基于快速张量分解的波束空间MIMO雷达二维DOA估计算法

徐 峰 杨小鹏，2 赵 毅，2

（1.北京理工大学信息与电子学院雷达技术研究所，北京 100081；2.北京理工大学重庆创新中心，重庆 401120）

1 引言

Multi-input Multi-output（MIMO）雷达作为一种新体制雷达，因其在参数估计，目标检测和抗干扰等方面的优异性能广受关注［1-5］。集中式MIMO 雷达的发射和接收阵列分布相对较近［2］，可认为目标的离开角（Direction of Departure，DOD）和到达角（Direction of Arrival，DOA）近似相等，本文主要研究集中式MIMO雷达的二维DOA估计问题。

集中式MIMO雷达的性能改善来源于通过正交发射波形实现的波形分集，其接收数据经过匹配滤波后可以等价为一个口径更大阵元数目更多的虚拟阵列（Virtual Array，VA）的接收数据。然而，MIMO 雷达由于只能形成全向方向图，其发射增益损失严重，这使得在低信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）情况下MIMO 雷达DOA 估计的性能一般。要利用MIMO 雷达的优势，就必须设计完全正交的波形。随着发射天线数量的增加，正交波形设计的难度显著提高，这些缺点制约着MIMO雷达的应用。

为此，有学者提出一种基于发射波束成形的波束空间MIMO 雷达技术［6-8］。通过预先设计的波束成形矩阵，将发射能量集中到指定空域，避免能量逸散到无关空域，提高目标的增益，进而改善DOA估计的性能。采用额外的波束成形矩阵能够减少MIMO 雷达所需要的正交发射波形数量，降低系统设计的难度。目前的研究主要集中在发射波束矩阵的设计上，相关的DOA 估计算法较少。考虑到MIMO 雷达的接收数据通常包含成百上千个脉冲的回波，常用DOA 估计算法比如Multiple Signal Classification（MUSIC）［9］和Estimation of Signal Parameter via Rotational Invariance Technique（ESPRIT）［10］都属于基于信号协方差矩阵类算法，其DOA 估计结果需要在脉冲间迭代更新，无法有效利用MIMO 雷达多脉冲接收数据的多维结构。使用张量模型存储MIMO 雷达多脉冲接收数据有以下几点优势［11-14］。其一，能够将接收数据所包含的参数信息按照物理意义存储在不同维度上。接收数据中属于不同维度的信息得到明显区分，而不是像传统矩阵模型那样完全混叠在一起。其二，张量模型能够更加精准的区别信号张量子空间和噪声张量子空间，有效改善DOA 估计性能。其三，使用张量模型能够提高MIMO 雷达多脉冲接收数据的利用效率，避免重复使用信号协方差矩阵模型导致的计算复杂度冗余。其四，由于充分利用了MIMO 雷达多脉冲接收数据的多维结构，基于张量模型的DOA 估计算法在低信噪比条件下具有良好的鲁棒性。

基于上述分析，本文设计了波束空间MIMO 雷达高阶张量模型［11-12］并提出了一种基于张量分解的二维DOA 估计算法。通过高阶张量模型利用MIMO 雷达接收数据的多维结构，改善DOA 估计在低SNR 场景的性能。通过基于矩阵因子范德蒙（Vandermonde）结构的张量分解［8］，实现目标俯仰和方位角的快速估计。较之传统的张量分解方法，所提出的张量分解方法仅涉及矩阵计算，无需优化迭代，显著降低计算复杂度。同基于信号协方差矩阵的DOA 估计算法相比，所提张量分解算法具备更高的估计精度和更好的分辨能力。仿真验证了所提DOA估计算法的有效性。

2 波束空间MIMO雷达信号模型

考虑集中式MIMO雷达系统。假设发射阵列由M=McMr个天线均匀分布在矩形阵面上，其中Mc和Mr分别表示矩形阵面每行每列的元素数目，接收阵列包含N个从发射阵列中任意选取的天线。不失一般性，假设各相邻天线之间的间距为半波长，则对应的发射和接收导向矢量可以分别表示为

其中，θ表示方位角，φ表示俯仰角，u≜sinφsinθ，v≜sinφcosθ，矩阵Ξ ∈RN×2包含全部接收天线的横纵坐标，λ为雷达工作波长，(·)T表示矩阵转置，vec(·)表示矩阵列向量化。考虑K(K≤M)个发射信号S(t)=[s1(t)，s2(t)，...，sK(t)]T包含Ts个快拍，并满足正交特性

