电力系统随机分析方法研究综述

王 冲，王秀丽，鞠 平，邵成成，李洪宇

（1. 河海大学能源与电气学院，江苏省南京市 210098；2. 西安交通大学电气工程学院，陕西省西安市 710049）

0 引言

随机因素对电力系统的规划、运行和控制都具有一定的影响，除基于概率的方法外，研究人员还提出了区间数［1］、证据理论［2］、不确定集［3-5］、模糊集［6-8］等多种不确定性分析处理方法。由于随机性是不确定性的一种主要表现形式，具有比较丰富的理论基础和处理方法，所以本文重点论述电力系统的随机性。

近年来，电力系统中的随机性呈现出明显增加的趋势。一方面，随着全球气候的变化，加之电网规模和复杂度的激增，电力系统受到极端灾害（台风、雪灾、火灾等）随机事件的影响次数越来越多。另一方面，在“碳中和”及“碳达峰”的背景下，高比例可再生能源电力系统将成为未来电力系统发展的趋势，连续型的随机扰动日益加剧。例如，在中国河南电网联络线的实测波动数据中，经常可以观测到持续的随机功率振荡现象，其中0.15～0.20 Hz 振荡模式的振荡次数就高达60 次/d 以上。

在以往的电力系统中，由于随机因素没有成为影响电力系统安全经济运行的重要因素，加上理论分析方法与高速计算手段相对欠缺，故电力系统的分析方法以确定性分析为主。面对日益加剧的随机性，电力系统的随机分析问题逐渐成为研究的重点和难点［9-10］。

本文从随机变量和描述方程的角度将电力系统随机问题分为3 类：一是随机稳态问题，随机变量为连续变量（即连续型随机扰动），描述方程为代数方程；二是随机动态问题，随机变量为连续变量，描述方程为微分方程；三是随机事件问题，随机变量为离散变量（即非连续型随机扰动），描述方程为混合方程。

连续型随机扰动主要是指系统注入功率的连续随机变化，如风电随机变化对节点注入功率的扰动、负荷随机变化对节点注入功率的扰动。虽然从元件角度看负荷的投切是离散扰动，但从聚合的角度看，可以理解为连续性随机扰动。非连续型随机扰动是指系统结构状态变化或者某些电力设备停运的离散随机事件。

1 电力系统随机稳态分析方法

1.1 电力系统随机稳态问题描述

随机稳态问题是针对随机因素对系统运行经济性、可靠性以及静态安全性的影响，确定电力系统规划、运行的优化方案。按研究内容，随机稳态问题可分为随机特征分析和随机决策问题2 类。前者侧重于概率计算，用于分析系统运行指标的分布特征和越限概率，主要包括随机生产模拟［11］、可靠性分析［12］、概率潮流计算［11］等。后者基于最优化理论，用于确定最优规划、运行方案，以降低成本（期望）、规避风险，如不确定性（随机）最优潮流［13］、经济调度［14-15］、机组组合［16-17］和系统规划［18-19］等。由于系统运行涉及大量方式制定与调整问题，在随机分析问题中会不可避免地涉及优化内容，如生产模拟中的运行方式安排、可靠性分析中的最小切负荷，但它们仍以系统指标的计算为目的。

稳态问题涉及的随机因素主要包括负荷波动［20］、可再生能源出力随机波动［21］等。其中，除特定时间断面的潮流分析外，负荷和新能源不确定性都需要用随机过程描述，以满足特定时间周期的规划和运行需求。新能源出力具有显著的时序相关性，随着需求响应的发展，负荷的时序相关性也将更加显著。过去采用多个独立概率分布描述模型将不再适用，需要考虑源-源、源-荷以及荷-荷之间的随机相关性。基于大数据的智能方法可以用来分析处理随机因素之间的相关性。上述随机因素的建模［18］与处理，是开展电力系统随机稳态问题研究的关键。

下文按照研究内容，分别对电力系统随机特征分析和随机决策问题进行介绍。

1.2 电力系统随机特征分析

随机特征分析涉及随机生产模拟、可靠性分析、概率潮流等。随机生产模拟重点关注系统发电成本；可靠性分析主要关注包含电力网络在内的电力系统供电可靠性问题；概率潮流主要考虑在随机因素影响下系统潮流的分析计算。

1.2.1 随机生产模拟

随机生产模拟能够计及负荷、一次能源以及机组运行的随机性，优化机组运行方式，确定各电厂发电量、生产成本等，是电力系统规划中的重要评估工具［11-22］。随机生产模拟在发电机检修计划的制定、备用容量的确定及辅助服务的研究、电价预测与风险预报等方面具有重要的应用，尤其是在新能源占比越来越高的情况下。它通过排序、位置寻优等途径，将运行方式优化与概率分析巧妙结合。文献［23］提出的并联、串联卷积公式解决了多个随机电源总出力的概率分布和因机组、线路停运导致的一次能源或发电受限问题，同时引入了频率序列刻画负荷曲线的波动特征，奠定了相应的理论基础。文献［24］考虑了乘/除、加/减的互逆特性，提出了概率序列的卷积/卷除、卷和/卷差。

概率卷积计算是生产模拟的核心和最耗时的环节，研究人员针对其从不同角度设计了多种计算方法：1）对概率分布离散化处理；2）利用时域卷积等价于频域乘法的性质，先进行傅里叶变换、z变换［25］再进行计算；3）利用随机变量线性运算中累积量加和不变性，先进行累积量（又称半不变量）计算，再利用级数展开确定待求随机变量的概率分布。由于傅里叶变换存在数值稳定性问题、累积量法面临尾部概率密度为负的情况，等效电量函数法这种结合系统运行特性的特殊离散化方法被认为是精度、效率较高的生产模拟方法。

