李 惠
(湖南省株洲市第二中学 湖南 株洲 412007)
【试题】本题考虑热辐射的问题.有关热辐射的背景知识叙述如下:
若一物体表面的绝对温度为T,发射率为e,则该物体表面每单位面积在每单位时间内所辐射出的电磁波能量,称为辐射能通量,可表述为R=eσT4,式中σ=5.670×10-8J/(s·m2·K4),称为斯特凡-波尔兹曼常量.通常e<1,但对黑体而言,e=1(即为完全辐射).如果物体周围的温度为T′,则需考虑物体表面对入射辐射能的吸收.假定入射的辐射能通量为σT′4,α为物体表面的吸收率,则该物体表面所吸收的辐射能通量为R′=ασT′4,通常α<1,但对黑体而言,α=1(即为完全吸收).因此物体表面对入射能量的反射率为1-α.如果该物体和周围的环境达成热平衡,即T=T′,则物体放射出去的和所吸收的辐射能通量应相等,所以e=α,这就是所谓基尔霍夫定律(Kirchhoff′s Law).
现考虑两片面积很大且平行相向对立的金属板A和B,其温度分别维持在TA和TB,TA>TB.A和 B两金属板面的发射率分别为e1和e2.
(1)假想在两金属板面之间有一个虚设的平行截面,试求通过该截面的净辐射能通量,以TA,TB,e1,e2表示.
(2)若是在两金属板中间放入另一块大面积的金属板C,其发射率为e,则在其达成稳定状态时的温度T为何?该温度是否和金属板C所放置的位置有关?
(3)在(2)题中,若e=e1=e2,则在稳定状态时,两金属板之间的净辐射能通量为何?
答案:
(1)
(2)
与板C位置无关.
(3)
(4)
第二种方式较佳.
解法一:由于两金属板面不是黑体,我们必须考虑热辐射能量在两板面之间的来回反射和吸收.先单独考虑金属板A的热辐射情形,把B板看作一个只有反射无热辐射的装置;再单独考虑金属板B热辐射情形,此时,把A板看成一个只有反射无辐射的装置;最后,A,B板间实际的辐射传热,即等于二者之差.
依照上述思路,单独考虑金属板A的热辐射情形以及它逐次从板面辐射的辐出度.
首次从A板辐射
(5)
首次被B板反射回
RB1=(1-e2)RA0
(6)
A板第一次反射
RA1=(1-e1)RB1
(7)
第二次被B板反射回
RB2=(1-e2)RA1
(8)
A板第二次反射
RA2=(1-e1)RB2
(9)
第三次被B板反射回
RB3=(1-e2)RA2
(10)
上述列出的是从A板发出的一系列出射波在A,B板之间无穷多次反射的热辐射能通量,而实际上,热辐射是不间断地进行的,上述的RA0,RA1,RA2,…以及RB1,RB2,RB3,…是同时存在于两金属板之间的.因此,从A板流向B板的辐射能通量为
RA=(RA0+RA1+RA2+…)-(RB1+RB2+RB3+…)=
(RA0-RB1)+(RA1-RB2)+(RA2-RB3)+…=
e2RA0+e2RA1+e2RA2+…=
e2RA0+e2(1-e2)(1-e1)RA0+
e2(1-e2)(1-e1)(1-e2)(1-e1)RA0+…=
e2RA0[1+(1-e2)(1-e1)+(1-e2)2(1-e1)2+
(1-e2)3(1-e1)3+…+(1-e2)n(1-e1)n]
其中,n→∞,上式中括号中是一个首项为1,等比为(1-e1)(1-e2)<1的等比数列求和.故
(12)
同理可推得,从B板流向A板的辐射能通量为
(13)
则通过两金属板间某平行截面的净辐射能通量为
(14)
解法二:设金属板单位面积接收辐射能通量为G,吸收eG,反射(1-e)G,同时自身辐射eE,其中E=σT4,满足斯特凡-玻尔兹曼定律,金属板稳态平衡时,热量收支平衡,向外界辐射的有效辐射能通量为Jout.
Jout-G=e(E-G)
(15)
可见Jout与G并不是独立的两个变量,而是存在一一对应关系的,收入能通量越大,辐出能通量Jout也越大.由式(15)解得
(16)
所以,金属板向外界的净辐射能通量为
(17)
把上述结论分别应用于A,B板:A板向外界的净辐射能通量为
(18)
B板向外界的净辐射能通量为
(19)
达到稳态温度后,金属板A向外界的净辐射能通量等于金属板B向外界辐射的净辐射能通量的负值,也等于金属板A和B 的有效辐射能通量之差,即
RA=-RB=JA,out-JB,out
(20)
应用合分比定理得
(21)
可利用(1)问结论,在A,B板间插入金属板C并达到稳态温度之后,A,C板间的净辐射能通量RAC等于C,B板间的净辐射能通量RCB,即
RAC=RCB
(22)
根据式(14)结论,有
(23)
(24)
联立式(22)~(24)解得
(25)
利用式(22)~(24),并代入e=e1=e2,可得
(26)
联立式(23)、(26)得插入金属板C后的净辐射能为
(27)
图1 A,B板间插入n块相同的金属板
由于各金属板达到稳态平衡时温度不变,净辐射能通量相等,根据式(14),代入e=e1=e2,可得
(28)
其中RAB是A,B板间没有其他金属板时的净辐射能通量,R是A,B板间插入n片金属板时的净辐射能通量,可见,多层金属板相叠,间隙数目越多,单位时间内的辐射传热就越少,保温效果就更好.
笔者给这道题再加两小问(5)和(6),从其他方向启发学生对此类热辐射问题进行深入思考.
拓展1:(5)常用的隔热布是多层金属薄膜构成,两两之间以网状的、聚酯纤维间隔开来.设金属膜的发射率和吸收率都为e.有一种隔热布共由11层这样的金属膜彼此平行放置构成,用它包裹一个半径为r,比热为c,质量为M的均质球形仪器(仪器本身不发热),放在距离太阳为d处,设太阳表面积为S,太阳表面温度为Ts,达到稳态时,该仪器的温度To是多少?
解:隔热布的功能并不是阻断热辐射,而是降低进出物体的辐射能通量,因此对稳态平衡的温度没有影响,而只是让稳态平衡较慢达成而已.所以,我们可以不用考虑隔热布的存在,将球形仪器当成黑体,根据球形仪器能量守恒
(29)
得
(30)
拓展2:(6)若该球形仪器本身会发热,功率为常量P,它和多层隔热布的最内层(第11层)紧密接触而保持同温,隔热布的总厚度远小于球形仪器的半径r.达到稳态时,多层隔热布最内层的温度Tin及最外层(第1层)的温度Tout分别是多少?
解:先考虑最内层热平衡,则
(31)
式中T10是第10层隔热布的温度.接着考虑最外层热平衡
(32)
式中T2是第二层隔热布的温度.又由于各层的辐射净能通量相同
(33)
联立,可得
(34)
(35)