浙教版初中数学教材中数学史内容的分析与思考

李慧琳 韩祥临

摘      要 以浙教版初中数学教材作为研究对象，采用文献研究法和文本分析法，从数学史融入教材的“三大领域”、融入位置、融入方式三方面进行分析，结果显示浙教版初中数学教材中的数学史在“三大领域”的分布失衡，且相差较大。因此对数学史融入数学教材提出了均衡各领域的数学史内容，增加数学史在正文中的运用，注重运用重构式的改进建议。

关 键 词 浙教版初中数学教材  数学史  分布领域  教材改进

引用格式 李慧琳，韩祥临.浙教版初中数学教材中数学史内容的分析与思考[J].教学与管理，2022（04）：71-74.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调，教材可以适时地介绍知识的相关背景，帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美。美国数学史家克莱因在表述数学教育的核心思想时指出：数学史是数学教学的指南。教材是课程内容的重要载体，也是教师教学的主要依据，“讲历史，讲思想，讲文化”是教材编写的指导思想之一[1]，因此研究数学教材中的数学史具有重要意义。

研读现有的文献发现，国内对于数学教材与数学史的研究主要集中在以下五个方面：一是对不同国家或地区的数学教材中的数学史进行维度划分，基于比较研究法对各维度进行对比研究;二是关于数学史如何更好地融入教材的理论探讨与研究;三是教师对教材中的数学史的认识和运用程度的调查研究;四是对我国流行教材中的数学史内容进行细致的分类统计并分析;五是针对教材中某一个小的知识点如何融入数学史。研究对象以人教版和北师大版居多，对于浙教版初中数学教材中的数学史研究甚少，故本文选取浙教版初中数学教材为研究对象，分析其数学史融入教材的现状，以期为更好地改进教材提供建议。

一、教材中数学史内容的分析

浙江教育出版社出版的初中数学教材（2014年第3版）共六册，对其中的数学史内容做了具体详尽的统计，统计结果显示六册教材中共有数学史料54处。其中七年级教材共融入20个数学史料，内容分别为数的由来和发展、中国古代在数发展方面的贡献、编青铜上的确定数、印第安食物罐上的宽与高的比为■、神奇的？仔、数学中的符号、丢番图、七巧板、对顶角的几何证明、古代风筝的骨架角度、地球有多大、“鸡兔同笼”问题（31页和38页两处）、盈不足问题、《九章算术》中的“方程”、古算题、面积割补、古希腊的欺骗性土地分配事件、完全平方公式以及杨辉三角与两数和的乘方。八年级数学教材共有数学史料20处，内容包含三角形内角和180°、费马和他的猜想、古代藏宝地图、温特沃斯和史密斯在《平面几何》中证明全等、泰勒斯判定三角形全等的方法、将军饮马、赵爽弦图、《九章算术》题目、勾股定理的证明、从勾股定理到图形面积关系的拓展、巴比伦公元前梯子问题改编、谁将获得最后一个小组出线名额、坐标思想的由来、笛卡尔的故事、纸草书、历史解一元二次方程的改编、韦达定理、一元二次方程发展小记、《几何原本》第一卷命题 3以及《路边苦李》故事。九年级教材中融入了14处数学史料，内容包含数学家曾做的抛硬币实验、赵州桥的桥拱圆弧半径、《几何原本》第三卷命題20、拿破仑经典题目“只用一个圆规把一个圆分成四等分”、美妙的镶嵌、黄金分割、《蒙娜丽莎》人像符合黄金分割、古希腊帕特农神庙、《九章算术》题目、《算经海岛》题目、圆周率、“赵爽弦图”、日晷以及杜登尼的“蜘蛛和苍蝇”问题。

总体来看，浙教版六册教材中共有数学史料54处，其中七年级21处，八年级20处，九年级14处，每册出现的数学史数量依次为：9，11，14，6，10，4。虽然六册教材都有融入数学史料，但集中在七上、七下和八上这三册书，约占总体数学史数量的68%，而八下、九上和九下三册书中的数学史约占总体数量的37%，说明编写者注重在低年级的教材中融入更多的数学史料，这符合学生心理发展由具体到抽象的阶段性特点。教材中的数学史内容十分广博，包括中西方不同国家、不同领域、不同时期的内容。

