结合模糊自整定的机械臂鲁棒PD控制器研究

董 凡，高宏力，郭 亮，杨 恺

（西南交通大学机械工程学院，四川 成都 610031）

1 引言

机械臂是机器人控制系统中的重要部分，凭借其精确、快速、重复定位精度高等特点被广泛应用于实际工业生产中，但是随着工业自动化程度的提高，传统控制算法很难满足机械臂的控制精度要求，因此，机械臂的精确轨迹跟踪控制问题成为现阶段机械臂控制领域的一个研究热点。

机械臂轨迹跟踪控制的核心思想是设计一个控制性能优异的控制器，可以根据输入信息使执行器输出相对精确的控制力矩，从而驱动机械臂各关节的运动以达到期望位置与位姿。然而，机械臂系统是一个具备强时变、强耦合等特性的高度非线性控制系统，存在外界扰动及系统建模误差等较多不确定性，因而难以获得其较为精确的数学模型，无法实现优异的运动控制效果[1]。现阶段，针对系统不确定性的解决方案主要分为两种控制策略，一种是利用迭代学习或神经网络等自适应控制方法逼近系统的不确定性，通过不断的训练学习获取较高的轨迹跟踪控制精度，但是此类控制策略算法实现过程较为复杂，训练周期过长且计算量较大，很难保证系统的稳定性与实时性[2-3]。另一种控制策略是采用鲁棒、滑模等控制方法，这类方法可以在不确定性可控范围内保证系统稳定和维持一定的性能指标，能够抑制控制过程中的干扰和补偿未建模动态，但是此类控制策略没有学习能力，自适应调整能力差，当外界扰动超过拟定的阈值后，容易引起系统抖振等问题，影响系统的控制精度与稳定性[4-5]。

综合考虑两类控制策略的优劣，提出了一种基于非线性PD的控制方法，引入模糊控制器替代传统PD控制的参数整定过程，实现PD参数的在线自调整功能[6-7]，同时采用鲁棒控制器补偿机械臂系统的不确定性[8-9]。此控制策略以PD控制器为基础，将模糊控制与鲁棒控制相结合，兼容了两者的优点，提高了整个机械臂控制系统的鲁棒性、稳定性，且无需在线学习模型参数，在保证控制精度的同时减少了计算量和训练成本。

2 机械臂动力学模型

具有N个自由度的机械臂动力学模型可表述为以下二阶非线性微分方程[10]：

M(q)∈Rn×n—机械臂的正定惯性矩阵—离心力和哥氏力；G(q)∈Rn—重力矩阵；ω∈Rn—外部扰动和建模误差；τ∈Rn—系统的控制输入力矩。

此机械臂系统的动力学特性如下：

（2）惯性矩阵M(q)为对称正定矩阵，存在正数m1，m2满足不等式：

3 轨迹跟踪控制器设计

3.1 控制器结构与控制策略

针对具有高度非线性和强耦合性的机械臂系统，非线性PID控制作为一种简单有效且精度较高的控制方法在工业生产中得到广泛应用，但是在实际控制过程中，非线性PID控制器的参数整定过程较为复杂，且更多地依赖人工经验，其优化值具有一定的局域性，一定程度上无法解决动态品质和稳态精度的矛盾。另外，此类控制器由于其参数整定过程缺乏在线自调整能力，难以解决非线性时变系统的不确定性。

针对传统PID控制器存在的一些问题，提出了一种基于模糊自整定的鲁棒PD控制策略，该控制器由模糊PD控制部分和鲁棒补偿部分组成，模糊PD控制部分引入了模糊逻辑实现了PD参数的在线自调整功能，优化了PD控制器复杂的参数整定过程，减少了超调量，大量缩短了调节时间。同时鲁棒补偿部分引入了自适应算法，通过自适应律获取其不确定性的信息，保证了系统在外部扰动或存在不确定性的情况下保持控制稳定性，提高其抗干扰能力和学习能力，补偿系统不确定性使闭环系统跟踪误差全局渐进收敛。

具体的控制器结构，如图1所示。设计总控制律如下：

图1 基于模糊自整定的鲁棒PD控制器结构图Fig.1 The Structure of Robust PD Controller Based on Fuzzy Self-Adjustment

式中：τpd—模糊PD控制部分的输出项；u—鲁棒补偿项。

3.2 模糊PD控制器

常用的PID控制器，如式（4）所示。具有比例项、积分项、微分项。

式中：kP—比例系数；ki—积分系数；kd—微分系数；e(t)—跟踪误差。针对提出的控制策略，如果加入积分项，由于积分作用的滞后特性与误差累积的消极影响可能会破坏系统的动态品质，增加整个控制系统的计算量，降低其稳定性。因此，决定采用的PD控制器，如式（5）所示。去掉积分项。

传统的PD控制由于其复杂的参数整定过程难以应用在机械臂等非线性时变系统中，因此引入了模糊逻辑作为PD控制器参数调整的重要依据，优化了非线性PD控制中复杂的参数整定过程，实现了其在线自整定功能，具体参数整定过程，如图2所示。

