看八省联考卷 解锁导数压轴

曹凤山

函数与导数问题往往因为难度太大而让人吐槽，又因为解法灵活背景深刻而魅力十足，更由于价值高而让人既爱又恨难以割舍.这类问题高考将会如何考，如何备考、求解是大家比较关心的问题之一.

八省联考，相信各位同学都“亲自”参与.这次超大规模的联考，你发挥得怎样呢？压轴题拿了多少分？

新题速递（2021·八省联考卷）已知函数f(x)=ex-sinx-cosx，g(x)=ex+sinx+cosx.

（1）证明：当x＞-时，f(x)≥0；

（2）若g(x)≥2+ax，求a.

分析对于（1），有些同学“习惯性动作”直接求导：f′(x)=ex-cosx+sinx，发现f′(x)=0 没有办法求出零点，也不能判定导函数的符号，要求出函数f(x)的最小值简直天方夜谭.宣布这是一道难题，与自己无缘！

实际上，观察函数f(x)=ex-sinx-cosx的结构，含有指数函数ex，三角函数sinx，cosx（而且熟悉sinx+cosx=根据这两个函数的性质，①x≥时，即x≥时f(x)≥0一定成立，只要证明在上f(x)≥0.

看到这些函数能想到什么？

指数函数ex单调递增，特值点（0，1），正弦、余弦函数的有界性、周期性.

（当然，这里的范围大一些也没有关系，如x≥1 时ex≥e＞2≥sinx+cosx，f(x)≥0更明显成立，也不用再合一变形）

不能全部解决也不放弃局部解决！

虽然研究范围压缩了，求最值的思路还是同样不能实现.

再审读问题，本题是证明！不是求最小值问题.从证明视角出发，可以对待证明的形式ex-sinx-cosx≥0加以分析.联想解题经验，为了求导后不再含有指数函数ex，可以适当变形.

敲黑板

前面不能求零点的根本原因在于含有指数函数ex.

令p(x)=，，由p′(x)==0得到x=0，即函数p(x)在上单调递增，在上单调递减，所以p(x)≤p(0)=1.

抽丝剥茧，分而治之，步步为营终得解.

综合①②③，有f(x)≥0.

（2）若g(x)≥2+ax，即h(x)=ex+sinx+cosx-2-ax≥0，由于h′(x)=ex-sinx+cosx-a含有参数，更难以确定零点、单调性等.

不少同学喜欢分离参数，尝试一下肯定无功而返，游走于“解题套路”很难解决这些不按模式命制的试题.

注意观察函数特点，有h(0)=0，又函数h(x)的图象是连续曲线，h(x)≥0，

所以x=0 应该是函数h(x)的极小值点.

由h′(x)=ex+cosx-sinx-a，得h′ (0)=2-a=0，所以a=2.

下面再证明充分性.

当a=2 时，h(x)=ex+sinx+cosx-2-2x，h′(x)=ex+cosx-sinx-2，

观察导函数的特征，与函数f(x)极其类似，再求导，h′′(x)=ex-cosx-sinx.

又因为h′(0)=0，所以函数h(x)在上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，故当x＞-时，h(x)≥h(0)=0.

而当x≤-时，所以h(x)=ex+sinx+cosx-2-2x≥0成立.

得证.

从以上求解过程分析我们可以发现，对于函数与导数解答题：

1.试题以核心知识为主线，基础知识必须掌握牢固.

压轴题突出函数的主线，重点知识重点考，如本题中要充分利用指数函数ex，三角函数sinx，cosx的性质，极小值的概念，导数与函数性质的关系等.基础不牢地动山摇，备考与解题过程中要时时注意“回归数学原点”.

2.函数与导数问题具有综合性.

既有知识、技能的综合考查，如本题综合考查指数函数、三角函数的图象与性质、导数有关知识等，更注意数学思想方法的考查，如转化与化归思想、函数思想、数形结合思想等，对运算及逻辑推理要求也较高.

3.函数与导数问题核心在于研究、利用函数性质.

函数是中学数学的一条主线，函数思想是第一位的，导数只是研究函数性质的工具，不能滥用求导，不能喧宾夺主.试题求解的灵活性在于，研究的函数对象不一定是直接给定的形式，要根据课本学习过的函数模型、依据解题基本经验，通过模式识别等合理选择函数形式，或者采取移项、乘、除、乘方、开方等手段改变研究对象的形式.

4.认识导数工具的优势与特点.

导数是研究函数性质的工具，但是也要认识到这一工具的优势：可以研究较为复杂的函数，可以研究函数的局部性质（直白点就是处理一些特殊点（附近）的性质），这类问题一般会有一些比较特殊的位置，要格外认真观察，充分利用，如本题中的x=0，在2020 全国高考试卷中，山东卷、全国一卷最后一题都是同样的特点.

5.从题型结构出发解题.

这类解答题不少是“阶梯性问题”，即第一步是后续解题的台阶，利用前面的结果就可以拾阶而上，而不是每一小问都重起炉灶，如本题在解决（2）的过程中要充分利用（1）的结果.

同时，对于压轴问题求解，不能期望一蹴而就，还要有信心、有毅力、有耐心.要注意考试策略的灵活运用，考场最实惠的策略是多拿分，对于压轴题可以缺步解答、跳步解答、部分解答等等，如本题（1）通过函数性质分析已经可以解决大部分问题，在（1）的结论基础上，（2）也可以解决一部分等等.