把握度量本质，认识度量价值

董文彬

摘要：在分析教材的基础上，由前测结果得到，《长方体的体积》一课的教学重在帮助学生把握度量本质，认识度量价值，从而发展度量意识。为此，需要引导学生利用体积单位（小正方体）度量长方体的体积，从而沟通体积与其他要素的联系，得到长方体体积计算公式;还要引导学生比较长度、面积、体积的度量及计算（间接度量），建立小学数学图形度量的知识结构。

关键词：《长方体的体积》;度量本质;度量价值;度量意识;知识结构

一、教学思考

《长方体的体积》是小学数学“图形与几何”领域度量内容的核心课之一，也是学生在完成一维空间图形长度度量和二维空间图形面积度量的基础上学习三维空间图形体积度量的起始课，能为学生学习其他三维空间图形体积的计算（间接度量）奠定基础。

学习本节课之前，学生已经认识了体积和容积，建立了体积、容积的概念，理解了体积、容积的意义;同时，也认识了体积、容积的计量单位，会进行单位之间的换算，了解了1立方米、1立方分米、1立方厘米以及1升、1毫升的实际意义，发展了一定的量感。

对比人教、苏教、北师大三版小学数学教材可以发现，本节课的重点是，借助体积单位（小正方体）摆拼，探索长方体体积的计算公式（经历长方体体积计算公式的形成过程）。这能帮助学生进一步认识度量的本质是计量单位的累加，感受度量方法在计算公式推导中的作用。

课前，笔者对自己执教的两个平行班的学生做了前测。

对于“你认为长方体的体积与什么有关”，702%的学生认为与长、宽、高有关（追访发现，这部分学生中，有500%是利用长方体体积计算公式解释的，有333%是举例解释的，比如，纸摞起来，高变，体积就变）;135%的学生认为与所占空间的大小有关，而没有涉及长方体的要素;163%的学生认为与面有关（追访发现，这部分学生中，有333%认为与底面积有关，有667%认为与表面积有关，比如，表面积大，六个面就大，围起来构成的空間也大）。可见，多数学生对长方体的三个维度有一定的感知，能自觉地关联。

对于“长方体的体积怎么计算？说说道理”，89.2%的学生知道长方体体积计算公式，其中，833%的学生说不清楚道理，167%的学生利用“长乘宽是底面积，再乘高就是有多少个底面积”解释;108%的学生不知道怎么计算。可见，虽然大部分学生知道长方体体积计算公式，但是几乎没有学生能够正确解释。

由前测结果可知，学生虽然有过一维长度和二维面积的度量经验，而且学过体积的计量单位，但是依然不能很好地把握度量本质、认识度量价值，因而依然缺乏度量意识，不能在三维体积的度量情境中迁移上位的度量思想（所以不理解公式背后的道理）。因此，本节课的教学，重在帮助学生把握度量本质，认识度量价值，从而发展度量意识。为此，需要引导学生利用体积单位（小正方体）度量长方体的体积，从而沟通体积与其他要素的联系，得到长方体体积计算公式;还要引导学生比较长度、面积、体积的度量及计算（间接度量），建立小学数学图形度量的知识结构。

二、教学实践

（一）了解已有知识，提出探究问题

师今天我们一起来学习长方体的体积。对于长方体的体积，你都有哪些了解？

生长方体的体积就是长方体所占空间的大小。

生长方体的体积可以通过长乘宽乘高来计算。

师长乘宽乘高可以计算出长方体的体积，这个方法你们都知道吗？

（大部分学生举起了手。）

师你们都已经知道怎么计算长方体的体积了，那你们这节课还想知道些什么？或者还想研究些什么？

生为什么长方体的体积可以用长乘宽乘高来计算？

生长方体的体积等于长乘宽乘高，背后的道理是什么？

师你们提出的其实是同一个问题。这个问题很有价值，也很有挑战性。下面，我们就来探索解决这个问题。

[设计意图：开门见山，揭示主题。了解学生的已有知识后，引导学生提出有价值、有挑战性的问题，引发本节课的数学探究。]