研究人员采用出力曲线聚类、概率分布、时序概率分布等模型对可再生能源出力建模，发展了计及新能源的概率序列卷积［26-27］、z变换法［28］、累积量法，但无法考虑新能源接入对系统调峰的影响。基于转移频率和频率卷积，文献［29］分析表明新能源的接入将导致常规机组启停次数增加以及启停成本提高，文献［30］计及了机组开机、备用等多种运行状态。这些工作解决了部分问题，但仍无法有效考虑常规电源和新能源的协同问题。新能源的快速波动使排序等简单的规则无法有效地应用到多类型电源协调中，如何兼顾电源的时序随机出力特征、运行约束以及电源间的复杂协同关系是当前随机生产模拟面临的关键难题。

1.2.2 可靠性分析

随着综合能源系统、新型电力系统等理念的提出，电力系统将在社会可持续发展、资源优化配置、能源综合利用等方面起到越来越重要的作用。同时，大量的不确定因素使系统的规划及运行更加复杂化。可靠性分析可以综合考虑系统的多种运行状态，根据各个状态发生的概率和对应的影响量化可靠性指标，以便系统运行人员判断系统的可靠性水平，并依次制定相关的资源规划和配置等方面的决策。电力网络在引入功率输送限制的同时，使得各节点运行紧密关联，这也使得含电网的电力系统可靠性评估十分复杂。尽管进行了诸多探索，仍未形成能兼顾线路阻抗、输送容量及随机故障的解析方法，可靠性评估仍依赖于蒙特卡洛模拟、状态枚举等方法。蒙特卡洛模拟提供了一种通用的随机分析框架。在可靠性分析中，它通过对负荷水平、新能源出力及元件状态抽样，形成一个个样本场景。在各个场景中，考虑系统运行约束进行最小切负荷计算，模拟大量场景统计得到系统可靠性指标。所需模拟次数主要取决于随机源的数量和精度要求。为减少计算量，通常采用直流潮流模型，但随着系统规模扩大、随机源增多，效率较低仍是限制其应用的关键因素。为此，研究人员提出了多种解决方案。首先，改进抽样方法并采用基于马尔可夫过程的抽样、分层抽样、（自适应）重要抽样［31-32］等方法，减少所需的抽样次数；其次，分析场景以及评估问题的性质，通过冗余约束识别减少评估问题求解时间［33］，或采用神经网络拟合评估问题的结果，提升每次评估的效率。此外，针对低概率、高损失稀有事件的分析也是近年来的热点问题［34-35］。

状态枚举法是电力系统常用的一种可靠性评估方法，在电力系统规划和运行中已有一定的应用，通过该方法可枚举可能出现的系统状态，并计算对应状态的可靠性指标。状态枚举法的系统状态与系统的元件数呈指数关系，对于规模较小的系统，该方法效率较高，但随着系统元件的增加，系统状态将呈指数增加，故该方法无法有效地应用于此种情况。为实现状态枚举法在大规模系统中的应用，已有很多改进措施。例如，通过限制事故发生的阶数或者限制状态发生的概率对系统枚举状态进行筛选。在此基础上，利用快速排序、最小割集等方法提高状态枚举法的效率和精度［36-37］。为避免状态枚举时只考虑概率因素，文献［38-39］综合考虑了机组容量、负荷削减量、线路过载等对状态枚举法的影响。对于实际系统，元件的故障或者停运对其附近的元件运行状态影响较大，文献［40］提出了一种基于影响增量的改进状态枚举可靠性评估方法，该方法简化了高阶事故分析过程，提高了计算效率。

1.2.3 概率潮流

概率潮流能在特定运行点处考虑随机因素，计算该时间断面下节点电压、支路功率的概率分布和越限情况，从而为元件利用小时数评估、系统的概率静态安全分析提供工具［41-42］。随着电力系统中不确定因素的增加，概率潮流分析在电力系统中得到了广泛的应用，包括电力系统电源规划、网络规划、电力系统静态安全分析、电力系统运行状态实时分析、最优化潮流计算、系统风险评估等。分析方法主要可分为如下几类。

1）解析法

解析法概率潮流主要利用不同随机变量之间的卷积关系得到待求变量的概率分布。由于系统模型以及卷积的复杂性，通常会采用一些近似处理。首先，采用灵敏度分析方法将潮流方程线性化；进而，根据随机变量的各阶累积量计算节点电压、支路潮流的累积量；最终，运用Gram-Charlier、Egdeworth等级数展开确定其概率分布［43-45］。受展开系数影响，所求得的概率密度在尾部可能出现负值，导致电压和支路潮流的越限概率存在一定误差。由于该方法以潮流灵敏度分析为基础，当随机注入波动范围较大时，需进行专门的处理。同时，大规模的多元线性方程的卷积计算量巨大，在一定程度上限制了解析法的使用，其中半不变量法、快速傅里叶变换以及序列运算方法是目前常用的卷积方法。

