随机时滞非线性系统的新噪声到状态稳定性

薛建秀,吕 文

(烟台大学数学与信息科学学院,山东 烟台 264005)

时滞不可避免地发生在许多机械、物理和生物系统中,这种现象往往是由通信系统和机械驱动系统等物理系统的固有特性引起的。时滞的存在会导致系统性能下降,甚至产生不稳定和振荡。时滞系统是指一类当前状态的变化率受过去状态影响的动力学系统。半个世纪以来,许多学者致力于研究控制理论和工程应用中的时滞系统[1]。

在工程中,许多受到来自外部环境的随机扰动影响的实际系统通常被建模为随机微分方程[2],其随机扰动是一个白噪声过程。虽然由这种方程所描述的随机非线性系统的分析方法成果丰硕,但在许多动态特性的分析中,如神经网络、机械振动等,白噪声并不是很有意义。因此,许多研究者转而使用平稳的随机过程来表示随机干扰,受这些随机干扰的系统被建模为随机非线性仿射系统[3]。从能量的观点来看,对于一些受到随机扰动的系统,随机非线性仿射系统可以看作是一种更为现实的描述。WU等[4]从物理和数学的角度系统分析了随机环境中的拉格朗日系统应该被建模为随机非线性仿射系统的原因。

系统稳定性是系统性能分析和综合的首要考虑因素,也一直是研究的热点。对于随机非线性系统,在WU[5]建立了随机非线性系统稳定性分析的新框架后,关于随机非线性系统的研究结果层出不穷[6-8]。然而在现有的文献中,大多数都没有考虑时滞对系统动力学行为的影响。最近,JIAO等[7]首次利用Lyapunov函数方法讨论了一类带有有限二阶矩的随机时滞非线性系统的噪声到状态稳定性。然而,由于时滞消失时,JIAO等人提出的稳定性的定义与文献[5]中给出的相关定义并不一致。另一方面,他们提出的稳定性准则都是在时滞的时间导数小于1的假设下得到的。在此基础上,YAO等[8]给出了随机时滞非线性系统的新噪声到状态稳定性的定义和标准,其中随机扰动的r(r>1)阶矩是有限的。这篇文章克服了文献[7]中所提到的缺点,可以视为现有文献中随机非线性系统的自然扩展。然而,在文献[8]的噪声到状态稳定性的判据中,关于Lyapunov泛函的时间导数需要是负定的。该约束条件较为保守,这也是本文的动机。

本文第1节介绍所用到的记号和基本概念，第2节利用UASF给出随机时滞非线性系统的解的存在唯一性定理，第3节分别给出了在m阶矩意义下和依概率意义下新的噪声到状态稳定性定理，最后对全文进行了总结。

1 预备知识

Ci表示所有具有连续i阶偏导数的函数集合。设τ>0,记C([-τ,0];n)表示所有连续函数φ：[-τ,0]→n所构成的空间,其范数定义为

‖φ‖=sup-τ≤θ≤0|φ(θ)|。

ψt0={ψ(t0+θ):-τ≤θ≤0}。

另外,W(t,x)∈C1,1([t0-τ,∞)×n;+)蕴含着函数W(t,x)在[t0-τ,∞)×n上对x和t都是C1的且W(t,x)≥0。

考虑随机时滞非线性系统

g(t,x(t-τ(t)),x(t))ξ(t),t≥t0,

(1)

(A1)ξ(t)∈m是一个Ft适应、分段连续的随机过程。它的r阶矩有限,即存在参数K>0,使得

supt0≤s≤tE|ξ(s)|r

定义1[8]称随机过程x(t)∈n是系统(1)在[t0-τ,T]上的一个解,如果

(i)x(t)是连续、Ft适应的;

(ii) 初始值xt0=φ=φ(θ),t0-τ≤θ≤t0;

(iii) 对任意的t0≤t≤T,有

下面给出一致渐近稳定函数(UASF)的定义以及它的一个重要引理。

|Z(t) |≤β(|Z0|,t-t0), ∀t≥t0,

则称这个实值分段连续函数μ(t)是一个UASF。

引理1[10]分段连续函数μ(t)∈是一个UASF当且仅当

其中，常数λ>0,δ≥0。

2 解的存在唯一性

本节运用UASF讨论系统(1)的解的存在唯一性。首先给出以下假设：

(A3) 存在一个常数d>0,使得

|f(t,0,0)|∨‖g(t,0,0)‖

定理1对于系统(1),假设存在常数c>0,函数N(x)∈C(n;+)和V(t,x)∈C1,1([t0,∞)×n;+),以及一个UASFμ1使得

(2)

N(x) ≤V(t,x)。

(3)

μ1(t)[N(x)+N(y)]。

(4)

证明对x,y∈n,以及任意的整数k≥1,定义

以及相应的截尾函数fk(t,y,x)=f(t,y[k],x[k])和gk(t,y,x)=g(t,y[k],x[k]),易见fk(t,y,x)和gk(t,y,x)都满足Lipschitz条件。结合文献[8]中引理1的证明过程,类似可得系统(1)在[t0-τ,ρ∞)上存在唯一解x(t)。

P{ρk≤T1}>ε, ∀k>k0。

(5)

Vxg(t,y,x)ξ(t)-2μ1(t)V(t,x)]≤

cr|ξ(t)|r-2μ1(t)V(t,x)]≤

cr|ξ(t)|r-2μ1(t)V(t,x)]≤

(6)

x(t∧ρk))-V(t0,x(t0))≤

即

(7)

