铰支多跨梁稳态动变形的级数简易算法

史文谱,闫家正,王 浩

(烟台大学机电汽车工程学院,山东 烟台 264005)

多跨梁的稳态振动问题属于动态静不定问题,在桥梁工程、海港码头、土木建筑、航空航天等领域普遍存在,文献[1]中介绍的解除约束法、三弯矩法和力法以及文献[2]中提出的积分法仅能用于求解多跨梁的静态问题,在机械振动或结构动力学中探讨的弹性体的振动问题也只是限于没有多余约束的情形。王海林等[3]对超静定梁的变形计算提出的阶跃函数和拉普拉斯变换相结合的一种方法,对于梁上作用有集中载荷的场合处理起来较为方便;此外还有精细传递矩阵法[4]。周叮[5]针对多跨梁和板结构的振动问题提出了广义梁函数,并结合应用李兹法进行了近似分析和计算;王真等[6]利用有限元法和车桥单元建立了车桥耦合系统的数学模型,采用独立模态空间控制法可实现对移动载荷作用下多跨梁振动的少数模态主动控制的目标;熊剑锋等[7]利用傅里叶级数展开、哈密顿原理和伽辽金方法研究了轮印载荷下多跨梁最危险工况的计算,相比有限元法有较高的收敛速度;文献[8]中作者基于多跨梁弯矩理论建立的船舶管道系统的五跨冲击响应模型,对于研究大型复杂管道系统的抗冲击性能具有较高的近似精度;针对多跨梁的动态响应计算问题还有文献[9]中提出的沃尔特拉积分方程法、文献[10]提出的动态格林函数公式法以及文献[11]提出的假设模态法。有别于上述文献中的方法,本文针对铰支多跨梁在稳态载荷作用下的动态挠度计算问题提出的正弦级数解法,推导简单,算法统一,编程简单,易于电算,收敛速度快,给出的2个算例说明了方法的可行性。

1 问题模型及分析

图1是一根铰支多跨梁A0An,承受稳态分布载荷q(x,t)=Q(x)e-iωt的作用。多跨梁共有n+1个铰支,中间铰支分别标记为Aj(j=1,2,…,n-1),第j个铰支到左端铰支点A0的距离为Lj(j=1,2,…,n),梁材质的杨氏模量为E,截面惯性矩为J,建立图示坐标系xA0y。

图1 铰支多跨梁的受力Fig.1 Loaded force of hinged beams with multiple spans

从梁上任意位置x处选取单元体dx,并进行受力分析如图2。

图2 梁单元受力分析Fig.2 Force analysis of beam element

根据材料力学和牛顿第二定律有

(1)

其中：w(x,t)是梁的挠度函数,wtt(x,t)是挠度关于时间t的二阶导数,wxx(x,t)是挠度关于变量x的二阶导数,ρ和S分别是梁的质量体积密度和横截面积。

整理式(1)得

(2)

其中：wxxxx是梁的挠度函数w(x,t)关于坐标x的四阶导数。

稳态振动时,假设w(x,t)=W(x)e-iωt,同时将q(x,t)=Q(x)e-iωt一并代入式(2)中有

Wxxxx-K2W=Q/EJ,

(3)

根据问题的边界条件,多跨梁在铰支点A0,A1,…,An处的挠度均为零,并假设中间多余约束支撑点A1,A2,…,An-1处的支反力分别为p1,p2,…,pn-1,方向向下,同时假设预先满足两端铰支点A0和An处挠度为零边界条件的挠度函数幅值取如下正弦级数形式

(4)

其中,ak(k=1,2,…)是待定系数。

由于在中间铰支点A1,A2,…,An-1处的挠度也为零,故式(4)还需满足下列方程组

(5)

假设支反力p1,p2,…,pn-1分别取Pje-iωt,(j=1,2,…,n-1),考虑上支反力,且利用广义函数δ的定义和性质,方程(3)改写为

(6)

其中,广义函数δ(x-Lj)定义为

其中,式(6)中的Pj(j=1,2,…,n-1)是第j个铰支点处支反力的幅值。

(7)

(8)

因而

j=1,2,…,n-1;k=1,2,…,

将式(9)代入式(5)中有

(10)

r=1,2,…,n-1,

(11)

式(11)是关于Pj(j=1,2,…,n-1)的线性方程组,求得Pj(j=1,2,…,n-1)后,即可求得cjk(j=1,2,…,n-1;k=1,2,…)和ak(k=1,2,…),最后可确定出梁的挠度函数幅值W(x)。

此外,从式(6)容易看出,当载荷频率ω→0,即K→0时,它将退化为多跨梁的静态变形问题,且静态挠度w(0)(x)满足下列方程

(12)

