数学教学中提取“大概念”的策略与路径

● 江苏省南通市海安市南莫镇中心小学 刘海明

所谓“大概念”，就是指“在一组概念群中或在一组事实中发挥着核心作用的概念”。在一个单元之中。“大概念”往往居于上位、中心、深层的位置，发挥着指导性、迁移性的作用。“大概念”之“大”，不是指“广延”意义上的“大”，而是指“具有广泛迁移性、普适性、基础性、核心性的意义和作用”。“大概念”从广义上说，既包括学科大概念，也包括跨学科大概念；从狭义上说，就是指学科大概念。相比较于一般概念，“大概念”更高端、更具有一种指导性、引领性、驱动性的品质。在小学数学教学中，教师要善于从相关知识中提炼“大概念”，从而促进学生数学学习的高路迁移，进而让学生深度理解数学知识。本文所探讨的“大概念”提取，是立足于学科特质的，是在狭义上展开的。

一、挂靠式提取：探寻任务主旨

数学知识是相互关联着的，而“大概念”往往位于知识的核心位置，体现着数学知识的本质，蕴含着数学知识的基本思想方法，反映着数学知识的结构和脉络等。作为教师，要善于找寻相关知识的“链接点”，并能对之进行抽象、提炼，从而形成“大概念”。这样的一种“大概念”的提取方式，笔者称之为“挂靠式提取”。通过“挂靠式提取”，其他相关知识都能以这样一个“大概念”为挂靠，从而形成一个稳固的挂靠结构。

以《平行四边形的面积》（苏教版五年级上册） 一课的内容教学为例， 《平行四边形的面积》属于“多边形的面积”的第一课时内容，具有“种子课”的课程性质，有奠基性的意义和价值。在设计 《平行四边形的面积》一课的具体任务时，教师不仅仅要着眼于“这一节课”的内容，更要着眼于“这一单元”的内容，要让问题、任务等具有一种普适性的思考、探究意义。只有着眼于单元整体，课时教学才具有整体性价值。显然，着眼于《多边形的面积》设计教学任务，应当将“转化”这一数学思想方法作为“大概念”。过去，很多教师在教学这一部分内容时，往往将“转化”这一思想隐藏起来，用一种类似于春风化雨、润物无声、潜移默化的，所谓“濡染”的方式，去促进学生感悟。这种教学方式未尝不可。但着眼于单元整体，笔者更倾向于、更提倡“化隐为显”，即要让学生形成清晰的“转化”意识，用一种清晰的“转化”思想方法去认知、思考、探究，进而提升学生的“转化”能力。为此，笔者在教学中设计了这样几个问题和任务：平行四边形的面积可以转化成什么图形的面积？怎样进行转化？为什么要这样进行转化？转化时要注意什么？这样的问题链、任务链，凸显了问题的主旨、任务的主旨，即将一个陌生的图形的面积转化成熟悉的图形的面积，将一个未知的图形的面积转化成已知的图形的面积。

挂靠式的提取，是对一类数学知识“画龙点睛式”的提取。借助于问题驱动、任务驱动中的相关的“大概念”的提取，能有效地促进学生认识、理解、把握“学什么”“怎样学”“为什么这样学”等问题。通过挂靠式提取出的“大概念”犹如一只“牛鼻子”，牵住这个牛鼻子，学生的数学学习就能游刃有余。

二、融合式提取：探寻共同结构

“融合式提取”是“大概念”提取的重要方式。在小学数学教学中，许多看似不相关联的知识，其本质却是相同的。为此，教师在教学中可以将相关的概念集中在一起进行深度研究，从中提炼出具有深层内涵的“大概念”。相比较于一般性的概念，“大概念”的包摄性更强、适应性更广。

一般来说，“融合式提取”有两种方式：其一是从诸多概念中直接提炼出具有终极意义和价值的“大概念”；其二是从诸多概念中提炼出一个包摄性更强、更广、更大的“大概念”，这个“大概念”不具有终极的性质，但却比原来的概念更大、更广、更强，在后续的学习中将还有更大的概念来统摄这样的一个概念。换言之，“融合式提取”的概念既有相对性的“大概念”，也有绝对性的“大概念”。

比如，在教学《认识厘米》《角的度量》等相关内容时，教师已经认识到了要让学生经历数学知识的诞生、形成、发生、发展的过程，因而都进行着这样的一些设计，让学生创造“厘米尺”、创造“量角器”等。当学生经历了这样的创造之后，不仅能认识“厘米”、认识“角”，能用厘米尺测量物体的长度、图形的边的长度，用量角器测量角的大小等，而且还能认识到测量厘米、角的度量的本质，即都是用一个“单位”去衡量一个对象，看这个对象之中包含有多少个这样的“单位” 。这里，通过对诸多内容的学习，教师可以引导学生“融合式提取”出“包含除”的大概念。有了这样的一个“大概念”，学生就能对相关内容进行自主性、自能性的学习。如“长方形的面积就是看该长方形中能包含有多少个面积单位”“长方体的体积就是看该长方体中包含有多少个体积单位”“质量的测量就是看该物体中包含有多少个质量单位”等。至此，学生就会理解贯穿于整个的“量与计量”这一部分内容学习始终的一个“大概念”——“包含除”。这样的一种认知，是一种“高观点”的认知，所提炼、形成的概念，就是这一部分内容的“大概念”。一旦学生认识并且掌握了“大概念”，在数学学习中就能达到举一反三、触类旁通的效果。

