以数学深度学习推动学生思维进阶

摘 要：高阶思维是指发生在较高认知水平层次上的心智活动和认知能力。深度学习与学生思维进阶有着相辅相成的關系。深入学科知识本质必定伴随着较高认知水平的思维活动，包括解决问题、批判性思维和创造性思维等，才能深度理解和深度体验。教学中，通过沟通比较建立联系、逐步优化方法、重组数学素材、分层学习指导、故事情境体验等策略，可以有效促进学生在深度学习中推动思维进阶，为学生核心素养的提升助力。

关键词：数学高阶思维;方法优化;认知分类;复杂情境

“高阶思维”的概念源于布卢姆的教育目标分类学。其2001年的修订版本将认知过程从低到高、从简单到复杂，分为记忆、理解、运用、分析、评价、创造六个层次。其中，记忆、理解和运用主要是在已经知道如何做的情况下进行的，属于数学低阶思维;分析、评价和创造主要是在不知道如何做的情况下进行的，属于数学高阶思维。数学高阶思维要求在新颖的条件下，运用信息和概念去解决新的问题、完成较高难度的任务。然而，日常教学中教师往往停留在浅表学习上，注重知识的记忆、技能的反复训练，对学生数学高阶思维能力的关注不够。那么，在教学实践中，如何重组教学素材、优化教学设计、推动数学思维进阶呢？

一、沟通比较，在建立联系中促进思维由此及彼

深度学习的“深”体现在触及数学知识本质的程度上。虽然小学数学教学内容相对比较简单，尤其是中低年级的数学教学内容，但并不意味着教学无法触及数学知识的本质、无法进行高阶思维的培养，因为数学是一个充满联系的整体，再简单的数学知识背后都蕴藏着深刻的数学思想，也都有着值得我们引导学生进行思维进阶的素材与契机。教师在引导学生探究得出答案后，再“向前深入一步”，进行沟通比较，在数学之间的联系中发展高阶思维，走向对数学知识的深刻理解。

例如，在教学苏教版小学数学一年级上册的“2～5分成”时，教师组织学生思考：把4个桃放在2个盘子里，每个盘子里怎么分？学生操作展示将4分成2和2、3和1之后，教师追问：还有其他分法吗？学生补充回答将4分成1和3的情况。接着，教师引导学生将不同的分法进行排序，得出3种分法，4分成1和3、4分成2和2、4分成3和1。

此时，教师并没有满足学生得出3种分法的结果，而是结合图形启发学生思考：3种分法之间有没有联系？（学生发现从右边拿一个桃到左边，就有了一种新的分法）3种分法中有没有两种是一样的？（学生发现，4分成1和3，4分成3和1，其实是一样的）进而学生发现，找到其中一种分法，就能想到另一种分法。

事实上，与单纯地追求“动手操作”相比较，教师更应强调“数形结合”，通过引导学生进行比较、分析，发现不同分法之间的联系，异中求联，异中求同，进而对“4的分成”建立更为整体性的数学认知。同时，与简单地追求对数的分成的熟练掌握相比较，教师应更加重视学生思维的深化，即通过适当的提问将学生的思维引向深入，而不是简单地满足于熟练掌握。案例中，教师精心设计了两次追问：4的分成有3种分法，3种方法之间有没有联系？3种分法中有没有两种是一样的？这样，学生对4的分成有了更为深入的理解，对其内在的规律有了新的认识。同时，学生对这一内在规律的发现和理解还可以迁移至5、6、7等数的分成之中，对学生的后续学习起到了方法指引作用。在联系中理解，在迁移中创造，推动学生的数学思维进阶。

二、逐步逼近，方法优化促进思维由表及里

优化是不断逼近知识本质、认识不断深刻的体现，在此过程中，伴随着批判、分析以及创造性学习活动。在教学过程中，教师一方面要充分地展示各种方法，让学生充分创造;另一方面要引导学生充分地展示交流，分析各种方法，学会质疑，在“自己—他人—自己”的这种社会文化性的循环中促进思维进阶。

比如，在教学“图形的平移”时（如图1），如何引导学生准确判断小船平移的距离是多少？一位教师在教学时是这样设计的：

1.方法初探：组织学生自主尝试研究小船平移了几格，然后组织汇报。（学生可能出现的答案：4、9、10）

2.实验比较：小船到底向右平移了几格？我们一起让小船再走一遍，一起数一数。（出示小船图片，在实物展台上演示，指导学生每移动一格数一下）

师：如果不用小船怎么数？这个同学并没有指着小船数，为什么？除了指一格数，还可以指哪里数？（点）从这一个点要数到哪一个点？还可以找什么？（找对应的线段）你更喜欢哪种方法？