1.数学史在“三大领域”的分布

由表1可以看出，数学史分布在“图形与几何”领域的数量最多共有32处，约占总体的59%;在“数与代数”领域的融入数量次之，共21处，约占比39%;而“统计与概率”领域仅有一处数学史融入，约占总体比重的2%，即为用频率估计概率时给出了古代数学家掷硬币的实验数据。由此可见，数学史在“三大领域”中的分布严重失衡。产生这种现象与领域本身的知识特征有很大关系，“图形与几何”在历史上的资料是很多的，数学家们对此的争论也多，比如勾股定理的证法就有20多种[2]，故此领域可引入的数学史较多;“统计与概率”领域的知识历史研究比较困难，且浙教版初中数学教材有关“统计与概率”内容只有三章，导致教材中的数学史内容更少。

2.数学史融入的位置

从表2可以看出，教材中各个位置都有出现数学史料，但各个位置数学史料数量有一定差别，集中在阅读材料、作业题、章节前、正文四个位置。其中阅读理解的数学史料与作业题包含的数学史料数量相等，分别占总体的24%，如八年级上册证明一节给出阅读材料“费马和他的猜想”来充实说明在数学的发展中占有重要地位，七年级下册关于二元一次方程的应用直接给出我国古算题让学生求解。章节前的数学史共有12处，约占总体的22%，如七年级上册在近似数一节前介绍曾侯乙编钟上的准确数，八年级上册勾股定理一节前介绍赵爽弦图等。正文中的数学史料共有10处，占比为19%，例如七年级下册乘法公式中的完全平方公式是欧几里得首次在《几何原本》中抽象出来的。设计题、课题学习和探究活动处分别有一处数学史。总体来看，数学史在教材中的分布比较宽泛，这说明编者注重将数学史穿插于教材的各处，以达到有物有则的效果。

3.数学史运用的方式

汪晓勤在借鉴Tzanakis和Arcavi以及Jankvist研究结果的基础上，按照数学史与数学知识的关联程度，将数学教材中运用数学史的方式分成五类[3]：点缀式、附加式、复制式、顺应式、重构式。按照这五种方式将教材中运用的数学史进行分类统计，结果显示这五种方式都有涉及（见表3）。浙教版数学教材运用数学史最多的方式是附加式，约占总体的31%，如七年级上册学习有理数时给出阅读材料“中国古代在数发展方面的贡献”。顺应式出现了15次，约占总体的28%，如七年级下册二元一次方程组时给出根据古算题改编的盈不足问题。复制式出现了14次，占总体的26%，如九年级上册的圆周角定理是直接引用《几何原本》第三卷的命题来说明此定理。重构式出现了7次，约占总体的13%。重构式是指正文各栏目中借鉴或重构知识的发生、发展历史，以发生法来呈现知识[4]，因此教材运用重构式的难度最大，运用此方式的数量较少，如九年级下册三角函数中使用刘徽的“割圆术”方法解决新的数学问题。点缀式只出现一次，即九年级上册比例线段一节中展示帕特神农庙建筑图，用来反应黄金分割率用于社会各个方面。

二、对教材中数学史内容改进的思考

1.开发资源，均衡各领域数学史内容

“三大领域”作为义务教育阶段学生数学课程的重要内容，对于培育学生不同方面的数学能力起着举足轻重的作用，而该教材中“数与代数”和“统计与概率”领域的数学史内容仅占总体的41%。因此，在教材编写时应进一步挖掘这两个领域的数学史料，并将原始的数学史学形态转化为合理的数学教育形态融入教材中，以促进学生对知识的理解。

例如“数与代数”领域的有理数运算一节，可以在教材中引入《九章算术》中的有理数加法法则：“异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”意思是（两有理数相加）异号时（绝对值）相减（符号取绝对值较大者），同号（绝对值）相加（符号取其原来的符号），正数加零为正数（本身），负数加零为负数（本身）[5]。此法则与教材中法则意思相同，且对比教材中的叙述，此法则文字十分精炼，朗朗上口，学生乐于习诵。教师可以介绍中国是世界上最早系统总结出有理数四则运算的国家，以及中国对于有理数运算发展的贡献等。这样不仅使学生熟知了运算法则，而且做到了弘扬中国优秀传统文化，这是数学课程思政融入中学的有效途径。

再如学习“统计与概率”领域的中位数知识时，教材中可以展示这样的故事：第一个可能使用中位数的例子出现在Edward Wright关于航海的著作中[6]。1599年，他在书中讲解了在航行中如何用指南针确定轮船位置的方法。海浪的波动带动轮船颠簸，导致即使同一时期在甲板上观察指南针，得到的数据都会有很大的差异。为了尽可能保证数据的准确性，他把测得的观察值按照大小顺序列成表格，在此表格中，位于最中间位置的数据则是最可能接近真实值的数据。这时人们将中位数作为平均数的代替品来看待。这样的数学故事可以使学生对于中位数的由来以及意义有更加深刻的体会。