“融合式提取”大概念，关键是要求教师能引导学生寻找一类知识的共同的本质、结构、属性等。正如瑞士著名教育心理学家皮亚杰所说的那样，“一切的知识都是按照结构的建构来展开的，这种结构的建构是完全开放性的…… 通过不断对结构的建构，形成更强的结构，或者说是用更强的结构来予以结构化”。

三、溯源式提取：探寻知识本源

在数学教学中，还有一种抽象提炼数学“大概念”的路径、方法、策略，就是“溯源式提取”。所谓“溯源式提取”，就是从知识的终端开始，往前追溯知识的本源。一般来说，知识的本源往往能发现知识所蕴含的大思想、高观点，从而便于教师提取“大概念”。在通常情况下，“溯源式提取”有两种方式：其一是返回生活的本源、经验的本源；其二是返回最原初的知识。

比如，教学《分数的初步认识》《小数的初步认识》《负数的初步认识》等相关内容时，教师就可以从“数的诞生”的源头来引导学生认识，并帮助学生提取“大概念”。如在教学《小数的初步认识》这一部分内容时，笔者采用一种“发生时教学法”，即让学生用没有刻度的米尺测量物体的长度，在测量的过程中，引导学生发现，有些物体的长度用米尺测量正好，有些物体的长度用米尺测量会出现不够或多余的情况。这样的“不够”或“多余”，会激发学生的认知冲突，催生学生产生将“米”进一步“平均分”的数学猜想，教师进而引导学生操作实践，认识“0.1米”。在引导学生初步认识小数、会读写小数之后，笔者将“数轴”“十进制计数法”等相关内容引入其中，并引导学生比较整数、小数。通过比较，让学生认识到“整数”和“小数”的生活源头、构成结构等内容的一致性。即“整数和小数，在数轴上都是向右不断地增大，向左不断地减小，满足‘十进制计数法’”。通过溯源式教学，学生深刻感悟到，小数的产生与整数的产生的内在道理是相同的，进而形成“数源于数”“量源于量”的高位认知。这样的一种高位认知，应当就是学生在学习“数”这一部分内容时，所形成的“大概念”。有了这样的“大概念”，学生就能理解整数、小数、分数乃至于正数、负数等的数的本质。

“溯源式提取”是一种向下的追溯，是一种向着本源、原点、原初等的追溯。通过这样的追溯，不仅能让学生认识到数学知识的“源”与“流”，更能让学生提取相关的数学核心概念、关键概念，进而抽象提炼成“大概念”。回溯本源，可以从知识上回溯，也可以从方法上回溯、从思想上回溯等。通过溯源，能够引导学生大胆突破单元局限，突破单元框架，让学生站在“大概念”上俯瞰知识整体。

四、贯通式提取：探寻对应素养

“贯通式提取”是一种和“溯源式提取”相反的路径、方式和方法。“溯源式提取”是追溯知识本源、发端的一种提取方式，而“贯通式提取”则是学生在学习了诸多数学知识之后（通常是同类知识具有一定的类的属性的知识），从中提炼出某一方面的共同属性。“贯通式提取”能有效地发展学生的“同中辨异”和“异中求同”的本领，能让学生生成一种辨别异同的本领。

“贯通式提取”的路径通常是这样的：从事实到观点再到大概念、大观念。“贯通式提取”，可以让学生的数学认知逐渐明晰、明朗。“贯通式提取”通常采用一种“揭示”的方式，即从诸多同类知识中揭示出该类知识的相同属性，即该类知识在某一方面的本质。在数学教学中，有时候，学生总是喜欢教师归纳出一类知识的所谓的“通则通法”，这种“通则通法”说到底就是“大概念”。但这种“大概念”往往隐藏在数学知识之中，并且是贯穿于数学知识之中的，是隐性的、隐蔽的，需要教师将之敞亮、澄明，需要“揭示”。比如，教学《异分母分数加减法》 （苏教版五年级下册），在引导学生通过“通分法”“化小数法”“画图法”等探究异分母分数加减法的法则之后，教师有必要将“整数加减法”“小数加减法”等不同形态的知识引入其中，并让学生对这些不同形态但同类的知识进行比较。通过比较，揭示“整数加减法”“小数加减法”“分数加减法”背后的“一致性算理”，即“只有计数单位相同，才能直接相加减”。其中，“计数单位相同”就是“大概念”。通过这样的揭示，一方面，让学生认识“计数单位”，包括“整数的计数单位”“小数的计数单位”“分数单位”“百分数单位”等等；另一方面，让学生认识到“直接加减的充要条件”。

从相关的数学知识提炼出“贯通式”的大概念，有助于学生俯瞰知识整体，洞悉数学知识的结构、关联等。在小学数学教学中，教师提炼、抽取“大概念”，有助于学生突破传统的围绕知识链而展开的线性学习，进而形成以“大概念”为节点的块状、散状等多种全方位、立体式的学习模式。

“大概念”是学生数学学习的重要“锚点”。基于“大概念”的数学教学，具有层次性、结构性、系统性、整体性等特性。进行提取“大概念”的数学教学，有助于学生的数学认知从低阶向高阶跃迁，有助于学生形成一种“专家思维”，这是核心素养导向下的数学学科育人的根本价值追求！