师：为什么有的同学的答案是小船平移了4格？有的同学的答案是小船平移了10格？可能是怎么数的？

在案例中，教师并没有直接揭示图形平移距离的判断方法，通过反复训练来强化学生形成数学技能，而是基于现实问题情境组织学生自主尝试研究。在学生出现不同答案后，教师再给学生提供小船图片，进行实物操作验证。得出正确答案后，教师追问：如果不用小船怎么数？学生再次陷入沉思之中。有的找某一格对应的图形去数，有的找某一个对应的点去数，还有的找某一条对应的线段去数。同时，教师引导学生比较不同的方法，思考哪一种方法更为便捷，从而实现数学方法的优化。这样从朦胧中走向清晰，数学道理越辩越明。

任何真正的认识都是主体在已有的知识和经验基础上的主动建构，因此，尽管学生的相关想法可能是错误的或幼稚的，但仍然应当被看成具有一定的合理性，并构成了新的认识活动的直接基础——我们对此不应采取简单否定的态度，而应做出努力去理解它们的性质等，从而采取适当措施帮助学生纠正错误并做出必要的改进。在从旧知到达新知的过程中，教师需要关注学生对问题的思考，以及可能出现的错误或者片面认识，让学生在不断的自我思考中“击碎”原有的错误认知，寻找到更简单、更科学的方法解决问题。因而，学生在学习时需要有一种开放的、包容的心态，耐心地倾听别人的观点和见解，对他人表达的观点有自己的分析和评价，或认同，或补充，或指出其中的偏差和错误。而学习的过程本身，也正是一个从零散、模糊甚至有偏差或错误的认识逐步逼近完整、精确、趋于理性的认识的过程。

三、习题组块，在挑战性问题中促进数学思维由点到面

亚里士多德曾说过：“思维是从疑问和惊奇开始的。”这说明，问题情境对于思维的催生激活作用。同样，高阶思维需要良好思维环境的激活。在教学中，围绕核心问题，设计具有挑战性的、开放的问题链，让学生在解决一些非常规的问题中经历头脑风暴，深度学习，深度体验，促进思维的进阶。

在进行“长方体和正方体”的单元复习时，一位教师以“铁丝围长方体”“用纸板围成长方体”“用木块锯成长方体”三个数学活动贯穿全课，在“用纸板围成长方体”活动中，展开了如下教学：

用纸板围成一个长方体，这是我们班几个小组规定时间内完成的情况（如图2呈现的是六个小组拿到的纸板情况）。

讨论：哪几个小组已经顺利完成了任务？你们是怎么想的？（板书：面的特征）

没有完成任务的小组，通过观察他们的部分材料，你们能透视出他们想做的长方体还缺什么面吗？

第（3）组和第（4）组如果就用现有的材料做出的长方体是什么样的？由这个无盖长方体学具模型，你们能透视出它可能是——（游泳池、水槽……）

要求用了多少材料，就是要求什么？任意选一个求表面积，小组互评，表面积的计算方法实际是依据了什么？

总结：刚才大家通过观察局部的材料，看到完整的长方体;通过平面的长方形看到了立体的长方体;通过一个缺面的长方体模型，看到多个实物场景。通过具体情境，看到背后的知识点。透视，让我们从局部看到了整体，从表面看到了实质。

在案例中，教师围绕单元核心知识设计了挑战性学习任务，尤其是在长方体表面积计算方面，并没有简单地出示不同的题型让学生反复训练，而是将表面积的相关类型有机“镶嵌”于挑战性活动中，这一活动融观察、想象、分析、创造于一体，可以激发学生进行数学探究的欲望。细细品味，不难发现，六组不同的长方形纸板构造了一个开放的数学问题的情境，有的可以围成长方体，有的不可以围成长方体。可以围成长方体的，教师启发学生观察发现面的特征，以及还有怎样的长方体和这组图形是一类的。更为难得的是，教师尝试引导学生进行“透视”思维，实则就是引导学生在头脑中想象图形的拼接过程，想象拼接后长方体的形状。而对于像第（2）组和第（6）组这样无法围成长方体的图形，教师则启发学生展开创造性的思考：补上怎样的长方形就可以围成长方体呢？这样的学习活动，需要学生借助于直观的面在头脑中搭建抽象的体，借助二维想象三维，借助局部透视整体，促进学生空间观念的发展。

