探析逆向思维在高中数列解题中的应用

张俊

摘要：逆向思维属于逆推法思维活动，是对正常思维序列的反向思考。在高中数列习题解答中，逆向思维的运用可以开阔解题思路，提升学生思维的发散性、敏锐性，从而提升学生数列解题能力与思维品质。基于对逆向思维的理解，文章以高中数列习题教学为研究焦点，结合实际教学经验、具体的数列问题从定义、公式逆向运用，数列与函数及不等式问题结合方面探究逆向思维在高中数列解题中的应用方法。

关键词：逆向思维;高中;数列解题;教学经驗

中图分类号：G4 文献标识码：A

数列是高中数学核心概念之一，也是数学知识内容的重要组成部分。但在面对数列问时，部分学生会出现无从下手的现象，即难以找到解题的切入点。教师注重在数列教学中渗透反证与逆推逆向思维方法，指导学生突破正向及常规思维序列的桎梏，在审题时能够主动联想到数列相关定义、公式及定理等，列出所需求证或求解的式子回溯题目逆向寻找可用的条件、补充缺失条件等，能够有效开阔学生解题思路、降低学生解题难度并提高学生解决数列问题的综合思维能力。

一、定义的逆向运用

例1：已知数列的前n项和（n为正整数）。令，求证是等差数列。

此题目较为简单，适用于初步提高学生逆向思维，可以使得逆向思维序列更加清晰。在讲解该数列习题前，给予学生充足时间进行思考与尝试，教师采取课堂巡视方法观察学生的解题思路与步骤[1]。在课堂巡视中会发现大部分基础薄弱的学生会采用由条件—结论的正向思维方法，解题效率较低且难以形成正向思路。此时教师指导学生回顾等差数列的定义，即每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列，转化为符号表征即为（d为常数）。由该定义反推出若为等差数列所需的条件，再结合题干内的已知条件：①;②。暗示从这两个式子入手，构造“当n≧2时的”，与式①作差得出，做恒等变化后，将是等差数列的证明逆推为（d为常数）的证明。

当解题完成后，指导学生回溯解题过程、解题结果与最后的结论，自主总结出逆向运用定义的数列问题解决策略。完成后呈示等比数列问题或上述问题的变式，促成学生解决此类问题时的举一反三。

二、公式的逆向运用

例2：已知数列通项公式为①，求解该数列的前n项和②。

此数列问题难度较小，学生可以利用常规方式，即错位相间求得数列的前n项和。为提升学生逆向思维品质，教师可以对上述例题进行变化，请学生对比数列通项公式及所求的前n项和，得出新式子③：。以该结论为已知条件，请学生逆向运用公式，思考增加哪些条件可以反向求出数列的通项公式。当学生提出“”这一条时，教师顺势请学生采用逆向思维自主解题。

因需求解数列通项公式，而式③中包含与两个量，数量较为复杂，所以需要借助公式，即对式③进行简化，得到只含有项的式子后再继续推导数列通项公式。

学生掌握公式的逆向运用方法后，对上述变式进行再次变化，引导学生直接由式③，借助后补充的条件推导的通项公式，解决该问题时需要将式③简化为全部含有项之和的式子。

在上述例题的讲解中，以常规性思维指导学生解答例题，当学生通过例题解答掌握或强化巩固数列相关概念与公式后，教师可以引导学生从求解的结论开始进行逆向推导，思考如何补充条件推导出原题目之中的条件，如何将复杂的含有多个数量关系的式子简化为只含有项或项之和的式子，最后推导出所求，在解题中学生综合运用了逆推思维、恒等变化、转化及划归思想，实现了由知识技能向数学思想方法的转变，有助于进一步提升学生数列解题能力[2]。

三、与不等式及函数结合的数列问题中的逆向思维

高考试题内的数列问题，通常与函数、不等式等知识融合，对学生知识迁移应用能力、思维品质等提出了更高的要求 。当学生以常规思维难以求解时，教师要有意识地引导学生利用逆向思维进行解题。

例3：已知数列，，数列满足。

（1）若，求数列的前2n项和。

（2）若数列为等差数列，且对任意n，恒成立。

①当数列为等差数列时，求证：数列，的公差相等;

②数列能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列;若不能，请说明理由。

上述问题（1）难度较小，常规思维即可解决。在解答问题（2）①时，学生往往无从下手，教师可以引导学生采用反证法，即假设数列，的公差分别为，，证明<时是否可满足条件恒成立，若不能则一定为≧，以相同方法反证>，即可得出。问题③的解决同样采用逆向思维，即假设可以为等比数列，反推是否满足已知条件要求。

结束语

逆向思维在高中数列解题中的应用可开拓解题思路，提升解题能力。为此，教师需精选例题进行专项训练，逐步提升学生数学思维品质。

参考文献

[1]严敏娟.小议高中数学数列问题的解题方法与技巧[J].文理导航（中旬），2021（10）：6-7.

[2]李峰.高中数学数列试题解题技巧探索[J].试题与研究，2021（23）：33-34.