2）模拟法

模拟法基于不确定因素的概率分布，随机抽样得到对应的样本，经过模型分析得到输出变量的概率分布特征。蒙特卡洛方法是一种常用的模拟方法，可提供一般性的随机分析框架。该方法思路简单直观，可同时处理连续和离散（线路）的随机变量，但为提高精度需要大量的抽样样本，增加了模型的计算量。为解决这一问题，衍生出了拉丁超立方采样法［46］、重要抽样法［47］和拟蒙特卡洛方法［48］等。拉丁超立方采样法由McKay 等人于1979 年提出，该方法利用分层采样技术，保证了样本可以有效地反映随机变量的概率分布。重要抽样法认为期望值附近的样本对系统运行的影响更大，因此，该方法的核心思想是在保持样本期望值不变的情况下改变概率分布的方差。拟蒙特卡洛方法利用低差异序列实现样本采样，通过该方法可以有效地实现样本的空间覆盖，避免样本的随机采样，减少计算规模。

除此之外，针对蒙特卡洛方法所需样本数目多的问题，研究人员提出了基于广义多项式展开的概率潮流计算。该方法通过展开式拟合了输入-输出关系，从而代替了原先模型的计算，以提高蒙特卡洛模拟的计算效率。广义多项式展开在理论上能拟合任何平方可积的概率分布，获得了研究者的广泛关注，但所需样本数量随展开阶数和随机注入维数呈指数增加，通常采用主成分识别降维［30］、稀疏混沌多项式［31］等方法降低计算量。此外，由于潮流解可视为注入功率的函数，也有研究采用深度学习等方法，通过较少的样本计算训练神经网络，进而完成更多样本的评估，利用数据驱动方法对蒙特卡洛方法进行加速［49］。

3）近似法

近似法是基于输入随机变量的统计特征近似描述系统状态变量统计特征的方法，该方法不需要大量的随机抽样，计算量相对较小。一次二阶矩法［50］和点估计法［51］是目前研究较多的方法。一次二阶矩法通过对随机变量进行泰勒展开，保留一次项形成包含均值和方差的前两阶矩，该方法计算简单，但只能计算出系统状态量的均值和方差。点估计是一种概率统计方法，其能够根据输入随机变量的概率分布得到输出随机变量的各阶矩，进而得到输出随机变量的数字特征，但利用该方法得到的随机变量高阶矩不够精确，不能准确得到所求随机变量的概率分布函数。

1.3 电力系统随机决策问题

随着新能源的大规模并网及电力系统市场化改革的进一步推进，在原有负荷需求等不确定性的基础上，进一步增加了新能源功率、电价等因素的不确定性。为充分考虑各种不确定性对系统安全稳定的影响，需要制定科学的优化方案。电力系统优化问题由传统的确定性问题转化为不确定性问题，如计及不确定性的系统规划、计及不确定性的日前调度、考虑不确定性的多能源系统协调优化调度、考虑不确定性的日前-实时市场优化调度、计及需求侧响应的随机优化调度等。开展稳态随机分析的目的在于优化决策，但由于其复杂性，很难将其直接纳入决策框架。有研究采用进化算法等高级启发式算法构建基于模拟的优化框架，通过对方案的评估对比，逐步生成选取优化方案，实现单目标乃至多目标的随机决策［52］。这种框架简单明确，但面临计算量大、结果随机以及复杂约束条件难以处理等问题。本文重点介绍具有解析形式的电力系统随机决策方法，包括多场景模型、风险约束模型以及鲁棒优化模型。

1.3.1 多场景模型

该方法通过离散多个场景、场景树及相应的概率描述随机因素的概率分布［53］，将不确定问题转化为各个场景下的确定性问题，此时优化目标转化为各场景结果的线性加权，所得优化策略需要满足所有场景或场景树［54-55］。该方法不需要对原模型进行复杂的转化。同时，对数据要求较低，可以通过随机变量分布随机抽样得到，也可以基于实际系统的预测数据。但为得到精确结果需要大量的采样样本，而大量样本又增加了模型求解的难度。为此，很多学者提出了场景削减方法。同时，从数学模型角度考虑，大量的场景或场景树增加了模型的维度，不同场景或场景树之间一般有少量的约束条件耦合，因此可以通过一些分解方法，如Benders 分解以及对应的改进方法，来实现原始模型的分解和加快模型的求解，进而解决大量场景造成的维数灾问题。除此之外，可以通过数据挖掘技术、机器学习等方法对运行场景进行提取，在减少场景数量的情况下保证场景的有效性和合理性［56］。

1.3.2 风险约束模型

风险约束模型可以从经济性和安全性2 个方面加以考虑。经济性主要考虑随机因素对成本或收益的影响；安全性主要考虑功率平衡、线路传输容量等安全运行约束的满足。

对于经济性，研究者借鉴金融投资等领域的基态成本［57］、成本期望（不计风险）［58］、条件风险价值［59］，以及最恶劣（最大）成本［60］、最大后悔值［61］、最恶劣概率分布下的成本期望［62］等方法对新能源和负荷不确定性导致的成本变动及相应风险进行描述。基于这些风险描述可构建随机决策问题的多种目标函数。

对于安全性，可以采用机会约束来表示在一定概率下满足运行条件的情况［63-64］。机会约束可以考虑系统中的极端情况，允许在一定置信度情况下不满足系统的运行条件。由于机会约束的复杂性，包含机会约束的模型求解需要利用已知随机变量的分布估计待求随机变量的分布，而直接积分方法难以求解该问题。基于场景生成的方法可以将机会约束转化为确定性问题，逻辑简单、易于实施，但需要大量场景以保证求解结果的精度，计算规模较大。此外，随机变量的某些参数不易获得，无法进行准确的采样，进一步限制了场景方法的使用。因此，部分学者着重研究机会约束模型的解析解，以增加机会约束模型的实用性。