（二）估测气球的体积，激活体积度量经验

师（拿出一个未吹气的气球）请你根据经验，估一估这个气球的体积大约是多大，说一说你是怎么估的。

生我估计它的体积大约有2立方厘米，因为这个气球是瘪的，把它团在一起，大约有2粒花生米那么大。

生我估测它的体积应该有3立方厘米，我的想法也是想象把它揉在一起，但我感觉它应该有3个1立方厘米的小正方体那么大。

（教师请一名学生给气球吹气。）

师现在它的体积大约是多大呢？

生我猜现在它的体积有1立方分米，大约是1个粉笔盒那么大。

（教师请学生继续给气球吹气。）

师现在它的体积大约又是多大呢？

生现在它的体积应该是2立方分米，大约有2个粉笔盒那么大。

生我觉得应该有2.5立方分米，用1立方分米的正方体模型做比对，现在气球应该有2个半模型那么大。

师无论前面估的几立方厘米，还是后面估的几立方分米，实际上都是在用这个气球和1立方厘米或1立方分米的体积单位进行比较，有多少个1立方厘米（分米），它的体积就是多少立方厘米（分米）。

[设计意图：在估计气球这样不规则物体体积的过程中，学生借助1立方厘米、1立方分米的正方体做参照，发展了量感;同时，回顾体积和体积单位知识，激活体积度量经验，为后面的研究做铺垫。]

（三）实测长方体纸盒的体积，探索体积计算公式

师（出示大约250毫升牛奶盒大小的长方体纸盒）它的体积大约是多少呢？每个小组有一个塑料筐，里面有若干1立方厘米的小正方体。你觉得多少个小正方体能表示出这个长方体纸盒的体积，就抓出多少个小正方体。

（学生估测长方体纸盒的体积，根据估测结果抓取大致数量的小正方体。）

师估测得到的结果总是不够准确，不能让人信服。这回我们来实测一下。小组分工合作，共同完成任务：用筐里的小正方体表示长方体纸盒的体积（纸盒的厚度忽略不计）。

（学生小组操作、测量后，全班展示、交流。）

生（组1代表展示摆拼结果，如图1所示）我们用小正方体比对着长方体纸盒摆拼出和它一样大的长方体，数出小正方体（也就是体积单位）的个数是240：一层是10×6=60（个），总共摆了4层，总数就是60×4=240（个）。因为每个小正方体是1立方厘米，所以我们认为，长方体纸盒的体积是240立方厘米。大家同意我们的想法吗？

生（组2代表）我们的最终结果和你们一样，也是240立方厘米，但是，我们表示这个长方体体积的过程和你们不太一样。

师有新的表示方法！快和大家分享一下。

生（组2代表展示摆拼结果，如图2所示）我们是这样表示的。我们先在纸盒里摆满一层，摆这层的时候，先沿着长方体的长摆一行，是10个，然后共摆了这样的6行，这样底下这一层就是10×6=60（个）。我们接着往上摆，摆着摆着，我们发现，用不着全摆满，因为这个纸盒正好能摆这样的4层，一层摆60个，4层就是60×4=240（个）。所以，长方体纸盒的体积就是240立方厘米。大家有什么问题吗？

生（组3代表）我们赞成你们的方法，其实我们组跟你们组差不多，也是不全摆满。（展示摆拼结果，如图3所示）我们组摆完是这样的，列式计算是10×6×4=240（个）。大家能看懂我们的方法吗？

生我看懂了。其实，你们两个组表示的方法基本上是一样的，都没摆满。因为摆出一部分之后就用不着再摆下去，能算出体积单位的个数了。这样省了很多力气！

生（组4代表）我们组也没有全摆满。（展示摆拼结果，如图4所示）我们是这样摆的：也先在盒子底部摆满一层，是10×6=60（个），然后直接在盒子的拐角处往上连续摆3个。这样就能计算出摆满时小正方体的总数是60×4=240（个），所以体积就是240立方厘米。

生我觉得，你们组和前面两个组的表示方法差不多，但是你们组摆得更加清楚：摆满一层之后再连续摆3个，其他多余的一个都不用摆，就完全能说明这个长方體纸盒能摆这样的4层，就可以计算出小正方体的总数了。