2.调整结构，增加数学史在正文中的运用

数学史位于正文的位置仅占总体的17%，最多的是在章节最后的阅读材料处，所处这样的位置是对数学史料的大材小用，难以让师生注重其内容，其所蕴含的育人价值更是难以发挥。数学史进入正文，我们的数学教学方能充分反映数学的文化底蕴[7]。我们应该调整教材的结构，尽可能将数学史穿插、编排进入正文中，引起师生的重视，更高效地渗透数学文化。

例如在学习单项式与多项式相乘时，可以在正文中给出这样的一个探究活动：矩形长为a+b+c+d，宽为e，如图1所示，请学生用两种方法求矩形的面积。学生依据以前学过的知识可得：（a+b+c+d）e=ae+be+ce+de。然后介绍这种思想在我国称为出入相补原理，此定理在我国的运用不晚于春秋。刘徽在《九章算术》中多次运用此原理解决问题，吴文俊在研究刘徽著作的基础上首次概括出来出入相补原理的完整表述：若一个平面图形从一处移到它处面积不变，若把它分割成几个部分，各部分面积的和等于原来图形的面积[8]。此题目符合出入相補原理的第二种情况。从这个探究活动学生就可以总结出单项式与多项式相乘的法则，并且了解其中蕴含的中国古代数学思想。像这样在正文中介绍数学史内容，可以使数学史切切实实与数学教学关联起来，凸显其对于教学的必要性，使学生感受中国卓绝的数学思想无处不在，从而将数学课程思政贯彻到中学教育。

3.改变方式，注重运用重构式

要提高教材中数学史的融入水平，就必须避免只以点缀式、附加式、复制式等“为历史而历史”的显性方式来呈现史料[9]，应该增加重构式的运用。重构式属于一种隐性的融入方式，是对数学知识的揭示，通过对数学知识进行超越时空的整合，可以让学生感受数学家的智慧，提高数学探究能力。由此可见，教材的编写应该尽可能展现“知识背景—知识发生—知识发展变化—知识应用”的过程。

例如在编写配方法一节时，可以在教材中隐性融入数学家花拉子米用几何论证方程x2+10x=39的求解过程。首先给出方程x2+10x=39，以及从几何角度此方程代表的图形是长、宽分别为（x+10）和x的长方形的面积（如图2）。接着给出问题：这不是正方形，无法根据上节课所说直接开平方求出边长，也就是x的值。那么，可以通过什么方式把它变为一个正方形？学生想到可以采用割补法，经过自己动手得到割补以后变成正方形（如图3），让学生探求由于图形的变化导致方程如何变化，从而总结出配方法。

这个过程就是花拉子米在代数发展止步不前的时代从几何角度分析求解方程的过程。这样重构式的运用方法让学生经历花拉子米探索方程解的过程，对于加深学生理解为什么要在“方程两边同时加上一次项系数一半的平方”的深度理解十分有帮助。领会数学家解决问题的思考方式，顿悟到自己遇到困难时可以尝试从不同的角度思考问题，完成与数学家的一次“跨越时空的心灵之约”。

总之，浙教版初中数学教材应该进一步发掘数学史料，重点丰富数学史在“数与代数”和“统计与概率”领域的融入，使各个领域都呈现数学史百花齐放的场景，通过合理运用数学史料加深学生对领域知识的理解与掌握。并且应注重以重构的方式在正文中融入数学史，使数学史在“重生”中大放异彩，发挥其深层次的育人价值。

参考文献

[1] 蒲淑萍，汪晓勤.教材中的数学史：目标、内容、方式与质量标准研究[J].课程·教材·教法，2015，35（03）：53-57.

[2] 陈碧芬，唐恒钧.北京师范大学版初中数学教材中数学史的研究[J].数学教育学报，2007，16（02）：95-97.

[3][4] 汪晓勤.法国初中数学教材中的数学史[J].数学通报，2012，51（03）：16-20，23.

[5] 韩祥临，等.数学史在中学数学中的应用[M].北京：中国文史出版社，2004：7.

[6] 吴骏，黄青云.基于数学史的平均数、中位数和众数的理解[J].数学通报，2013，52（11）：16-21.

[7] 王振辉，汪晓勤.数学史如何融入中学数学教材[J].数学通报，2003，42（09）：18-21.

[8] 刘芳芳.出入相补原理的历史及教学应用[D].太原：山西师范大学，2014.

[9] 覃淋.我国高中数学教材中数学史的分析与思考[J].教育导刊（上半月），2020（02）：71-79.

【责任编辑  郭振玲】