其中，Tp表示脉宽，IK表示K维单位矩阵，(·)H表示矩阵共轭转置。满足窄带远场条件下，L个分布在(θl，φl)，l=1，2，…，L的目标回波为

其中，表示目标雷达反射系数（radar cross section，RCS），N为满足高斯白噪声特性的噪声矩阵，W≜[w1，w2，…，wK]∈CM×K是波束空间矩阵（transmit beamspace matrix）［6-7］，其作用是将传统MIMO 雷达的全向发射方向图转化成具有一定指向的发射方向图。波束空间MIMO雷达所需要的正交发射波形数目（K个）要小于发射天线数目（M个）。求解波束空间矩阵W的过程可以建模为

其中，Pi(θ)是期望的发射方向图形状，可以设置为具有一定宽度的矩形脉冲。再考虑到对阵列发射方向图副瓣的约束，该问题进一步化作

其中，γ表示期望副瓣电平，Θ 表示期望的主瓣范围。式（6）可以转化为凸优化问题［6-7］，进而利用半定规划解决，本文中假设波束空间矩阵W先验已知。

对目标回波数据X进行匹配滤波，即(1)XSH。根据发射波形的正交性可知，经过匹配滤波后阵列的接收数据变换为

其中，R=(1/Ts)NSH，Σ=diag(σ)是方阵T，diag(·)表示将一个列向量转化为一个方阵。常规的波束空间MIMO 雷达二维DOA 估计问题即为从式（7）的回波中估计出L组目标俯仰和方位角。

3 波束空间MIMO雷达张量模型

3.1 基于多脉冲接收数据的三阶张量模型

前文所描述的信号模型仅能表示一个脉冲内的接收数据，而MIMO雷达系统通常包括大量脉冲。为有效利用多个脉冲的接收数据，有必要设计相应的张量模型。考虑由目标速度导致的多普勒效应并列向量化式（7）

其中，zq表示第q，q=1，2，…，Q，个脉冲的接收数据列向量化，eq是对应的噪声分量，ηq=σ*ξq，是第l个目标的多普勒频移，*表示Hadamard 积，⊙表示Khatri-Rao（KR）积。假设在相参处理时间内有Q个脉冲，对应的接收数据表示为一个KN×Q的矩阵，即Z≜[z1，z2，…，zQ]，其等价表达为

其 中，C≜[η1，η2，…，ηQ]T，E≜[e1，e2，…，eQ]。根据张量的PARAFAC 定义［12］，矩阵Z是三阶张量Z∈CK×N×Q的模式-3 矩阵展开。波束空间MIMO雷达的多脉冲接收数据表示为一个三阶张量，每个维度分别反应目标在发射阵列的角度信息，在接收阵列的角度信息和在多普勒域的速度信息。具体地，该模型可以写作

其中，K=WHA是张量的第一矩阵因子，矩阵B和C分别是张量的第二和第三矩阵因子，向量kl，bl，cl是对应矩阵因子的第l列，∘表示向量外积，而E 反应目标回波中的噪声张量。

3.2 基于发射子阵划分和多脉冲接收数据的高阶张量模型

如图1 所示，考虑对前述发射阵面进行子阵划分，形成S=IJ个较小的矩形发射子阵，每个小子阵具有M0=(Mc+1-J)(Mr+1-I)个阵元。不失一般性，假设各发射子阵相互重叠。对第(i，j)个子阵而言，其发射导向矩阵可以表示为

特别地，将第一个发射子阵选作参考子阵，则有

其中，u0包含列向量u的前Mc+1-J个元素，而v0包含列向量v的前Mr+1-I个元素。由于各子阵之间均匀排布，其发射导向矩阵满足以下关系

其中，mj=1，2，…，J，mi=1，2，…，I。推广式（9），第(i，j)个发射子阵和接收阵列之间的第q个脉冲回波数据可以表示为

联立S个发射子阵，第q个脉冲的回波数据可以写作

分别表示各发射子阵沿y轴和x轴两个方向的发射导向矩阵。收集Q个脉冲的数据，得到

令K=，式（16）可以看作一个五阶张量Z∈CJ×I×K×N×Q的模式-5矩阵展开，该高阶张量为

可以发现，L个目标的角度信息(ul，vl)包含于张量Z的第一、第二和第三矩阵因子H，Δ，K中。

4 基于张量分解的波束空间MIMO 雷达DOA估计

式（19）可以用来进行二维DOA 估计，所使用的张量模型能够有效利用波束空间MIMO雷达各发射接收通道回波数据的多维结构，改善目标参数估计性能，提高在低信噪比条件下DOA 估计的稳健性。据此，本文提出一种基于快速张量分解的二维DOA估计算法。

