傅里叶变换轮廓术在通信原理课程的教学应用

李雪，陶曾杰，雷 琳

（湖南信息学院电子科学与工程学院，长沙 410151）

0 引言

通信原理课程是电子信息工程、通信工程等新工科专业的核心课程，内容抽象，体系繁杂。为讲好该课程，各高校教师在教学设计、教学手段等方面进行了各种优化［1-6］。在模拟和数字通信系统教学讲解中，教师从时域推导到频域分析，公式较多，学生常在推导过程中迷失，看不到通信系统调制、解调的全貌，对这门课失去学习信心［7］。在抑制载波双边带调制系统［8-9］教学过程中，教师一般讲授基带信号在频域调制前后位置、形状变化情况，并与基带信号在时域的波形变化对比，其中涉及载波、频谱搬移、频谱提取和低通滤波等概念。在抽样定理教学过程中，需要教师讲解抽样速率、频谱分离和频谱混叠等内容。在二进制振幅键控等数字频带传输系统部分需要讲解带通滤波和低通滤波等内容。学生如果对滤波、调制、解调中频谱结构、位置的变化过程等内容没有非常清晰的认识，在整个课程学习中都会处于似懂非懂状态，极大降低学习热情。如何在课程中加深学生对时域频域变换、频谱结构和频域常见操作的理解和认识，是讲好该课程的关键。

1 傅里叶变换轮廓术

1.1 傅里叶变换轮廓术简介

三维重建是当今社会热点，其关键技术之一的主动三维结构光成像技术［10-11］，具有较高的测量准确度、灵敏度和较强的稳定性。Takeda等［12］将傅里叶变换的思想引入结构光投影的三维面形测量技术中，提出傅里叶变换轮廓术（Fourier Transform Profilometry，FTP）。FTP只需投影一帧图像就可全场重建被测物体的三维面形，不需要投影多帧图像，适用于动态过程的三维测量和显示。FTP［13］是通信与光学领域交叉联系的结果，借鉴在通信领域中的调制与解调的概念，其过程以三维面形调制、解调立体形象化方式展示。

将FTP三维重建技术应用于通信原理课程，通过展示物体三维重建过程，把传统教学中一维信号对应的一维频谱关系，形象直观展示为二维信号对应的三维频谱关系，二维图片和三维频谱信息能带给学生立体形象的视觉体验，既能满足学生对于调制、解调、频谱提取和频谱混叠等概念的理解认识，又能将学科前沿知识融入课程，增强课程的深度广度。在课程理论教学中以学习探究、案例分析方式引入FTP 三维重建技术，对学生理解课程概念和方法大有益处。

1.2 傅里叶变换轮廓术原理

FTP三维重建原理光路如图1 所示。

图1 FTP原理光路图

Projector为结构光场的投影系统，成像系统一般采用CCD 摄像机。E1、E2分别投影系统的出瞳和入瞳，E1E2为其光轴。I1、I2分别是成像系统的出瞳和入瞳，I1I2为成像系统的光轴，两光轴相交于参考平面上的O点，参考平面与成像系统的光轴垂直。光栅的栅线垂直于E2I2O平面，光栅像被投影到待测物体表面，由于受到物体高度h（x，y）调制，成像系统拍摄得到变形光栅像。Ie到参考平面的距离为l0。d为成像系统与投影系统之间的距离。一光线投影到参考平面上C点和物体上H点，反射光线经过参考平面D点，在CCD阵列上M点成像。

FTP三维重建技术的工作流程［14-15］：

（1）被测物体三维面形作为调制信号，投影在物体表面的结构光场作为载波信号，结构光场受到三维面形高度的调制，使结构光场的相位和频率发生变化，得到已调信号。

（2）采用CCD相机对变形结构光场（己调信号）进行拍摄，获得己调信号离散信息，经过离散傅里叶变换、频域滤波和逆傅里叶变换，计算出己调信号相位信息。

（3）通过相位与高度的映射关系，计算出被测物体的三维面形。

摄像机拍摄得到参考平面上结构光场分布

式中：r0（x，y）为参考表面的反射率；An为傅里叶级数的系数；f0为光栅像的空间基频；ϕ0（x，y）为参考平面结构光场的相位分布。图中：x轴与光栅栅线垂直；y轴与光栅栅线平行。

摄像机拍摄到被测物体表面调制的变形条纹光场分布

式中：r（x，y）为物体表面的反射率；ϕ（x，y）为由被测物体高度分布调制的相位。

对参考条纹和变形条纹的光场沿x方向进行一维快速傅里叶变换，计算出参考条纹g0（x，y）和变形条纹g（x，y）对应的频谱分布

取变形条纹频谱分布G（fx，y）的y坐标为某一固定值，便得如图2 所示变形条纹光场的一维频谱图。对G（fx，y）作频谱滤波，滤出频谱图中的基频Q1（图2的阴影区域），逆傅里叶变换得到截断相位，对截断相位进行相位展开，得到变形条纹的连续相位信息ϕ（x，y）。同样，对G0（fx，y）做频谱滤波处理，逆傅里叶变换得到截断相位，对截断相位进行相位展开，得到参考平面条纹光场的相位信息ϕ0（x，y）。由图1 的几何关系和在实际测量中l0＞＞h（x，y）的关系，可得到被测物体高度分布和相位的关系