为了说明文中方法的可行性,对于方程(12)的求解是采用文献[1]中的解除约束法完成的,并用于算例的验算。

2 算例与分析

算例1考虑只有一个中间铰支A1的情形,已知L1=3 m,L2=7 m。梁采用方管制作,方管截面外部宽高分别为b=0.21 m和h=0.41 m;内部宽高分别为b1=0.19 m和h1=0.39 m;方管材质杨氏模量为E=2.5×109N/m2;外载线分布密度为Q=260 N/m,方向向下;式(4)级数中的项数取N=100,计算精度取ε=10-5。外载荷频率ω为1,6,11,16 rad/s时计算结果如图3(a);载荷频率ω为10,20,30,40 rad/s时,计算结果如图3(b);载荷频率ω为100,200,300,400 rad/s时计算结果如图3(c)。为了说明本文方法的可行性,特别令外载荷频率ω很小,比如ω为0.01,0.06,0.11,0.16 rad/s时,动静挠度之差的计算结果如图4;当频率ω为100,200,300,400 rad/s时,动静挠度之差的计算结果如图3(c),梁的动力响应性质已很明显了。从图3(a)—(c)容易看出,梁在A0点、A1点和A2点挠度始终为零,满足边界条件;随着载荷频率ω的增加(比如图3(b)的ω≤40 rad/s),梁的挠度幅度逐步增加,但在外载频率较大时(比如图3(c)的ω≥100 rad/s),梁的挠度幅值响应不再具有明显的规律性。从图4(a)看出,当载荷频率很小(比如10-2量级),梁的动态响应已不明显,静态特性较为显著,这也说明了本文方法计算结果的正确性。从图4(b)看出,当载荷频率较大时(比如102量级),梁的动态响应已很明显,静动挠度之差较为显著。由于本例多跨梁结构支撑不对称,中间支撑偏于左端,故其静动态挠度响应也是不对称的;当外载荷频率较小时(比如10-2量级)挠度偏差在中间支撑处有较强波动,但波动幅度在10-9量级,说明原动态问题已经接近于静态问题,动力效应不明显,这也说明了本文方法的可行性。

图3 双跨梁的挠度响应幅值随载荷频率的变化Fig.3 Variations of the difference of the static and dynamic deflection amplitude of the double-span beam with different loading frequencies

图4 双跨梁的静动挠度响应幅值差随载荷频率的变化Fig.4 Variations of the difference of the static and dynamic deflection amplitude of the double-span beam with different loading frequencies

算例2考虑有3个中间支撑的铰支多跨梁情形,L1=3 m,L2=6 m,L3=9 m,L4=12 m,其他条件同算例1。当稳态扰动频率ω为1,6,11,16 rad/s时,计算结果如图5(a);扰动频率ω为10,20,30,40 rad/s时,计算结果如图5(b);扰动频率ω为100,200,300,400 rad/s时计算结果如图5(c)。当扰动频率ω为0.01,0.06,0.11,0.16 rad/s时,动静挠度幅值之差的计算结果如图6(a);扰动频率ω为100,200,300,400 rad/s时,动静挠度幅值之差的计算结果如图6(b)。从这些结果可以看出,由于结构对称、约束对称和受载对称,故多跨梁的挠度变形也是对称的。

图5 4跨梁的挠度响应幅值随载荷频率的变化Fig.5 Variations of the deflection amplitude of the four-span beam with different loading frequencies

图6 4跨梁的静动挠度响应幅值差随载荷频率的变化Fig.6 Variations of the difference of the static and dynamic deflection amplitude of the four-span beam withdifferent loading frequencies

从图6(a)看出,载荷频率较小时(比如10-2量级),梁的动静挠度幅值之差在10-9量级变化范围内,说明两者相差不大,可当作静力学问题处理;当然,本文方法和解除约束法的计算结果在梁的中间3个支撑处的波动较为强烈,但波动幅度都在10-9～10-8量级变化范围内,完全可以忽略。

从上述2个算例的实际计算过程来看,算例1是双跨梁,算例2是四跨梁,级数(4)中都取了N=100,但两者的计算收敛速度和精度几乎完全一样,这说明本文算法对于多跨梁中间支撑的数量是不敏感的;此外,改变分布载荷线密度的大小进行试算,本文算法仍然收敛,收敛情况同文中算例,这里不再列出。

3 结 论

从理论分析和数值算例结果看,有如下结论

(1)当载荷频率为10-2量级时,结构的静动态响应差别很小,基本上可以忽略;

(2)当载荷频率为101量级时,随着频率的增加,梁的挠度响应幅值也逐步增大;

(3)当载荷频率为102量级时,梁的挠度响应幅值的变化失去规律性;

(4)随着多跨梁中间支撑数量的增加,解除约束法的繁琐过程已很明显,而本文算法因为编程容易、易于电算且收敛速度快的特点在算例计算过程中已具优势;

(5)从本文理论分析看出,文中算法对于梁上作用的载荷种类和数量没有限制,其处理过程的简易性和统一性不受多大影响,但对于解除约束法来说,这种影响会非常明显。