1.3.3 鲁棒优化模型

鲁棒优化是一种基于区间不确定信息的决策方法，其核心思想是在最劣情况下保证系统最优，是一种最大最小形式的决策问题［65］。相较于多场景模型和机会约束模型，鲁棒优化模型关注随机变量的上下界，无须了解随机变量的具体概率分布。例如：文献［66］将不确定的充电负荷表示为具有上下边界的不确定集合，然后构建了计及充电负荷不确定性的充电站储能鲁棒优化模型；文献［67］构建了风电的不确定集合，在此基础上研究了风电场储能配置方案。鲁棒优化可以通过对偶方法转化为等效的确定性模型，计算量与多场景模型和风险约束模型相比较小。但是，由于鲁棒优化针对的是最劣情况，其优化结果相对保守。近年来，随着数学规划特别是半定规划技术的发展，使得直接确定最恶劣概率分布下的期望与风险成为可能，由此出现了基于分布鲁棒集的描述方法。它直接对随机量的概率分布（而非随机量本身）建模，分析确定使目标函数或者约束条件达到最恶劣情形的概率分布。早期的分布鲁棒集合基于随机变量的特征量如一阶矩、协方差矩阵构建［62］，近来出现了基于经验分布和不同概率距离定义［68］的构建方法。此外，不可避免地会涉及随机变量的相关性［69］，上述常见方法都对此有所讨论。

2 电力系统随机动态分析方法

2.1 电力系统随机动态问题描述

针对随机动态问题，随机变量为连续变量，描述方程为微分方程：

式中：X（t）为状态向量；U（t）为输入向量；Y（t）为输出向量；θ为参数向量；Fx、Fy和Gx、Gy为非线性函数向量；X0为初值向量；ε（t）为外部随机激励向量；t为时刻。

根据随机因素的来源，式(1)中的随机因素主要可以分为以下几类。

1）外部激励ε（t）的随机性

外部激励的随机性为快变的随机性，主要源于电力系统运行过程中持续的随机功率波动等，可采用随机过程进行描述［70］。例如，可再生能源发电与负荷引起的持续随机功率波动，以加性噪声体现在动态方程中［71］，加性噪声表示这些随机性与其他变量在动态方程中是相加的关系。文献［72-73］利用随机微分代数方程建立了随机激励下电力系统的模型。文献［74］提出一种基于随机微分方程的多机电力系统模型，该模型可考虑可再生能源发电和负荷带来的随机扰动。文献［75］利用随机微分方程对考虑了输电线路和系统负荷随机扰动的电力系统进行建模。在文献［76］中，异步风力发电机机械功率中的随机波动被视为随机激励，并基于随机微分方程建立了随机激励下的电力系统动态方程模型。文献［77］提出了基于随机微分方程的单机无穷大系统的随机模型，并对其随机稳定性进行分析。

2）参数θ和初值X0的随机性

参数的随机性主要源于模型参数误差、状态估计误差等，其中负荷特性系数具有较强的随机性。初值的随机性为准稳态随机性，其产生原因主要是发电和负荷的慢速变化，另一方面也指系统经历随机扰动后系统状态具有随机初值。例如，某故障发生时已能确定该线路跳闸，但由于故障切除时间具有随机性，故故障切除时的系统状态具有随机性，该状态可视为后续自治系统的初值点。在理论研究方法中，针对离散的随机因素，如突变的参数θ和初值X0的随机性，可用马尔可夫链加以描述［78-79］。这方面的研究起步不久，相关分析问题可借鉴马尔可夫过程的分析方法。针对慢变的随机因素，如慢变的参数θ和初值X0的随机性，电力系统可采用随机代数方程组进行描述，其问题本质为随机稳态的问题，可借鉴第1 章中阐述的方法解决，这方面的研究成果已经相当丰富。针对快变的参数θ和初值X0的随机性，可用随机微分方程组以及随机微分-代数方程组加以描述，这方面的研究也刚刚起步，分析方法可借鉴随机动力学的理论方法［80］。

在随机因素的作用下，电力系统的动态问题将不能单纯采用传统的确定性方法进行分析。随着更多随机激励的接入，单纯采用传统确定性方法进行分析所带来的风险将进一步扩大。未来电力系统随着随机因素的增多［81-82］，电力系统的随机动态问题将逐渐成为突出的、共性的、基础的问题。

需要说明的是，由于本节主要针对连续变量的随机动态问题，所以关于随机故障下的稳定问题将纳入针对随机事件的第3 章中进行讨论。

2.2 电力系统振荡随机分析方法

持续的随机扰动作用于电力系统时，是否以及怎样影响电力系统的小信号稳定性并带来随机振荡值得关注［83-84］。文献［85-86］通过分析爱尔兰电力系统的实测数据，指出随机扰动会给电力系统动态带来影响，电网中的风电出力带来的随机激励与电网频繁发生的区间功率振荡存在一定的相关性。文献［87］对1 000 kV 特高压长南线的实测功率波动数据进行分析，发现了由随机性引起的振荡。由于激励源一直存在，在实际电网运行中经常能够观测到持续性的随机功率振荡现象，其中0.15～0.20 Hz振荡的次数会高达60 次/d。中国近年来发生的新型振荡事件［88］，如河北沽源风电-串补系统的振荡［89-90］、新疆哈密系统的振荡［91-92］、青海某50 MVA光伏电站的谐波放大［93］等，是否与随机因素作用有关以及两者之间的内在联系值得探讨。随机因素下的电力系统振荡问题逐渐凸显，因此，电力系统振荡随机分析是亟待解决的科学与实践问题。