生他们只摆出底面一层和高的个数，就可以算出体积单位的总数了。这既简便，又清楚！

（学生自发鼓掌。）

生（组5代表）我们组还有更简便的表示方法。

师快来和大家交流一下！

生（组5代表展示摆拼结果，如图5所示）我们组是这样表示的。我们不解释，大家能看懂吗？

生我看懂了，他们组只摆出长、宽、高的个数，这样就可以计算出体积单位的总数了：10×6×4=240（个）。

生只要分别沿着长方体盒子的长、宽、高摆小正方体就可以了。沿长摆10个，沿宽摆6个，就能算出一层是10×6=60（个）;沿高摆4个，就表示一共能摆4层，总数就是60×4=240（个）。他们这样表示确实更简便！

（学生自发鼓掌。）

师刚刚我们一起交流了这么多种用小正方体摆拼表示长方体纸盒体积的方法。纵观这五种方法，你发现了什么？不同表示方法的背后有没有共同之处？

生我发现，都是摆放作为体积单位的小正方体来表示长方体纸盒的体积的。

生虽然表示方法不同，但是最终通过计算得出用到的小正方体个数都是240，说明长方体的体积就是240立方厘米。

生我发现，这几种表示方法在计算小正方体总数时的算式都是10×6×4=240（个），都是用长方体的长乘宽乘高。

师哎？还真是如此！那么大家认真想一想：为什么会这样呢？为什么用长乘宽乘高就能得到小正方体的总数，也就是长方体的体积呢？长方体的长、宽、高与小正方体的总数之间是不是存在着一定的关系？是什么关系呢？

生我知道了！（指着组1的摆拼结果）大家看啊，长方体的长对应的是这一行的个数，长方体的宽就是这一层的行数，那么长方体的长乘宽就是这一层中一行的个数乘行数，也就算出了一层的个数;长方体的高就是层数，用一层的个数乘层数，对应的就是长乘宽之后再乘高，计算得出的就是小正方体的总数，也就是这个长方体的体积。

生小正方体摆拼的行、列和层，也就是一行的个数、行数和层数，对应的分别就是长方体的长、宽和高，它们相乘就能得出小正方体的总数，也就是长方体的体积。

师你们理解得很透彻！现在大家假想一下：如果不用这些1立方厘米的小正方体摆拼表示，你能直接算出这个长方体的体积吗？

生能，只要知道长方体的长、宽、高，相乘就可以了。长、宽、高分别是10厘米、6厘米和4厘米，那么体积就是10×6×4=240（立方厘米）。

生我终于明白长方体的体积公式为什么是长乘宽乘高了！长、宽、高在这里都有各自的含义，也就是分别对应着一行的个数、行数和层数，三者相乘是为了计算出作为体积单位的小正方体的总数，也就是长方体的体积。

师（课件出示图6）这么容易就能算出长方体的体积，那我们还利用小正方体体积单位又摆又拼又数的，有用吗？

生有用，数体积单位的个数这种方法还可以用来测量形状不规则的物体的体积。

生数体积单位的个数是最基本的体积测量方法，是体积计算公式的基础。我们不能因为有了简单的公式，就忘了基本的方法，还有很多情况是没有简单的公式的，而可以用基本的方法。

师你们说得真好！我们已经获得了长方体体积的计算公式，那么正方体的体积又该怎么计算呢？

……

师你能用字母简化表示这两个公式吗？

……

师你们很善于推理，还很很好的符号意识，真了不起！

[设计意图：将学生带回度量认知的原点，让学生用体积单位（小正方体）表示长方体的体积，经历摆拼、数算体积单位的过程，发现长方体体积计算公式实际上就是数算体积单位的结果，帮助学生把握度量本质，认识度量价值，从而发展度量意识。]

（四）比较多维度量，建立知识结构

师（课件演示长度、面积、体积的度量及计算过程，定格于图7）从一维长度到二维面积再到三维体积，你对图形的度量及计算有了哪些新的认识？

生我发现，从长度测量到面积测量再到体积测量，它们都有各自的单位。

生我发现，测量的过程都是在数单位的个数，面积公式、体积公式都是在计算单位的个数;有多少个相应的单位，长度、面积、体积就分别是多少。

[设计意图：从长度到面积再到体积，在比较中，帮助学生进一步把握度量本质，认识度量价值，整体建立小学数学图形度量的知识结构。]