进一步地,结合引理1,对式(7)两边取期望得

EV(t∧ρk,x(t∧ρk))≤

E[e-2λ1(t∧ρk-t0)+2δ1V(t0,x(t0))]+

e2δ1EV(t0,x(t0))+Hp(t-t0)。

(8)

其中Hp=e2δ1K·cr,λ1>0,δ1≥0。

令t=T1,得

EV(T1∧ρk,x(T1∧ρk))≤

e2δ1EV(t0,x(t0))+Hp(T1-t0)。

(9)

从而有

E[V(ρk,x(ρk))I{ρk≤T1}]≤

e2δ1EV(t0,x(t0))+Hp(T1-t0)。

(10)

σkε<σkP{ρk≤T1}≤

e2δ1EV(t0,x(t0))+Hp(T1-t0)。

令k→∞便得到矛盾,所以P{ρ∞=∞}=1,即系统(1)在[t0-τ,∞)上存在唯一解。

3 噪声到状态稳定性

本节考虑随机时滞非线性系统(1)的若干稳定性。

成立,其中常数m>0,‖φ‖=sup-τ≤t≤0|φ(t)|,则称系统(1)是m阶矩噪声到状态稳定的(NSS-m-M)。特别地,若

其中K>0,则称系统(1)的状态是m阶矩极限有界的(UB-m-M)。

成立,其中‖φ‖=sup-τ≤t≤0|φ(t)|,则称系统(1)是依概率噪声到状态稳定的(NSS-P)。特别地,若

其中K>0,则称系统(1)的状态是依概率极限有界的(UB-P)。

在给出本文的稳定性结果之前,先引入一个重要引理。

引理2[5]若y(t),h(t)和w(t)是定义在[t0,∞)上的连续函数,使得对∀t≥t0,满足

D+y(t)≤h(t)y(t)+w(t),

则

首先给出具有时变时滞的随机非线性系统(1)的m阶矩噪声到状态稳定性定理。

定理2对于系统(1),若存在正数m,c1,c2,c,一个UASFμ2(t)和一个泛函V(t,ψ)∈C1,1([t0,∞)×n;+),其中ψ∈C([-τ,0];n),使得

c1|ψ(0)|m≤V(t,ψ(0))≤

(11)

μ2(t)V(t,x(t))。

(12)

EV(t∧ζk,x(t∧ζk))≤

eδ2EV(t0,x(t0))+Hq(t-t0),

(13)

其中Hq=eδ2K·cr。下证ρ∞=∞,a.s。

P{ζk

eδ2EV(t0,x(t0))+Hq(t-t0)。

依次令k→∞,t→∞,则P{ζ∞<∞}=0,即ζ∞=∞,a.s。进而由ζk的定义可得ρ∞=∞,a.s。所以系统(1)在[t0-τ,∞)上存在唯一解。

另一方面,由式(12)和Young不等式得

μ2(t)V(t,x(t))+cr|ξ(t)|r。

(14)

EV(t+ε,x(t+ε))-EV(t,x(t))≤

(15)

两边同除以ε且令ε→0,得

D+[EV(t,x(t))]≤

μ2(t)EV(t,x(t))+crE|ξ(t)|r。

(16)

由引理2得

EV(t0,x(t0))e-λ2(t-t0)+δ2+

(17)

利用式(11)得

c1E|x(t)|m≤

(18)

即

E|x(t)|m≤

(19)

另外,由于supt0≤s≤tE|ξ(s)|r1,K>0),因此式(19)可转化为

(20)

对上式令t→∞,则

即系统(1)的状态是UB-m-M的。

下面给出系统(1)的依概率噪声到状态稳定性的新的充分条件。

定理3对于系统(1),若存在常数c>0,函数γ1∈K∞,γ2∈K∞,一个UASFμ3(t)和一个泛函V(t,ψ)∈C1,1([t0,∞)×n;+),其中ψ∈C([-τ,0];n),使得

γ1(|ψ(0)|)≤V(t,ψ(0))≤

(21)

μ3(t)V(t,x(t)),

(22)

证明采用与定理2相同的证明方法,可得系统(1)在[t0-τ,∞)上存在唯一解且

EV(t,x(t))≤EV(t0,x(t0))e-λ3(t-t0)+δ3+

(23)

由式(21)得

EV(t,x(t))≤γ2(E‖φ‖)e-λ3(t-t0)+δ3+

(24)

由马尔可夫不等式,式(21)以及(24),对∀ε>0,有

P{γ1(|x(t)|)≥

P{V(t,x(t))≥

(25)

即

(26)

(27)

即系统(1)是NSS-P的。

由式(27),有

进一步地,又由于supt0≤s≤tE|ξ(s)|r1,K>0),所以对∀t≥t0,

(28)

由此可知系统(1)的状态是UB-P的。

4 结束语

本文研究了一类带有变时滞的随机非线性系统,其中它的随机扰动的r阶矩是有限的。首先,利用UASF给出新的充分条件来保证该系统的解存在唯一性;然后在此基础上,再次利用UASF分别给出新的在m阶矩意义下和依概率意义下的噪声到状态稳定性和系统状态的极限有界性定理,所得结果放宽了现有的关于Lyapunov泛函V(t,x(t))的导数的限制条件。另外,在定理2中,若μ2(t)=-c3(c3>0),则定理2与文献[8]中的定理1是相一致的,所以本文的定理2可以看作是文献[8]中定理1的一种推广。在接下来的研究中,将考虑运用UASF给出该系统的噪声到状态不稳定性的判定定理。