从电力系统小信号分析的角度考虑，系统状态的初值运行点并不对小信号稳定性造成显著的影响，因此，电力系统振荡随机分析问题中的随机性可分为：1）状态矩阵系数的随机性，其与节点负荷的随机性、发电机组运行状态的随机性、发电机组调度变化的随机性、输电线路参数的随机性、控制设备参数的随机性等相关；2）外部随机激励，描述为随机过程。确定性分析方法不能完全揭示随机性对电力系统的影响，故需要采用随机方法。

大多数电力系统振荡的随机分析研究都集中于状态矩阵系数的随机性［94］，通常称为概率小信号稳定 性（probabilistic small signal stability，PSSS）。PSSS 的目标是分析振荡模态、频率和阻尼的统计量，以检验随机扰动下的电力系统是否会发生负阻尼振荡。矩阵运算是PSSS 的主要解析分析工具。文献［94］提出了一种适用于高渗透率风力发电系统的非线性PSSS 分析方法。文献［95］利用随机响应面法分析了含有随机性光伏发电和负荷的电力系统的PSSS。虽然蒙特卡洛仿真具有效率低、影响机理不清晰等缺点，但仍可作为实践中的分析工具。文献［96］基于准蒙特卡洛仿真对含有随机性接入式电动汽车负荷的电力系统进行了PSSS 分析。

随机激励可以视为电力系统的外部扰动，当作用于电力系统的弱阻尼模态时，会引发电力系统产生随机振荡，因此，随机激励下的小信号问题属于强迫振荡问题。随机激励作用于电力系统时，即使较小强度的随机激励也有可能引发强迫振荡，对电力系统带来危害。传统确定性的强迫振荡通常由频率接近或等于系统固有频率的确定性扰动激发。在传统确定性强迫振荡分析方法中，也通常假设扰动在频域里具有确定性特征，进而分析得到系统状态在频域里的确定性特征。当考虑随机激励时，确定性方法将面临新的问题。例如，随机激励的振荡频率和幅值都是随机的，当这些随机激励引发系统状态强迫振荡时，系统状态的振荡频率和幅值也将变得随机，这是传统确定性分析方法无法处理的。因此，分析随机激励下的强迫振荡需要利用能够分析随机性的方法。文献［76］基于随机激励下线性系统状态空间提出了分析随机激励下强迫振荡的方法，但该方法的结果精度仍可以通过深入研究而继续提高。文献［97］推导出随机激励下线性电力系统状态的解析解，并进一步给出随机激励下系统状态发生强迫振荡时的波动范围。文献［87］提出了广义强迫振荡理论，如果输入随机激励功率谱频段能够覆盖系统某些较弱阻尼模式频率，就有可能引发较大的强迫振荡，输出振荡中包含这些较弱阻尼模式频率分量。蒙特卡洛仿真虽然具有效率较低、缺少内在机理的缺点，但可以适用于绝大多数随机分析问题。因此，对于无法应用解析法分析的随机振荡问题，仍可采用蒙特卡洛仿真，获得初步的分析结果及结论。总体来说，随机激励下强迫振荡的分析方法相对较少，大都集中在利用线性系统的基础上进行分析。然而，真实的电力系统是强非线性的，是否会引发以及如何分析非线性的随机强迫振荡值得关注。

2.3 电力系统动态安全性随机分析方法

电力系统的安全性是一个相对较宽的概念。传统概念里，电力系统安全性是指电力系统承受突发扰动的能力［98］。安全性也称动态可靠性，即在动态条件下电力系统经受住突然扰动并不间断地向用户提供电力和电能量的能力。上述传统的安全性定义中有2 点需要注意：一是“突发扰动”，如突然短路或未预料到的失去系统元件；二是“动态条件”，即需要采用微分方程组来描述系统动态。当考虑随机因素影响时，电力系统安全性的含义需要拓展。首先，扰动不仅包含突然短路之类的“突发扰动”，还包括随机激励等连续、持续的扰动；其次，安全性不再是确定性问题，而是随机性问题。描述安全性的指标，也不再是确定性指标（如某电力系统一定安全或者稳定），而是概率性指标［99-100］。因此，此处涉及的电力系统随机动态安全性，是指电力系统承受持续随机扰动的能力［101］。

随机扰动一直存在于电力系统中，但在传统观念里来自负荷的随机扰动强度较小，并没有显著影响电力系统的动态安全性。然而，随着新能源以及新型负荷的引入，电力系统中的随机扰动逐渐增强。文献［102］证明了随机扰动的累积效应会导致系统状态轨迹在足够长的时间之后离开有界区域，即使这个系统可以在其平衡点附近承受一个严重的故障。笔者团队参考安全域的概念［103］，提出了随机扰动下有界波动域的概念和方法，用于分析随机扰动下系统状态量是否越界的电力系统动态安全问题［104-105］。在随机扰动的作用下，系统状态的轨迹会呈现随机波动，电力系统的状态量如电压、功率及频率等均为随机变量，具有不确定性。对于随机扰动下的多机电力系统，由于其具有高维以及强非线性的特点，直接解析分析每一个状态量是否越界十分困难。由于系统能量函数是系统状态量的函数，并且系统能量有界则系统状态有界，所以能量函数可将随机扰动下系统状态（为多维向量）与安全边界（为超平面）的关系问题简化为系统能量与能量界关系的问题。采用系统状态始终停留在有界波动域内的概率，来刻画随机扰动下系统状态量不越界的概率。随机扰动下的电力系统可视为拟哈密顿系统［106］，继而基于拟哈密顿系统随机平均法，可以求解出域内概率。随机扰动下有界波动域的分析方法虽然具有高效、准确的优点，但是较难直接应用于复杂随机扰动下的复杂电力系统。因此，如何将复杂电力系统转化为哈密顿系统，以及如何考虑非高斯型随机扰动，将是未来研究的重点。

