拟凸函数的Simpson型分数阶积分不等式

白淑萍

（内蒙古民族大学数理学院，内蒙古 通辽 028043）

凸函数是一个简单而自然的概念，在数学规划论、博弈论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制论等领域具有重要的理论意义和广泛的应用前景.但是在经济学中和许多优化问题的数学模型中遇到的函数往往很难满足凸性的要求，只能退而求其次，考虑较弱的广义凸函数.历史上，第一种广义凸函数是由FINETTI［1］于1949年提出，由FENCHEL［2］于1953年命名的拟凸函数，其在适当放宽凸性条件的同时，还保留了凸函数某些重要的有用性质，其实用的范围却比凸函数要广，是凸函数的拓广与发展.笔者在分数阶积分基础上，研究了拟凸函数在不等式方面的应用，建立了拟凸函数的Simpson型积分不等式，并给出了其误差估计.

1 预备知识

定义1［1-2］设I为实数轴R上的任一区间，f(x)是区间I上的函数，如果对于∀a,b∈I,a＜b，∀λ∈[0,1]，有

则称函数f(x)是区间I上的拟凸函数.

定义2［3］设(a,b)为实数轴R上的区间，其中a＜b且a,b∈[-∞,+∞].如果 Re(α)＞0 ，α是一个复数，函数则

和

分别称为左边、右边的Katugampola分数阶积分，函数空间如下：

其中

Katugampola分数阶积分也称为ρ-Riemann-Liouville分数阶积分［4］，它推广了Riemann-Liouville分数阶积分和Hadamard分数阶积分［5］：

和

下面的不等式是著名的Simpson不等式.

定理1［7］设f:[ ]a,b→R在区间[ ]a,b内是连续可微的，有

在文献［8］，HAI等建立了如下等式.

引理1［8］设是一个可微函数，其中，则对于∀α＞0,∀x∈(a,b)，下面的等式成立：

其中，函数f(xρ)在区间[a,b]上的Katugampola分数阶积分存在.

在文献［8］中，作者基于Katugampola分数阶积分，研究了凸函数的Simpson型不等式.笔者在文献［6］、［8］和［9］基础上，研究拟凸函数在不等式方面的应用，建立了拟凸函数的Simpson型分数阶积分不等式，并给出其误差估计.

2 主要结论

本节笔者利用函数的拟凸性和引理1建立一些新的Simpson型分数阶不等式.

其中α＞0.

证明 利用引理1以及|f′|的拟凸性得到

定理2证毕.

通过计算即得式（8），定理3证毕.

特别地，在定理3中分别取r=0、r=1和r=q时，可以得到：

和

和

类似定理3的证明方法，还可以得到下述结论：

通过计算即得式（12），定理4证毕.

特别地，在定理4的不等式中取r=1、r=q和r=qα时，可以得到：

和

和

注：在式（7）～（15）中当ρ→1时取极限，即得到基于Riemann-Liouville分数阶积分的相关结论.