浅谈等腰三角形中的分类讨论思想

唐国庆

摘要：初中数学阶段分类讨论思想渗透较广，等腰三角形中这一思想的运用也较多。本文中我首先介绍了分类讨论思想的一些基本情况，然后针对等腰三角形进行逐步展开。包括等腰三角形中分类讨论的几种基本题型;学生中存在的主要问题;解决问题的一些措施与方案。

关键字：等腰三角形    分类讨论

中图分类号：G4 文献标识码：A

一、数学中分类讨论思想的基本介绍：

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况一一进行分类讨论，分类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。解决分类讨论题的一般步骤是：（1）确定讨论的对象;（2）对讨论对象进行合理分类;（3）逐类讨论;（4）歸纳结论。分类讨论思想是数学中的重要思想方法，加强分类讨论思想的训练，有助于培养学生思想全面周密的良好习惯，有助于培养同学们思维的严密性和合理性，提高解题能力。初中教学中我发现分类讨论思想在很多方面有所涉及，包括绝对值，二次根式，方程求解的讨论，函数的图像与性质，不等式不等号的方向，三角形的相似讨论，等腰三角形的讨论，直角三角形的讨论，不确定图形的讨论，直线与圆的位置关系讨论，两圆的位置关系讨论等。在这里我主要对等腰三角形中分类讨论思想的运用进行简要的介绍和分析。

二、学生中主要存在的问题：

分类讨论问题对学生来说是一个难点，特别是一些带有隐蔽性的等腰三角形分类讨论题。对于一些简单的边角分类讨论题，比如已知一个内角为几度，一条边为多少的题目，绝大部分学生碰到这种题目都能知道要对边角进行分类讨论，原因主要是学生基本知道等腰三角形的边包括腰和底边，内角包括顶角和底角。但是当等腰三角形中添加了一条腰上的中线、高、中垂线等线段或直线时，很多学生容易忘记分类讨论，主要原因在于学生的思维灵活度较差，以及对等腰三角形的分类标准不明确，画图能力也比较差。

三、针对以上问题我主要采取了以下一些措施 ：

1、在平时的教学中不断加强分类讨论思想的训练。

作为数学教师，在平时的教学活动中，要针对学生逻辑思维能力比较差的实际情况，不失时机的对学生进行专项训练，让学生会用分类讨论思想解决相关问题。其实每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、地域的分类，气候的分类等，我们应该把生活中的分类迁移到数学中来，挖掘教学提供的机会，把学生的分类意识渗透进等腰三角形中。如一个内角为70°的等腰三角形其余两角是几度？此题需分两类讨论：（1）当顶角为70°时，其余两角为55°、55°;（2）当一个底角为70°时其余两角为70°、40°在这个过程中要让学生知道分类讨论的要求一是要准确，二是要全面，搞清楚分类标准，要尽可能地对问题作出全面的解答，使解答没有纰漏。

2、以学生为主体，让他们从自己的错误中吸取教训。

很多学生在解答数学问题时很容易出现该讨论而不讨论的情况，这主要是学生没有形成分类讨论的意识，要培养学生的分类讨论意识，事实上很难找到行之有效的独特方法，我通过几年的教学实践认为，在具体的教学过程中，解答等腰三角形中的分类讨论问题时，诱导学生产生疑问，激发探索的欲望，唤起学生的能动性，有利于打破思维定势，提高学生的全面分析问题的能力，比如等腰三角形由腰上的中线分成两部分，已知周长差和腰长（或底边长），求底边长（或腰长）对于已知两部分的周长差，但在不明确谁大谁小的情况下也必须分类讨论。如已知等腰三角形中，腰为10，一腰上的中线把此等腰三角形分成的两部分的周长差为5，求底边长是多少？当腰比底边长时，底为5;当腰比底边短时，底为15。故底边长为5或15。当然这里求出来的解应满足三角形三边关系定理和实际意义。

3、对学生中易错的题型，进行强化巩固训练和变式训练。

我们都知道，人都是健忘的。对于学生来说今天这个题目经过老师的分析讲解已经掌握了，但是过了几天再给他们作一个同样类型的题目的时候，相当一部分的学生又会犯以前相同的错误。对于等腰三角形的相关分类题很多学生知道要分类讨论，但又觉得无从下手，因此在平时的训练中，我尽量要求学生自己分析问题并解决问题，同时尽量全面的给出各种题型给学生提供足够的材料和时间，启发训练学生积极思维，相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。如已知等腰三角形中一腰上的垂直平分线与另一腰的夹角，求顶角（或底角）的度数。此类题型主要就是没有给出图形需要自己画图的等腰三角形分类讨论题，要通过画图分为锐角三角形和钝角三角形两类讨论。如在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的度数。这个题目需要先画图。然后分情况讨论（1）当交点在腰AC上时，ΔABC是锐角三角形，此时可求得∠A=50°，所以∠B=65°。（2）当交点在腰CA的延长线上时，ΔABC为钝角三有形，此时可求得∠BAC=130°，所以∠B=25°

在学生掌握等腰三角形的分类讨论问题后，当然也会对题目进行一些小变形，我认为这样除了使得学生加深记忆外，同时培养思维的广阔性和缜密性，提高学生独立解题的能力。通过这样的操作，不仅对一阶段的知识进行了复习，也对学生的薄弱点进行了强化巩固，同时又进行了适当的延伸与拓展，反映下来整体效果不错。

在初中阶段数学的教学中分类讨论思想方法的应用极为广泛，以上仅就等腰三角形中一些典型的分类讨论问题谈了一些自己的经历与想法。运用和掌握分类讨论的思想方法，能有效地克服我们的思维片面性，对于创新精神和创新能力的培养以及日后的学习、生活、工作都是大有裨益的。

参考文章

（1）运用分类讨论思想解等腰三角形问题  中学课程辅导 2006年10期陈德前（2）分类讨论思想在等腰三角形中的运用   数学中国

（3）三角形中的分类讨论思想   中学生数理化（初中版中考版）邓树斌

（4）谈初中数学的分类讨论   教育周刊   2008年01月09日   张彦峰

（5） 等腰三角形常见漏解剖析    初中生  2006年02期    曹洪