数列应用题、创新题

一、单项选择题

1.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）

A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏

2.（2020·湖北荆门高三模拟）斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列{an}定义如下：a1=a2=1，an=an-1+an-2（n≥3，n∈N），随着n的增大，越来越逼近黄金分割，故此数列也称黄金分割数列，而宽与长的比符合黄金比的长方形称为“最美长方形”.已知某“最美长方形”的面积约为200平方厘米，则该长方形的长大约是（ ）

A.20厘米 B.19厘米

C.18厘米 D.17厘米

3.设有穷数列{an}的前n项和为Sn，令称Tn为数列a1，a2，…，an的“凯森和”，已知数列a1，a2，…，a2020的“凯森和”为4042，那么数列-1，a1，a2，…，a2020的“凯森和”为（ ）

A.4036 B.4037

C.4038 D.4039

4.（2020·全国Ⅱ卷）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ）

（第4题）

A.3699块 B.3474块

C.3402块 D.3339块

5.0—1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1，a2，…，an，…满足ai∈{0，1}（i=1，2，…），且存在正整数m，使得ai+m=ai（i=1，2，…）成立，则称其为0-1周期序列，并称满足ai+m=ai（i=1，2，…）的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0—1 序列a1，a2，…，an，…，C（k）=是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0—1序列中，满足C（k）≤（k=1，2，3，4）的序列是（ ）

A.11010… B.11011…

C.10001… D.11001…

二、多项选择题

6.对于数列{an}，若存在数列{bn}满足则称数列{bn}是{an}的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ）

A.若数列{an}是单调递增数列，则其“倒差数列”不一定是单调递增数列

B.若an=3n-1，则其“倒差数列”有最大值

C.若an=3n-1，则其“倒差数列”有最小值

D.若an=1-则其“倒差数列”有最大值

7.将n2个数排成n行n列的一个数阵，如图.该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m＞0）.已知a11=2，a13=a61+1，记这n2个数的和为S.下列结论正确的有（ ）

（第7题）

A.m=3

B.aij=（3i-1）×3j

D.S=n（3n+1）（3n-1）

三、填空题

8.（2020·山西高三月考）无穷数列=aq+1，则称{an}为“和谐递进数列”.若{an}满足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1{an}为“和谐递进数列”，Sn为其前n项和，且a1=1，a2=2，a4=1，a6+a8=6，则S2021=________.

9.（2019·清华附中高三月考）对于各数互不相等的整数数组（i1，i2，…，in）（其中n是不小于3的正整数），若∀p，q∈{1，2，…，n}，当p＜q时，有ip＞iq，则称ip，iq为该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组（2，3，1）的逆序数等于2.

（1）数组（5，2，4，3，1）的逆序数等于________.

（2）若数组（i1，i2，…，in）的逆序数为n，则数组（in，in-1，…，i1）的逆序数为________.

四、解答题

10.（2021·湖南株洲高三一模）由整数构成的等差数列{an}满足a3=5，a1a2=2a4.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}的通项公式为bn=2n，将数列{an}，{bn}的所有项按照“当n为奇数时，bn放在前面；当n为偶数时，an放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{cn}：b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…，求数列{cn}的前4n+3项和T4n+3.

11.（2020·上海徐汇区模拟）对于数列{an}，设数列{an}的前n项和为Sn，若存在正整数k，使得恰好为数列{an}的一项，则称数列{an}为“P（k）数列”.

（1）已知数列1，2，3，x为“P（2）数列”，求实数x的值；

（2）已知数列{an} 的通项公式为an=试问数列{an}是否是“P（k）数列”？ 若是，求出所有满足条件的正整数k；若不是，请说明理由.