由一道2021年高考模考压轴题引发的研究——关于双曲线的一类离心率问题

李昌成

(新疆乌鲁木齐市第八中学 830002)

一、题目呈现

二、总体分析

本题是新高考一模试卷中多选题的压轴题，着重考查双曲线的几何性质和离心率.该试题新颖而又有创造性，解法更是多样化.教师在平时的课堂教学中，要引导学生理解由离心率的变化带来的双曲线的变化，在解题过程中选择正确的方法，这样才能够快速准确地求出双曲线的离心率.

王尚志教授曾提出开展主题教学的主张——教师应以“章”或数学中的重要主题或选择通性通法作为学习主题，防止学习内容的“碎片化”，使学习过程具有全局观念下的连贯性，在主题学习活动中提高学生的数学核心素养.

笔者试着遵循以上的求解思路和学习主张，由具体推及一般，找到解决此类问题的通性通法，以期达到抛砖引玉之功效.

三、试题解答

解法1 利用平面解析几何知识结合双曲线的性质推理求解.

设∠AOF2=α，则∠AOB=2α.

解法2利用向量条件中所含的几何关系和代数关系，借助直线的方程推理运算求解.

设∠AOF2=α，则∠AOB=π-2α.

综合以上两种情况，本题正确选项为AB.

评析解法1本质上是几何法，以垂直为切入点，又因为两条渐近线关于x轴对称，所以存在二倍角关系，将这些要素结合起来，建立双曲线中基本量之间的关系式，从而顺利求解；而解法2则是联立直线方程，求出A，B两点的横坐标，再结合两向量间的关系求解，思路自然，解题过程并不复杂.在平时的解题教学中，教师要有意识地启发、引导学生从不同的角度进行思考，同时鼓励大家尝试不同的解题思路和方法，逐步提高学生的思维能力和运算能力.

四、一般推广

解析此处不明确点F2是内比分点还是外比分点，因此需要分两种情况讨论.

以下重点结合解法1求解，得出一般结论.

设∠AOF2=α，则∠AOB=2α.

五、解题反思

本文是专门探讨一类求解双曲线的离心率的经典题型，即经过双曲线的一个焦点的直线与其中一条渐近线垂直，与另一条渐近线相交，在明确长度关系的条件下，求离心率的问题.求解方案通常有两类：一类是综合几何法，以直观想象为基础，以曲线的定义及几何性质为抓手推理运算求解；另一类是解析几何法，以数学运算为基础，依托曲线的方程为切入点，通过运算推理求解.直观想象素养为第一方案的思路产生提供了保障，而数学运算素养为第二类方案的思路产生提供了支撑.同时逻辑推理素养是两种方案中不可缺少的共同基础.

通过研究近几年的考题，发现题目中基本没有给出图形，因此这就需要解题者结合题意，快速准确地画出图形，并从中找出几何关系，再转化为数量关系求解.有时也可以借助几何直观助力思考，从而不断提高解题者的直观想象能力和逻辑推理能力.同时还可以借助向量、三角函数等知识简化运算，培养学生的解题能力和思维能力.基于新课程改革的要求，如何在解题教学中落实学生的核心素养，是每一位教育工作者需要深入思考的问题.在教学中注重数形结合的思想，方程的思想，在对圆锥曲线等解析几何问题的解答过程中，需要将几何问题代数化，培养学生的数学应用意识，切实将数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养落到实处.