图2 模糊PD控制器参数整定流程图Fig.2 The Flow Chart of Parameter Self-Adjustment of Fuzzy-PD Controller

模糊推理过程中输入变量为误差e、误差变化率Δe，输出变量为比例系数增量Δk P、微分系数增量Δkd，根据控制策略选择三角型隶属函数作为输入变量的隶属函数，两个变量误差e、误差变化率Δe均包含模糊子集{B，M，S}，B表示为“大”，M表示为“中”，S表示为“小”，其隶属函数，如图3所示。

图3 输入变量的隶属函数Fig.3 The Membership Function of Input Variable

同时根据控制系统设计经验，制定输出变量的模糊规则表，如表1、表2所示。

表1 比例系数增量Δk p的模糊规则表Tab.1 Fuz zy Rule of Scale Coefficient IncrementΔk P

表2 微分系数增量Δkd的模糊规则表Tab.2 Fuzzy Rule of Differential Coefficient IncrementΔk d

根据隶属函数和模糊规则对输出变量进行模糊推理，确定比例系数增量ΔkP、微分系数增量Δkd。PD的初始参数值kP0、kd0由Ziegler-Nichols公式确定，然后根据式（6）、式（7）整定比例系数kP、微分系数kd，进而实现非线性PD控制的参数自整定功能。

3.3 鲁棒自适应补偿器

为补偿机械臂系统因建模误差和外部扰动等带来的不确定性，设计了鲁棒自适应补偿器，在传统鲁棒算法基础上采用自适应算法确定系统不确定上界，结合鲁棒控制的稳定性和自适应控制的学习能力，消除系统不确定性带来的影响，使闭环系统跟踪误差全局渐进收敛。

定义跟踪误差为：

式中：q—关节实际运动角位移；qd—关节期望角位移。

定义辅助信号为：

式中：λ=diag(λ1，···λn)，且λ＞0，即可推出：

结合式（1）和式（12）得：

引入H=--G(q)-ω表示系统的不确定项，则式（13）可表示为：

设计鲁棒补偿器为：

式中：ud—补偿器实际输出；ε—某个极小的正常数；β—系统不确定项的上界，即满足：

式中：S=max(1，‖e‖，‖e‖2)—系数向量；P—系统不确定项。

式中：k—正定常数矩阵。

将式（15）与式（18）结合，可得鲁棒自适应补偿器为：

3.4 系统稳定性证明

同理可得：

因此对式（20）左右两端求导得：

将式（13）和式（17）代入式（23）中，可得：

4 实验仿真验证

为了验证提出的控制策略的可行性，决定采用二自由度机械臂系统作为Simulink仿真控制对象。

此机械臂的动力学方程参数为：

此机械臂的物理参数为：

m1=1kg，m2=1.5kg，r1=1m，r2=0.8m

设置仿真模型的输入函数为：

q1d=0.3sin(t)，q2d=0.3sin(t)

选取PD控制器参数初值为：

k P0=diag(100，100)，kd0=diag(100，100)

选取鲁棒自适应控制器参数为：

k=10，ε=0.03，λ=diag(2，2)

在Matlab中建立设计的机械臂控制系统Simulink模型，在模型中添加上述参数并进行仿真分析，具体的仿真结果，如图4所示。同时为了更好验证设计的控制器的有效性，引入传统PID控制器Simulink模型进行Matlab仿真实验对比，具体的仿真结果，如图5所示。

图4 新型控制器的关节角位置跟踪曲线和误差Fig.4 Angle Tracking Curve and Error of New Controller

图5 传统控制器的关节角位置跟踪曲线和误差Fig.5 Angle Tracking Curve and Error of Traditional Controller

通过对两种控制器仿真结果的分析，可以发现设计的控制器轨迹跟踪效果优异，关节角位置跟踪误差收敛速度和系统动态响应速度较快，具备良好的稳定性和抗干扰能力。相反，传统PID控制算法在轨迹跟踪过程中存在明显的误差，收敛速度相对较慢，且参数调节更多地依赖人工经验。

此外，基于上述分析结果可以看出，与传统PID控制算法相比，设计的新型控制算法的控制效果更优异，其主要原因在于该算法通过引入模糊逻辑优化了传统PID算法复杂的参数整定过程，并且引入鲁棒自适应算法对传统算法难以解决的不确定性进行补偿，提高了控制系统的鲁棒性和学习能力。

5 结论

针对机械臂这样一个具有强耦合性的非线性时变系统，提出了一种基于模糊自整定的鲁棒PD控制策略，引入模糊逻辑作为PD控制器的参数自整定方法，同时设计鲁棒自适应算法以补偿系统的不确定性。对此控制策略的稳定性与有效性进行了理论推导和仿真实验验证，并与传统PID控制策略进行对比，结果表明此控制器轨迹跟踪误差收敛速度较快，具有良好的鲁棒性和实时性，提高了机械臂控制系统的稳定性、精确性和学习能力。由此可见，此控制策略具备应用在复杂的机械臂控制系统中的可行性。