考虑无噪声情况下的信号模型。将式（19）的高阶张量通过张量重构（tensor reshape）转换为一个三阶张量

其中，G=H⊙Δ是该三阶张量的第一矩阵因子，K和(B⊙C)表示第二和第三矩阵因子。对应的模式-3矩阵展开和奇异值分解（SVD）为

其 中，U∈CSK×L，Λ∈CL×L和V∈CNQ×L分别表示SVD 分解后的左奇异矩阵，奇异值矩阵和右奇异矩阵。由于目标来向互不相同，第三矩阵因子(B⊙C)满足列满秩特性，存在一个非奇异方阵F∈CL×L使得

根据KR 积的定义和范德蒙矩阵的特性，式（23）进一步写作

其中，Ωy=diag(ωy)，Ωx=diag(ωx)，ωy和ωx分别是范德蒙矩阵H和Δ的生成向量，即

而矩阵U1，U2，U3和U4是左奇异矩阵U经过行选择的子矩阵

其中，(·)†表示矩阵伪逆。根据式（25），矩阵Ωy和Ωx是满秩的对角阵，ωy和ωx可以由矩阵的特征分解（EVD）得到，且非奇异矩阵F即为特征分解后对应的特征向量的集合矩阵。经过变换，目标角度信息的中间量由对应特征值计算得到。

注意到矩阵F能够实现ul，vl的自动配对，目标的俯仰和方位角二维估计为

此外，得到列向量ωy和ωx后可以重构出三阶张量T的第一矩阵因子。又有

其中，μl=γl⊙δl是第一矩阵因子的第l列，γl，δl和κl分别是矩阵H，Δ和K的第l列。第二矩阵因子的第l列估计为

其中fl是矩阵F的第l列向量。根据定义，κl=WHα0(θl，φl)，而波束成形矩阵W先验已知，构造代价函数从κl中估计出目标的二维角度信息。该代价函数表示为

其中，P=。注意到式（31）所描述欧几里得范数（Euclidean norm）是凸函数，其局部最优即为全局最优，且具有唯一性。通过最小化（31），即得到目标的俯仰和方位角信息。

5 仿真验证

针对波束空间MIMO 雷达系统，所有阵元半波长均匀布置，发射阵列是一个7×7 的矩形阵，划分为S=3×3 个相互重叠的子阵，每个子阵包括5×5 个天线，接收阵列由随机选取的N=16 个天线组成。波束成形矩阵使用K=4 个正交波形将发射能量集中到指定空域［6-8］。所采用的发射波形为

针对L=3 个目标，其RCS 模型采用Swerling II模型，考虑Q=64 个脉冲和P=500 次蒙特卡洛仿真，使用的噪声模型为高斯白噪声。目标的角度信息为θl=[20°，30°，40°]和φl=[65°，60°，55°]，对应的归一化多普勒信息为fl=[-0.2，0.1，0.25]。注意到式（31）仅涉及单一发射子阵，其DOA 估计结果只用作参照，或是当发射子阵相位中心的间距大于半波长时用作栅瓣去除。

5.1 二维DOA估计算法有效性验证

根据仿真场景，利用所提的DOA 估计算法对三个目标的俯仰和方位角进行估计。图2是经过张量分解后由式（28）计算得到的目标二维DOA 估计分布情况，三个目标的输入信噪比设置为5 dB。每个目标的估计结果都准确反应真值，且精度较高。此外，为验证式（31）的有效性，图3描绘该代价函数关于目标2：θl=30°，φl=60°随俯仰角和方位角遍历的函数值。可以发现，该函数的最小值对应的俯仰和方位角精确反应目标的来向。

5.2 最小均方误差随SNR变化结果

为进一步验证所提DOA 估计算法的性能，有必要研究其最小均方误差（Root Mean Square Error，RMSE）随输入SNR 变化的情况。相关仿真参数保持不变，目标的输入信噪比由-30 dB 逐步增加到30 dB。针对二维DOA估计，其RMSE可由

