圆锥曲线综合题的解题分析与优化运算

胡贵平

(甘肃省白银市第一中学 730900)

圆锥曲线综合题涉及知识点多，对逻辑推理和数学运算的数学核心素养要求较高，许多学生对含参代数式的运算缺乏预判，盲目机械地运算，算理存在理解上的偏差.如何从题目中的一些已知条件突破，将结论进行相应的转化，寻找到最简便的解题思路和技巧呢？

一、强化逻辑推理

充分理解圆锥曲线图形性质的基础上，从揭示几何规律入手，以几何推理为基础，借助几何直观，建立条件与结论之间可操作的算法，形成解题的思维路线图，通过数值的合理运算探寻到量的关系，从而突破求解.

1.从结论着手，执果索因

探索结论成立所满足的条件，即结论成立意味着什么，通过等价转化，还可以得出什么，结论与条件之间又有怎样的联系，转变为寻求变量之间的关系，通过逻辑推理找到问题的切入点，把结论和已知条件逐步接近.

(1)求m的值；

分析(1)m=8；

图1

2.从条件出发，由因导果

准确把握条件中的信息，即条件意味着什么，这些条件通过等价转化，还可以得出什么，几个条件之间又有怎样的联系，多角度地用代数运算刻画几何关系，通过逻辑推理有效提炼整合解题信息.

圆锥曲线综合题解题思路的构建，一定要引导学生分析不同表征形式的特点和它们之间的联系，将条件或结论中的几何特征(线段长度、面积、角、斜率)转化成代数形式，而转化需要全方位、多角度地理解相关知识，更需要强化逻辑推理，提高一类问题的可辨别性和稳定性.

几何特征转化为代数关系，具体来说转化为坐标表达，直线AB与曲线相交于两点，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，以AB为直径的圆过原点，等价于OA⊥OB，坐标表示为x1x2+y1y2=0；遇到A，B，M三点共线，等价于kMA=kMB；共线线段比例问题，通过向量坐标表示出共线成比例的关系，找到参量的关系式；共线线段乘积问题，利用弦长公式或直线参数方程中参数的几何意义；遇到三角形面积的计算，高用点到直线的距离公式表示，底用弦长公式表示，尽量将底选在坐标轴或与坐标轴平行的直线上；四边形面积的计算，可分割成两个三角形,特殊的四边形，如对角线互相垂直或菱形，可以转化成对角线乘积的一半，再用弦长公式.积累常见几何特征代数化方法，无疑可化解入手难的障碍.

二、优化数学运算

学生对运算能力的重要性认识不够，遇到计算复杂的问题，心理脆弱，不敢算、也不愿意去算，选取的方法不得当，会导致计算过程复杂，数学运算一定要明确算什么，怎么算，掌握一些计算技巧，培养学生探究问题的能力.

1.数形结合，优化数学运算

解析几何的基本思想是用代数的方法研究几何问题，但是解析几何归根结底解决的是几何问题，借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系，把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，不但可以拓宽解题思路，而且还能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程.

图2

圆锥曲线的定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础,而且也是解题的重要工具,可以使复杂的问题简单化，提高解题效率.

3.二级结论，优化数学运算

总之，“一带一路”沿线涉及的相关国际标准组织、区域标准组织和国家相关部门越来越重视标准化工作，近年来开展的标准化工作逐渐增多，标准更新越来越频繁，标准机构越来越多且他们之间的分工也越来越明确，合作越来越深入，标准涉益方遍及各个相关领域，标准已成为沿线国家和地区基础设施建设的根本支撑。

圆锥曲线的二级结论很多，灵活运用一些简单的结论，如圆锥曲线中的垂径定理，抛物线焦点弦的性质等，一方面可以提高分析推理能力, 另一方面可以减少运算步骤，使解题思路简明，更加合理化.

例5 (2014年全国新课标Ⅱ卷理)设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过点F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则ΔOAB的面积为( ).

4.平面几何，优化数学运算

解析几何的本质特性是“几何性”，要善于捕捉曲线的几何特征，灵活应用平面几何的性质,如三角形的中位线性质、内角平分线定理、等腰三角形的判定和性质、圆的有关定理等，不仅能简化运算，还能充分感受到平面几何的魅力，收到事半功倍的效果.

图3

图4

5.点乘双根，优化数学运算

(1)求直线AB的斜率；

(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.

所以直线AB的方程为y=x+7.

许多学生解决圆锥曲线综合问题信心不足，其中很重要的原因是对问题无从着手，对繁杂的计算恐惧，几何特征转化为代数关系，是坐标法实施的关键，应成为圆锥曲线学习必备的解题经验.课堂教学中普遍重视解题策略的寻找，轻视计算的做法要改变，计算的重要环节必须得到充分训练，让学生的思维品质和数学运算素养得到相应提升，实现圆锥曲线综合问题的有效突破.