系统频率是电力系统最重要的指标之一。造成系统动态频率波动的原因较多，而随机扰动是最直接、最主要的影响因素之一。传统电力系统中，负荷随机变化会造成随机扰动，但其波动幅度一般较小。近年来，随着新能源以及新型负荷的接入，随机扰动逐渐凸显，其强度也逐渐增大，系统频率将会出现越界的安全风险。系统频率作为电力系统的一个关键因素，考虑随机扰动引起系统频率越界问题值得关注。分析系统频率的模型较多，平均系统频率模型具有简洁的特点，但没有考虑调速器模型；而系统频率响应模型相对复杂，但可以考虑调速器等模型［107］。文献［71］基于平均系统频率模型，提出了随机扰动下的电力系统平均模型，并利用后向Kolmogorov 方程解析分析了系统频率在安全范围内的概率。文献［108］考虑负荷随机扰动、测量的随机误差、通信信道的噪声等，建立了随机扰动下的系统频率响应模型，并对系统频率的域内概率进行了分析。

节点电压也是电力系统重要的状态量之一，随机扰动下电压越界的动态安全问题值得关注。文献［109］利用Lyapunov 函数对由负荷随机扰动引发的电压崩溃问题进行了解析分析。目前，关于随机扰动下电压等状态量越界的安全问题研究相对较少，后续研究中可以进一步考虑这些问题的分析方法。

2.4 电力系统随机稳定分析方法

稳定性是电力系统安全运行的基本要求。电力系统对随机扰动的响应也是随机过程，所以这时的稳定性条件需要以概率或者统计形式给出，一般通过动态响应随机过程的收敛性来定义。由于随机过程的收敛性可在不同意义上定义，所以随机稳定性也有不同的定义方式，常用的有均值稳定性、均方稳定性和渐近稳定性。

随机稳定性分析方法主要有2 种：一种是基于已知系统解过程的直接方法，主要应用于可以获得解过程的随机系统；另一种是借助于Lyapunov 函数的间接方法，主要应用于无法获得解过程的随机系统。一般而言，直接方法主要用于矩稳定性，即p阶矩稳定，随机模型的解过程包含随机项部分。为消除分析过程中随机项带来的困难，先对解过程取均值，再对均值进行相应的分析。对于线性随机电力系统，均值稳定（一阶矩）和均方稳定（二阶矩）是主要的研究内容。对于非线性随机电力系统，由于无法获得解过程，可以借助非线性模型构造Lyapunov函数，来研究系统的渐近稳定性。

基于电力系统线性化模型分析的矩稳定性，得到的主要结论是：如果电力系统是小干扰稳定的，则在高斯型随机扰动下系统是均值稳定和均方稳定的。这种分析方法的优点在于：将电力系统的小干扰稳定性分析与随机系统的矩稳定性分析巧妙地结合起来。其缺点在于：1）线性化模型只能在初始点较小的邻域内可以代替非线性化模型，所以对于大强度的干扰，这种方法不适合；2）矩稳定性分析过度依赖系统的解过程，即如果没有解过程则无法进行分析；3）随机系统的解过程尽管是显式的，但其中包含对维纳过程的积分。因此，需要研究基于非线性电力系统模型的随机稳定性。但对于非线性模型的随机稳定性分析非常困难，难以有通用的方法。初步成果是以单机无穷大系统为例，分析非线性随机模型在大随机扰动下的弱渐近稳定性问题。结果表明，如果原确定性电力系统稳定而且随机扰动满足一些条件，则随机系统是弱随机渐近稳定的；如果这些条件不能得到满足，就不能保证电力系统的弱随机渐近稳定性。

3 电力系统随机事件分析方法

3.1 电力系统随机事件问题描述

本文的电力系统随机事件主要是指系统中造成系统结构状态变化或者某些电力设备停运的离散事件，如元器件随机故障、随机故障导致系统的连锁故障、外界极端灾害事件对系统结构性的影响等。不同于随机稳态问题以及随机动态问题，电力系统随机事件影响了系统的网络拓扑状态或在线运行电力设备的停运状态，该影响具有一定的随机性，同时不同的随机事件自身特性也不相同，如元件随机故障原因可能包括元件自身劣化、机械损伤、鸟兽跨接导线引起短路等，元件故障在系统拓扑中完全是随机事件，这种随机事件对电力系统的安全稳定运行有很大影响；再如，外界极端灾害事件造成电力设备的停运具有序贯性及随机性，对电力系统的安全运行有很大影响。针对上述不同的事件，需要有针对性的方法加以研究。

3.2 电力系统随机事件概率分析方法

常规的安全稳定分析在确定运行方式以及枚举有限的故障模式下，验证系统的安全稳定性，如N―1 或者N―k故障检验，这是一种确定性的安全稳定分析方法。但随着元器件随机故障事件增多，需要将随机性考虑到安全稳定分析中［110-112］。因此，采用概率方法评价电力系统的稳定性，即电力系统概率稳定性分析，越来越受到学术界及工程界的关注。根据随机故障元件的不同，电力系统概率安全分析分类如表1 所示。