计算得到。考虑ESPRIT 算法，U-ESPRIT 算法和ALS 算法作为对比，同时给出克拉美罗下界（Cramer-Rao lower bound，CRLB）［15］。当采用张量模型时，根据式（20）可知，其第一和第二矩阵因子都包含目标角度信息。为加以区分，规定由第二矩阵因子得到的DOA 估计结果为ALS-sub/Proposedsub，而由第一矩阵因子得到的结果为ALS/Proposed。

图4 给出相关算法的RMSE 随输入SNR 变化曲线。可以发现，所提算法具有最小的均方误差，且在低SNR 区域表现最优，基于ALS 算法的张量分解方法次之。尽管两种算法都有效利用目标回波数据的多维结构，ALS算法通常需要多次迭代，其收敛性依赖输入条件，而所提算法仅涉及基本的矩阵运算，计算复杂度低，能够快速收敛。此外，由式（31）得到的DOA 估计结果明显劣于由式（28）的结果，这是由于前者仅涉及单一发射子阵而后者能够有效利用全部发射天线单元。口径的差异使得其RMSE结果有所不同。ESPRIT和U-ESPRIT算法尽管得到正确的DOA 估计结果，输入SNR 相同情况下其RMSE相对偏大，其性能一般。

5.3 有效分辨概率随SNR变化结果

针对所提算法的分辨率性能，分析其对两个空间分布非常接近的目标的分辨概率随输入SNR 变化情况。仅考虑两个目标分布在θl=[-10°，-11°]和φl=[15°，16°]，即目标的俯仰角和相位角相差1°。若目标同时满足

则认为此次估计有效区分两个目标，检测成功。反之，则检测失败。其他仿真参数不变。经过P=500 次蒙特卡洛仿真后，得到各DOA 估计算法的检测成功率随输入SNR变化的情况。

如图5所示，所提算法具有最低的检测门限，基于ALS 算法的检测门限次之；而ESPRIT 和UESPRIT 算法仅在高SNR 情况下能够有效区分两个分布靠近的目标。这充分证明基于张量模型的DOA 估计算法的分辨能力优于基于接收数据协方差矩阵的ESRPIT 或是U-ESPRIT 算法。同样的，若仅利用单一发射子阵，DOA 估计的性能会有所恶化，但仍优于常规的协方差矩阵类算法。

5.4 最小均方误差随有效快拍数变化结果

最后验证所提算法估计精度随有效快拍数变化情况。三个目标的输入SNR 设置为-5 dB，阵列接收数据的有效快拍数由10 逐渐增加至290，步进为20。其他仿真参数保持不变。分别考虑基于协方差矩阵模型的ESPRIT 算法和U-ESPRIT 算法，基于信号张量模型的ALS 算法和所提算法在不同快拍数条件下二维DOA估计的RMSE。

图6给出了相关算法二维DOA估计RMSE随阵列接收数据有效快拍数变化情况。可以看到，基于信号协方差矩阵模型的ESPRIT 算法和U-ESPRIT算法RMSE 最差，因为其无法充分利用阵列多脉冲接收数据的多维结构。U-ESPRIT 算法的表现稍好于ESPRIT 算法，这主要是依据阵列流型的共轭对称性扩展了有效脉冲数，且以计算复杂度的提高为代价。基于信号张量模型的DOA 估计算法中，来自式（31）的估计结果劣于来自式（28）估计结果，这与图4中的结论是一致的。仅依靠单一发射子阵的信息进行DOA 估计忽略了各发射子阵间的相位旋转不变性，无法达到最优。尽管使用了同一张量模型，所提DOA 估计算法同ALS算法相比达到了最低的RMSE，这主要源自对范德蒙矩阵因子的利用。所提算法同时考虑了发射子阵间和发射子阵内的相位旋转不变性，因此具有最好的估计精度。

6 结论

为克服传统MIMO雷达发射增益的损失同时保持其在参数估计等方面的优势，研究了基于波束成形矩阵的波束空间MIMO 雷达，设计了一种高阶张量模型利用MIMO雷达接收数据的多维结构。基于矩阵因子的范德蒙结构，提出了一种快速张量分解算法，用于实现二维DOA 估计。同传统基于信号协方差矩阵的DOA 估计算法相比，张量分解类算法有效利用了接收数据的多维结构，能够改善DOA 估计的精度和分辨率。同常规的ALS 算法相比，所提的张量分解算法仅涉及基础的矩阵运算，无需优化或迭代算法，降低了计算复杂度，且能够保证收敛性。同现有的波束空间MIMO 雷达DOA 估计算法相比，仿真验证了所提算法具有更高的DOA 估计精度和更好的分辨能力。