闭合电路中的图像问题探析

张金龙 贺明霞

在学习“闭合电路的欧姆定律”这部分内容时，我们很容易发现，闭合电路中的许多规律都可以通过图像描述，如导体的伏安特性曲线，以及电源的各功率与外电阻、电流的关系等。图像的类型也是多种多样，既有正比函数图像、反比函数图像，也有二次函数图像，甚至有些是比较复杂的非单调关系图像。

在面对上述图像问题时，有些同学是依据图像的函数关系来做定性理解，这种方法比较抽象，不够直观。在本文中，笔者运用数学作图软件根据函数关系式作图（设定电源电动势E=1.5V，电源内阻r=1Ω），期望能给同学们呈现出真实的变化规律，帮助同学们深入理解闭合电路中的图像问题。

一、电压与电流之间的图像问题

对于如图1所示的电路图，设电源电动势为E，内阻为r，下面针对图1进行分析。

1.定值电阻R1（设R1=2Ω）两端电压U1与流过电流I间的函数关系式为U1=IR1，函数图像如图2所示，图像的斜率表示定值电阻的阻值。在同一幅图中如果画出多个定值电阻的图像，则图像越陡表示电阻越大。

2.路端电压U与干路中的电流I间的函数关系式为U=E-Ir，函数图像如图3所示，此图像对应两个特殊情况：①图像在纵轴上的交点表示电路断路，此时R=∞，I=0，U=E，纵轴的截距表示电源电动势;②图像在横轴上的交点表示电源短路，此时R=0，I=，U=0，截距表示短路电流。图像斜率的绝对值表示电源内阻r。

特别注意：实际考试题目中所呈现的图像纵轴起点经常不为零，所以图像与横轴的截距并非短路电流，通过斜率求电阻时应注意坐标的变化量。考生在此处容易出错。

3.滑动变阻器R2两端电压U2与流过电流I之间的函数关系式为U2=E-I（R1+r），图像如图4所示，此图像纵轴交点表示电源电动势，横轴交点表示滑动变器阻值R2=0时回路中的电流I=，斜率的绝对值表示电源内阻r与定值电阻R1串联之和，此图像也可理解为将定值电阻R1等效为电源内阻之后的路端电压与电流间的图像。

【例1】如图所示，直线A为电源a的路端电压与电流的关系图像，直线B为电源b的路端电压与电流的关系图像，直线C为一个电阻R两端电压与电流的关系圖像。将这个电阻分别接到a和b两电源上，下列说法中正确的是（ ）

A. R接到a电源上，电源的效率较高

B. R接到b电源上，电源的输出功率较大

C. R接到a电源上，电源的输出功率较大，但电源效率较低

D. R接到b电源上，电阻R的发热功率和电源的效率都较高

【思路点拨】本题考查对电源和电阻伏安特性曲线的理解，要求考生从交点、斜率等数学角度来理解图像的物理意义。考生可根据电源的U-I图像，读出短路电流和电阻R接在电源上时的工作状态，分析电源效率的大小。电源的U-I图像与电阻的U-I图像的交点表示电阻R接在该电源上的工作状态，考生可以读出电压和电流，分析电源的输出功率大小。

【答案】C

【解析】电源的效率η==，由图看出，电阻R接在电源a上时电路中电流为，短路电流为I0，根据闭合电路欧姆定律I=得R=r，则电源a的效率为50%;电阻R接到b电源上，>50%，则电源b的效率大于50%，故选项A错误。电阻R的U-I图像与电源的U-I图像的交点表示工作状态，由图读出R接在电源a上的电压和电流较大，电源a的输出功率较大，故选项B错误。由以上分析可知，R接到a电源上，电源的输出功率较大，电源的效率较低，故选项C正确，选项D错误。

二、电源的各功率与电流I之间的图像问题

电源的总功率P总=E，电源内部消耗的功率P内=I2r，电源的输出功率P出=E-I2r，各自图像在同一个坐标系中如图6所示，交点M表示P出=P内，此时R=r，电源输出功率达到最大值Pm。图像KM段表示P总-P内=P出，KM段与ML段长度相等，N点表示P出=0，E点表示P总=P内，由此可知图像N点和E点相对应，表示电路处于同一状态（即短路），坐标原点表示电路处于断路状态。

【例2】某同学将一直流电源的总功率PE、输出功率PR和电源内部的发热功率Pr随电流I变化的图像画在同一坐标系内，如图7所示，根据图像可知下列说法正确的是（ ）

A.反映Pr变化的图像是b

B.电源电动势为8 V

C.电源内阻为2 Ω

D.当电流为0.5 A时，外电路的电阻为6 Ω

【思路点拨】电源的总功率与电流之间图像的斜率表示电源电动势，正确解答本题的关键是根据各功率与电流之间的函数关系，确定出a、b、c三个图像对应什么功率，同时要清楚图像之间的交点所表示的含义，然后根据闭合电路的欧姆定律对特殊点解方程即可。

【答案】CD

【解析】直流电源的总功率PE=EI，总功率随电流变化的图像是一条倾斜的直线，斜率表示电动势E，结合图像可知倾斜直线a符合，根据图像可判断E==4V，选项B错误。电源内部的发热功率Pr=I2r，图像是一条曲线，开口向上，图像c符合，选项A错误。当Pr=PE=8W时，输出功率为零，此时可得内阻r=2Ω，当外电阻等于内阻，即R=2Ω时，电源输出功率最大，选项C正确。当电流为I=0.5A时，总电阻R总=R+2Ω===8Ω，此时外电阻R=6 Ω，选项D正确。

（本文系甘肃省教育科学“十三五”规划2020年度一般课题，课题名称：基于数学核心素养的中学数学建模单元化教学的实践研究，课题立项号：GS〔2020〕GHB3056。）