表1 电力系统概率分析分类Table 1 Classification of probabilistic analysis on power system

为方便验证概率仿真结果的准确性，IEEE 提供了多个用于概率仿真的标准测试系统，并于1979 年和1996 年公布了2 个不同规模的标准测试系统［113］，除基本的电气参数以外，标准算例还给出了发电机、变压器、输电线的故障率和修复率，以及线路共模故障参数、线路载荷容量和保护故障参数等。基于标准算例和计算机硬件条件的改善，概率分析的研究在电力系统中已得到了长足的进步。Heydt 和Burchett 两位学者最早将概率方法引入电力系统动态安全稳定分析中，通过假设随机性满足正态分布计算出系统的稳定概率［114］。在此基础上，2 位作者利用高阶原点矩方法将上述方法扩展到任意分布的随机变量。文献［115-116］通过仿真计算说明了概率暂态稳定分析的必要性，在考虑故障不确定性和保护动作时间分散性的情况下分析了33 节点系统的概率稳定。文献［117］在比较了暂态稳定和概率暂态稳定的基础上，将暂态能量函数引入概率暂态稳定的计算中，并利用蒙特卡洛模拟方法计算概率暂态稳定性。文献［118］在考虑故障类型、位置以及故障切除时间、负荷水平概率分布的情况下，枚举有限故障，并利用能量函数方法判断系统是否可以保持稳定。考虑复杂故障以及保护系统动作条件，文献［119-120］利用蒙特卡洛模拟方法研究了交直流混合系统的概率稳定性模型，提出了基于系统层及节点层的指标。文献［121］初步探讨了概率暂态稳定的解析解，同时提出了基于概率暂态稳定的系统稳定性指标。文献［122］引入了静态安全域及动态安全域，分析了系统的概率稳定。考虑故障切除时间对系统稳定性的影响，文献［123］考虑故障切除时间的随机性，研究了系统概率暂态稳定，并提出了一种计算系统暂态稳定概率的算法。文献［124］根据随机事件的概率特性计算反映其特性的特征根，然后利用Gram-Charlier 级数来确定临界特征根的概率，进一步确定系统的稳定概率。文献［125］研究了考虑连锁故障的暂态稳定概率。

根据上述研究可以看出，目前研究电力系统概率安全分析的方法有模拟法和解析法。模拟法中常用的是蒙特卡洛模拟方法，这种方法通过对随机事件的大量抽样，利用概率统计学中的理论得到概率值。这种方法的优点是容易实现，但由于蒙特卡洛方法需要大量的抽样才可以得到较为准确的结果，因此，对于大规模系统来说不适合在线安全稳定分析。解析法中的一个关键环节是计算某一预想故障事件发生后系统暂态不稳定概率，涉及故障元件、类型、位置、故障时间、保护动作时间等的不确定性。这些不确定性一般服从某一种概率分布，为便于计算，通常将其离散化后再采用概率加权的方法得到稳定概率值，这种处理存在一定的误差。因此，准确地表征故障元件、类型、位置、故障时间、保护动作时间等的不确定性可以扩展解析法的适用范围。总的来说，考虑随机事件概率分析方法已经得到了一定的关注和研究，随着未来系统结构越来越复杂且元件越来越多，元件随机故障的发生无法避免，理论研究还有很大的提升空间。

3.3 电力系统随机事件马尔可夫分析方法

近年来，因全球气候变化造成的极端灾害事件（如台风）的发生频度和强度不断增加，由此造成的停电事故也不断增加［126-127］。2014 年9 月16 日的台风“海鸥”对中国海口、文昌、澄迈、临高、儋州、琼海等地区造成严重的灾情，造成了海南省12 条220 kV线 路 停 运、26 条110 kV 线 路 停 运、21 条35 kV 线 路停运、6 座110 kV 变电站停运，影响124 万户用电。为应对这些可能发生的极端事件，美国电力研究院［128］、美国国家研究委员会［129］、北美电力可靠性公司［130-131］等机构提出了加强电力系统弹性以应对外部极端事件。

与元器件随机故障的随机事件不同，台风、暴雨、山火等自然灾害对系统的影响在时间和空间上都具有一定的序贯性，同时影响范围内的元器件故障是不确定的。针对序贯性和不确定性，系统运行人员需要根据系统的实时状态来制定调度方法，以确保调度方案在时间轴上的整体最优。目前，常用的基于场景的期望值优化、考虑多层的鲁棒优化等不能充分地实现“系统实时状态”到“系统最优策略”的映射。如图1 所示，在t1时刻观测到系统的实际状态，基于此状态，同时再考虑决策后系统状态随机转移的情况下，制定对应的策略；实施t1时刻的决策后，在极端灾害事件的作用下，系统在t2时刻转移到新的状态，基于新的状态，同时再考虑决策后系统状态随机转移的情况下，制定新的对应策略。t3时刻以此类推。

图1 基于状态的决策过程Fig.1 State-based decision process

考虑此类决策过程，文献［132-133］提出了基于马尔可夫决策过程的优化调度模型，将受影响的系统拓扑结构表示成马尔可夫状态，不同的状态之间通过状态转移概率表示，该状态转移概率可以利用灾害情况下系统元件的故障概率［134-137］得到。基于马尔可夫状态，构建考虑当前成本以及后续成本的递推优化模型，并利用基于近似动态规划方法对模型进行求解，在求解过程中，利用“决策后”状态以及其值函数来表示决策后的后续成本，并利用离线的值迭代方法来估计“决策后”状态的值函数，最终将序贯多时段随机决策优化转变为单时段确定性优化，实现了“系统实时状态”到“系统最优策略”的映射。随着系统规模的增大，离线的值迭代需要较长时间，如何快速得到“决策后”状态的值函数是后续研究的关键点。