四、学习分层，在对比思考中促进数学思维由低到高

数学教育家弗赖登塔尔曾指出，只要兒童没能对自己的活动进行反思，他就达不到高一级的层次。思维的进阶，离不开儿童自己的学习活动，包括内在的思维活动的反思。反思，促进儿童思维的提升与进阶，也促进着儿童“元”思维力的培养。因此，教师应主动迎接这样一项挑战：通过引导学生进行对比反思，认识自己的思维现状，帮助学生判断自己对课上资料的理解处于布鲁姆分类学的哪一个层次，以及如何提高评估与综合的层次。

例如，在教学“解决问题的策略——转化”这一内容时，教师可以结合某一道练习题做进一步的拓展延伸，并对应布鲁姆分类学的各个层次，给出若干不同的答案。如图3所示，教师可在第（2）题的基础上再补充一道计算题：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=（ ），并尝试做出不同的解答。第一种，直接用求和公式来计算，即等于（2+20）×10÷2，这反映的是知识层的内容;第二种，通过分组，把原式分成5组，每组两个数的和都是22，这反映的是理解层的内容;第三种，与算式“1+3+5+7+9+11+13+15+17+19”相比，发现每一个加数都增加了1，因此和也就增加了10个1，这反映的是分析层、综合层的内容，以此类推。

组织学生独立完成练习后，教师再呈现以上不同解答的要点，并让学生判断自己的答案处于布鲁姆分类学的哪个层次。同时，启发他们思考，怎样做才能提升到更高的学习层次上。

在学习了“解决问题的策略——转化”这一内容后，教师还可以让学生以学习小结的方式对所学的内容进行梳理，或提出一个开放性的问题让学生简明扼要地回答。问题可能是：“你认为通常在什么情况下需要进行转化？”“你认为一般可以用哪些方法来进行转化？”“所学的例题和习题中，哪些是同一种类型的？”教师根据学生即时提交的回答，分类进行评论。

五、故事体验，于复杂情境中促进数学思维由学科到文化

对于“人们通常将布鲁姆认知目标的记忆、理解、应用、分析、评价、创造六个层次的前三者指认为低阶思维，后三者指认为高阶思维”这一现象，以华东师范大学杨九诠教授为代表的一些专家认为这失之偏颇。以第一层“记忆”来讲，如果它生成于复杂的情境，那么这样的“记忆”就能成为发现问题和解决问题过程中信息筛选和提取的行动策略。因此，这种“记忆”就不再处于低阶思维，而属于高阶思维。

以苏教版小学数学三年级下册“年、月、日”教学为例，这一内容教学的最大难点在于知识点繁多，要让学生短时间内准确地记住各月并非易事，其根本原因是各月天数的规律性不够明晰。如果仍以“儿歌记忆法”“拳头记忆法”等外在手段来帮助学生记忆，从记忆的特点来看，其本质仍为机械型记忆;从认知目标来看，仍然处于低阶层次。而如果以恺撒大帝修订年历的数学史故事（恺撒大帝出生在7月，继任者奥古斯都出生在8月，2月是处决犯人的月份等）为线索，让学生在有趣的穿越中，亲身经历一次年历修订的过程。其间反复多次的调整修改，让学生主动建构起各月天数的认知，了解每一次调整的背后都源自历史事件的发生。用这种生动的形式来帮助学生实现有意义的学习，让学生在复杂的历史情境中主动建构、记忆相关知识，它所培养的就是学生的高阶思维。

高阶思维孕育于复杂情境，具有显著的整体性、发展性特征。提供相互匹配的复杂情境与高阶思维，是推进学生从学科知识习得向学科素养养成转变的可行路径。数学的天空，弥漫着人类文化进程的探索气息。以历史故事为载体的数学课程，让学生在故事中被赋予了一个参与者的身份，他认同这个身份，愿意为这个身份的进阶（即从“边缘”逐渐移向“中心”）而努力投入，学习与意义的理解就在这样的认同和努力的过程中自然萌发了。

（作者单位：江苏省南通市通州区教师发展中心）

参考文献

[1]杨九诠.学科核心素养与高阶思维[N].中国教育报，2016-12-21（9）.

[2]任卫兵.小学数学故事课程建设与实施[M].长春：东北师范大学出版社，2019.

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任卫兵，正高级教师，江苏省特级教师，江苏省教学名师，南通市中青年名师工作室领衔人。先后主持江苏省“十五”“十一五”规划课题、江苏省“十二五”规划重点资助课题。出版专著《把智慧点燃》《小学数学教学能力提升策略——引领学生走向智慧学习》《小学数学故事课程建设与实施》。