图2 变形条纹光场的一维频谱图

因此，当对被测物体表面变形光场和参考平面光场进行傅里叶变换、频谱滤波、逆傅里叶变换和相位展开后，得到展开后的连续相位ϕ（x，y）和ϕ0（x，y），再根据相位与高度的映射关系计算出被测物体的表面轮廓h（x，y）。

2 FTP应用于通信原理课程的教学实践

2.1 FTP应用于课程的理论教学

教师在通信系统讲解中可引入FTP 三维重建技术，其过程以物体三维面形作为基带信号，投影正弦条纹作为载波信号，并拍摄得到变形条纹作为调制信号，将调制信号傅里叶变换到频域，得到调制信号的三维频谱图，形象直观地展示三维频谱和三维滤波，讲解零频、基频中心、频谱的分布和滤波等概念。

FTP三维成像过程可用计算机仿真软件Matlab仿真［16］。如图3 所示为计算机仿真FTP 三维成像调制过程图。如图3（a）所示，使用Matlab软件生成实验模拟物体peaks函数作为基带信号。模拟斜投影正拍摄的方式，投影垂直标准正弦条纹—载波信号，条纹周期为16 pixels，图像大小为256 ×256 pixels，如图3（c）所示。正弦条纹（载波信号）投影到实验模拟物体，将基带信号调制到载波信号，产生一幅变形条纹图即已调信号如图3（d）所示，这就是FTP的调制过程。

通过展示三维模拟物体、载波和已调信号的二维图片信息，使学生产生视觉冲击，更能理解调制原理。经过傅里叶变换和频谱移中操作，将频谱移到图像中心位置，图3（b）所示为实验模拟物体（基带信号）频谱，图3（e）所示为标准正弦条纹（载波信号）频谱，图3（f）所示为变形条纹（已调信号）频谱，图3（g）所示为已调信号频谱局部放大图。频谱可以放大缩小和旋转平移，向学生多角度展示频谱结构，并展示基带信号频谱的位置变化情况，解释频谱线性搬移—线性调制概念。

图3 FTP三维成像调制流程

对载波信号和已调信号频谱进行滤波处理，滤出频谱图3（e）、（f）中的基频信息。Matlab 可仿真模拟不同形式的滤波器如图4 所示，图4（a）为矩形滤波器，图4（b）为汉宁滤波器。

图4 不同形式滤波器的滤波效果

图5 为FTP三维成像解调全流程，以汉宁滤波器为例，滤波器可看成滤波窗口，变换滤波器的大小和位置，找到三维频谱的基频中心频率位置，加载到三维频谱基频上，图5（a）所示为加载滤波器的载波信号的频谱图，图5（b）为加载滤波器的已调信号的频谱图。取出载波信号和已调信号第127 行的一维频谱图，如图5（c）、（d）所示，能直观看出滤波位置是否正确。滤波后的基频，逆傅里叶变换得到截断相位，如图5（e）为载波信号截断相位图，图5（f）为已调信号截断相位图。对截断相位进行相位展开得到展开后的相位，如图5（g）为载波信号展开相位图，图5（h）为已调信号展开相位图。已调信号展开相位减去载波信号展开相位得到实验模拟物体的相位，图5（i）为实验模拟物体二维相位分布图，图5（j）为实验模拟物体三维相位分布图。在实验中可由相位和高度的映射关系，计算得到物体高度信息，重建三维面形。

图5 FTP三维成像解调流程

通过FTP三维成像解调过程，形象直观展示出不同截止频率的滤波器，解释低通滤波、带通滤波和高通滤波等滤波操作，通过对比课程中相干解调方法和FTP三维成像解调的相同和不同之处，加深学生对相干解调、滤波操作的理解和认识。

2.2 FTP应用于课程的实验教学

为加强理论教授效果，布置扩展性实验课题研究，根据教学进度，编写调幅、调频等调制、解调程序，与FTP三维成像Matlab 仿真程序进行对比。学生通过理论教学、仿真实现，加深学生对线性调制、相干解调、滤波、信号的时频域转换过程等相关知识的理解。通过FTP三维重建技术，拓展学生的眼界与知识宽度，在激发学生学习兴趣的同时提高学习效率。

3 结语

在通信原理课程中引入FTP 三维重建技术并利用Matlab软件仿真，能将调制、解调过程形象直观地展示出来，从一维到三维，对教学方法进行创新，把抽象理论问题形象化。通过仿真设置不同的基带信号和载波频率、频谱滤波器等参数。从根本上突破了“直觉”局限，懂得透过现象看本质，体现课堂教学的“两性一度”，加深学生对课程原理的理解，获得较好的教学效果。