上述马尔可夫决策过程方法可以很好地解决台风、暴雨、山火等具有明显时间和空间序贯性的自然灾害对电力系统的影响，构建基于系统状态的弹性策略。除此之外，冰冻、地震等也是电力系统弹性研究中需要关注的自然灾害，多点网络攻击是电力信息物理系统弹性研究中需要关注的极端事件，这些事件的空间序贯性不是很显著，但是具有一定的时间序贯性，马尔可夫决策过程方法也可以应用于此类事件，构建基于系统状态的弹性策略。

4 研究展望

在“双碳”目标的新要求下，构建清洁低碳安全高效的能源体系、控制化石能源的使用占比、实施可再生能源的替代是中国电力系统能源转型的重要手段。中国的光伏和风电占比将持续增加，传统的电力系统将逐步转变为以新能源为主体的新型电力系统（简称为“双新”电力系统）。大量随机因素的引入给电力系统安全稳定经济运行带来了严峻的挑战，虽然目前已有很多相关研究，但随着随机因素的数量增加和特性变化，还有如下许多与随机性相关的理论和实际问题值得进一步思考和探索：

1）新能源的概率预测：随着“双新”电力系统的发展，新能源的分布式、多点化特点更加突出，分布式监测装置的全覆盖成本较高、难度较大，通过毗连区域的空间分布以及对应的监测数据，如何为区域内提供相关信息，提高整体的预测精度，是值得研究的一个方向。除此之外，针对未来“双新”电力系统，概率预测需要结合新系统自身存在的问题，以实际规划、运行等物理问题为导向，结合已有的随机优化、区间优化、鲁棒优化、马尔可夫决策过程优化等数学工具，将理论与实际相结合。

2）强随机下的系统规划运行：具有随机性的大规模新能源接入增加了“双新”电力系统电力电量平衡的困难。从规划的角度，强随机性增加了不同电源空间互补特性认知与建模的难度，确定性规划需要向概率性规划进行转变。从运行的角度，随机性将导致供电保障问题、系统调峰压力的加剧。同时，还要充分考虑不断增多的负荷侧不确定性对调度高比例新能源电力系统的影响。

3）低惯性下的抗随机扰动能力：大规模的风电、光伏等新能源通过电力电子设备接入电网，降低了系统的惯性，进而降低了电网的调节能力和抗扰动能力。然而，大规模新能源的随机性又增加了对系统的扰动，对低惯性的系统安全稳定运行带来了挑战。

4）随机动力学：随着“双新”电力系统的发展，随机性给电力系统动态带来了不可忽视的影响。首先，大量电力电子设备的引入改变了原有以同步电机为主导的动力学模型，如何构建不同时间尺度的满足不同分析需求的动力学模型是一个关键的难点；其次，如何在动力学模型中表征大范围、分布式的随机扰动。目前，在电力系统随机动力学研究中一般假设扰动为满足高斯分布的白噪声，但是实际的随机过程并非白噪声。

5）极端气候下“双新”电力系统的弹性提升：风电、光伏等新能源严重依赖于外界环境，随着极端气候的增多，风电、光伏等新能源供电的不确定性将增加。需要保证“双新”电力系统在日趋增多的极端气候下具有较高的供电可靠性以及快速的系统恢复性，即需要提升“双新”电力系统的弹性来应对极端气候。

6）新方法的引入与应用：随着新能源占比的越来越高以及新能源随机性之间时空关联性的增强，如何利用新的数学方法准确描述具有复杂时空关联性的新能源出力随机过程是一个关键性问题。除此之外，如何利用新的数学理论快速准确地求解复杂的随机优化问题也是未来研究的重点之一。对于常规的含白噪声的简单动力学随机模型，可以通过拟哈密顿理论等方法进行解析分析，但随着随机噪声的多样化以及动力学模型的复杂化，如何得到对应的解析解是一个十分复杂的数学问题。

5 结语

电力系统随机问题的研究成果较多。其中，对于电力系统随机稳态问题分析，研究成果最多，相对也比较成熟；对于电力系统随机动态问题分析，研究成果较多但仍然很不够；对于电力系统随机事件问题分析，研究成果较少，亟待加强相关研究。本文对电力系统随机稳态问题、随机动态问题、随机事件问题进行了描述及归类，并归纳了对应的分析方法。在考虑以新能源为主体的新型电力系统背景下，对与随机性相关的理论和实际问题进行了思考。

本文并未对相关技术进行详细的描述，而是通过对随机稳态问题、随机动态问题、随机事件问题的分类进一步认识理解随机性对电力系统的影响，进而可以从不同的角度展开研究。建议在将来的进一步研究中，一是需要借鉴大数据技术获取随机因素的描述模型；二是需要考虑不同随机因素之间的关联性；三是需要建立符合工程需要的概率型指标；四是需要从随机性方法向其他不确定性方法拓展。

本篇论文是IEEE AMPS（电力系统解析方法）委员会成员共同策划和研讨的成果，他们是这篇论文的共同作者：中国电力科学研究院有限公司汤涌、河海大学吴峰、华中科技大学孙海顺、四川大学王海风、浙江大学辛焕海、重庆大学谢开贵、天津大学贾宏杰、南方电网科学研究院洪潮、中国电力科学研究院有限公司南京分院李峰、国网江苏省电力有限公司电力科学研究院袁宇波、国电南瑞科技股份有限公司稳定分公司李威、国家电网有限公司华东分部李建华等，在此深表谢意！