加后减小，且刚度的变化速率先快后慢，刚度峰值对应的阻抗比值会增大.随着供气压力的增加，矩形截面均压槽气浮支承的刚度会逐渐增大且峰值的也逐渐增大，刚度峰值对应的阻抗比值会增大.由图10(c)可知，随着供气压力的增加，矩形截面均压槽气浮支承的承载力会逐渐增加.随着阻抗比的增大，矩形截面均压槽气浮支承承载力逐渐减小且减小的速率先快后慢，最终承载力降至同一水平左右.为了提升气浮支承的承载性能，最直接有效方法就是增大供气压力.当供气压力一定时，增加均压槽的半径也能够有效提升气浮支承的承载性能.而均压槽角度、数量和高度对承载性能的提升作用稍弱.

6 结论

a.利用阻抗法推导出气浮支承承载力的简化计算公式.利用阻抗法计算气浮支承承载性能，极大缩减仿真计算所需要的时间，使计算效率大大提高，而且能够保证承载性能计算结果的精度.

b.当该气浮支承的其他参数一定时，任意增加均压槽半径、数量、角度、高度和供气压力其中之一，阻抗比值都会增大，气浮支承的承载力也会增大，刚度峰值会不同程度朝着阻抗比增大的方向移动.当气膜厚度增加时，气浮支承阻抗比值会增大，气浮支承承载力会降低.

c.利用阻抗法能够解决含有均压槽的气浮支承在三维方向上的简化计算问题.