高中数学课程视角下关于“函数单调性定义”教学分析

何桃容

摘要：在高中数学课程中，“函数单调性定义”是其中一项重点教学内容。本文基于高中数学课程视角下，对“函数单调性定义”这一重点教学内容进行了系统地分析与探究。

关键词：高中数学;函数单调性定义;教学分析

教师在教学“函数单调性定义”这一内容时，应该积极探索高效的教学方法，创新教学理念，以此促进高中数学课程教学水平的发展。

一、初、高中“函数单调性”内容的对比

（一）知识体系的对比

在初中，依托平面直角坐标系，学生对照给出的函数图像，依照横向右看、纵向上看（即沿x轴、y轴的正向）的原则，通过“看图说话”认识函数的单调性，所以初中学习函数单调性的特点是“直观→文字语言描述”，与初中对单调性的描述性刻画相比，高中函数单调性的定义有以下三个特点（以增函数为例）：第一，定义的表述是纯粹的数学符号语言精确表达，而非数学文字语言描述;第二，刻画自变量增加，函数值也增加用的是“比大小”的方法，即单调性的形式化定义是借助于不等式给出的，其结构的独特性是很难有此前可以借鉴和类比的内容;

第三，定义中对于x1，x2（x1<x2）的“任意性”，既无法在图像上看到，也无法用具体数值说明，是对数学符号的抽象刻画。从上面分析即可看出，从初中借助直观“看图说话”的描述，到高中借助数学符号语言的精确定义，初中与高中的关于函数的单调性的知识跨度非常之大。

（二）认知体系的对比

我们知道，初中数学教材中已经对函数的单调性给出了描述性刻画“对于一个函数，当自变量增加时，如果函数值也随着增加，则称函数是单调递增的”，首先，这种对函数单调性的描述性刻画与人们认识事物增大或减小的描述是非常一致的;其次，这种描述的过程中没有使用特殊的数学符号语言;再次，在初中对于函数单调性的要求不高，没有要求利用函数的单调性进行某些计算或证明，因此学生在初中学习函数的单调性并不存在较大的障碍。对脱离初中不久的高一学生而言，要想正确理解高中数学中的函数单调性定义，在认知上还是存在较大的障碍的：首先，学生刚上高中，一般还没有适应高中数学知识相对初中的容量大、进度快、练习少的特点，从习惯到方法还没有调整过来;其次，高中数学中的函数单调性定义的符号多，抽象性较强，表述特殊，必须借助若干特殊函数、图像直观分析，甚至通过举反例来理解抽象的概念，这与初中的教学形成了较大的认知层次上的差距。

（三）应用性的对比

从教材和应用的视角看，初中对函数单调性的要求基本上是用“看图说话”的方法判断某些具体函数的单调性，而高中函数单调性具有要求高、联系广、多方位综合的特点，高中数学的函数单调性与不等式、数列、向量、微积分，甚至一些解析几何的综合问题都有密切联系。例如，高中要依据单调性定义，借助于不等式等知识判断函数的单调性，反之，要会由具体函数的单调性得出某些不等关系，因此单调性是分析和解决某些数学问题的有力工具。

二、整体把握高中数学课程视角下函数单调性的教学实践

当认识到高中数学函数单调性定义在教材呈现上的特点后，我们可以从整体把握高中数学课程的视角，对现行教学关于函数单调性定义教学的引入部分进行重新调整。引入情境的设计注重从定义的整体出发，注重直观的作用，对定义中函数的抽象性、定义结构的抽象性加强分层设计，具体做法如下：

（1）增加“检验学生是否由低到高按身高排队”的实例：老师要求体育课代表先把全体学生按照身高从低到高（从左到右）排一队，当队伍排好后，老师对课代表说，如果不测量身高，你能用什么简单的方法让老师确信队伍一定按要求排好了（按大小个排队的情境是学生身边熟悉的问题）。

（2）课代表回答说：您随意指定一个人，只要在他右边的（无论是否相邻）任何一个人都比他高，则队伍就按要求排好了（将排队问题转化为两个人身高的比较问题：学生由自身的生活经验很容易判断此说法的正确性;“比较大小”将定义中的连续变为离散，无限变为有限，而定义中变量的“任意性”定义的基本结构在实例中不变）。

（3）教师为了能够将课代表的意图表示得更清晰，把学生从左至右编了由小到大的号码，若对于任意-个号码为a的学生及他右边的任个号码为b的学生（a<b），都有a的身高小于b的身高，则可以肯定排队是正确的（将实例逐步符号化、抽象化：在比较身高的情境中，初步感受合理方法的符号化过程，体会“任意”在检验排队问题中的含义）。

（4）我们尝试用符号来表示上面的检验方法：若用h（x）（x表示学生的号码）表示学生的身高，则上面检验排队的方法可以表示为：若对于任意一个学生a及a右边任意一个学生b，都有h（a）<h（b），则所有学生是按照从左向右、从低到高排队的（把上面实例中的刻画进一步符号化、抽象化、向定义结构靠近：这样一个与函数单调性定义结构基本一样的实例，能帮助学生直观具体地理解函数单调性定义的结构，也让学生明白，很多抽象的数学定义其实离我们的生活并不遥远）

（5）在此基础上引入二次函数为载体时的函数单调性定义（熟悉的特殊函数;将上面离散的、有限的x，h（x）变为连续 无限的x，f（x）=x2）。

这种方法可以克服多年来单调性定义在此环节启而不发的尴尬局面，由学生用自己的语言表述单调性的定义，使学生感受到单调性定义来得很自然，我们的生活中处处有数学。

结束语：

综上所述，通过对初、高中“函数单调性”的内容进行对比，不难发现高中数学课程“函数单调性”内容更具有深度和广度，这就需要教师在教学过程中，不断探索高效的教学方法，以适應高中生的学习需求，让高中生可以牢固地理解并掌握“函数单调性定义”内容，提高此内容的教学效率，从而达到预期的教学目标。

参考文献：

[1]黎栋材，龙正武，王尚志.站在系统的高度，整体把握函数单调性教学[J].数学通报，2015（12）：7-11，15.

[2]教育部考试中心.普通高等学校招生全国统一考试大纲[M].北京：高等教育出版社，2016.

[3]史嘉.“函数的单调性”教学简录.中学教研（数学），2015（12），24-27.