张金龙 贺明霞
在学习“闭合电路的欧姆定律”这部分内容时,我们很容易发现,闭合电路中的许多规律都可以通过图像描述,如导体的伏安特性曲线,以及电源的各功率与外电阻、电流的关系等。图像的类型也是多种多样,既有正比函数图像、反比函数图像,也有二次函数图像,甚至有些是比较复杂的非单调关系图像。
在面对上述图像问题时,有些同学是依据图像的函数关系来做定性理解,这种方法比较抽象,不够直观。在本文中,笔者运用数学作图软件根据函数关系式作图(设定电源电动势E=1.5V,电源内阻r=1Ω),期望能给同学们呈现出真实的变化规律,帮助同学们深入理解闭合电路中的图像问题。
一、电压与电流之间的图像问题
对于如图1所示的电路图,设电源电动势为E,内阻为r,下面针对图1进行分析。
1.定值电阻R1(设R1=2Ω)两端电压U1与流过电流I间的函数关系式为U1=IR1,函数图像如图2所示,图像的斜率表示定值电阻的阻值。在同一幅图中如果画出多个定值电阻的图像,则图像越陡表示电阻越大。
2.路端电压U与干路中的电流I间的函数关系式为U=E-Ir,函数图像如图3所示,此图像对应两个特殊情况:①图像在纵轴上的交点表示电路断路,此时R=∞,I=0,U=E,纵轴的截距表示电源电动势;②图像在横轴上的交点表示电源短路,此时R=0,I=,U=0,截距表示短路电流。图像斜率的绝对值表示电源内阻r。
特别注意:实际考试题目中所呈现的图像纵轴起点经常不为零,所以图像与横轴的截距并非短路电流,通过斜率求电阻时应注意坐标的变化量。考生在此处容易出错。
3.滑动变阻器R2两端电压U2与流过电流I之间的函数关系式为U2=E-I(R1+r),图像如图4所示,此图像纵轴交点表示电源电动势,横轴交点表示滑动变器阻值R2=0时回路中的电流I=,斜率的绝对值表示电源内阻r与定值电阻R1串联之和,此图像也可理解为将定值电阻R1等效为电源内阻之后的路端电压与电流间的图像。
【例1】如图所示,直线A为电源a的路端电压与电流的关系图像,直线B为电源b的路端电压与电流的关系图像,直线C为一个电阻R两端电压与电流的关系圖像。将这个电阻分别接到a和b两电源上,下列说法中正确的是( )
A. R接到a电源上,电源的效率较高
B. R接到b电源上,电源的输出功率较大
C. R接到a电源上,电源的输出功率较大,但电源效率较低
D. R接到b电源上,电阻R的发热功率和电源的效率都较高
【思路点拨】本题考查对电源和电阻伏安特性曲线的理解,要求考生从交点、斜率等数学角度来理解图像的物理意义。考生可根据电源的U-I图像,读出短路电流和电阻R接在电源上时的工作状态,分析电源效率的大小。电源的U-I图像与电阻的U-I图像的交点表示电阻R接在该电源上的工作状态,考生可以读出电压和电流,分析电源的输出功率大小。
【答案】C
【解析】电源的效率η==,由图看出,电阻R接在电源a上时电路中电流为,短路电流为I0,根据闭合电路欧姆定律I=得R=r,则电源a的效率为50%;电阻R接到b电源上,>50%,则电源b的效率大于50%,故选项A错误。电阻R的U-I图像与电源的U-I图像的交点表示工作状态,由图读出R接在电源a上的电压和电流较大,电源a的输出功率较大,故选项B错误。由以上分析可知,R接到a电源上,电源的输出功率较大,电源的效率较低,故选项C正确,选项D错误。
二、电源的各功率与电流I之间的图像问题
电源的总功率P总=E,电源内部消耗的功率P内=I2r,电源的输出功率P出=E-I2r,各自图像在同一个坐标系中如图6所示,交点M表示P出=P内,此时R=r,电源输出功率达到最大值Pm。图像KM段表示P总-P内=P出,KM段与ML段长度相等,N点表示P出=0,E点表示P总=P内,由此可知图像N点和E点相对应,表示电路处于同一状态(即短路),坐标原点表示电路处于断路状态。
【例2】某同学将一直流电源的总功率PE、输出功率PR和电源内部的发热功率Pr随电流I变化的图像画在同一坐标系内,如图7所示,根据图像可知下列说法正确的是( )
A.反映Pr变化的图像是b
B.电源电动势为8 V
C.电源内阻为2 Ω
D.当电流为0.5 A时,外电路的电阻为6 Ω
【思路点拨】电源的总功率与电流之间图像的斜率表示电源电动势,正确解答本题的关键是根据各功率与电流之间的函数关系,确定出a、b、c三个图像对应什么功率,同时要清楚图像之间的交点所表示的含义,然后根据闭合电路的欧姆定律对特殊点解方程即可。
【答案】CD
【解析】直流电源的总功率PE=EI,总功率随电流变化的图像是一条倾斜的直线,斜率表示电动势E,结合图像可知倾斜直线a符合,根据图像可判断E==4V,选项B错误。电源内部的发热功率Pr=I2r,图像是一条曲线,开口向上,图像c符合,选项A错误。当Pr=PE=8W时,输出功率为零,此时可得内阻r=2Ω,当外电阻等于内阻,即R=2Ω时,电源输出功率最大,选项C正确。当电流为I=0.5A时,总电阻R总=R+2Ω===8Ω,此时外电阻R=6 Ω,选项D正确。
(本文系甘肃省教育科学“十三五”规划2020年度一般课题,课题名称:基于数学核心素养的中学数学建模单元化教学的实践研究,课题立项号:GS〔2020〕GHB3056。)