一道联考题的解法探究与纵、横向拓展

张海泉

(江苏省兴化中学 225700)

本文先对2021年泰州三市三区高二数学期末统考一道试题的解法作些探究，再将试题进行纵向、横向推广与延拓，形成一般问题的解题思路,以期达到举一反三、触类旁通的教学效果.

一、试题呈现

二、解法探究

三、解后反思

本题是一道圆锥曲线中的定值问题，题目设计入口较宽，学生容易想到联立直线与双曲线方程求出两直线交点，转化为非对称的韦达定理形式求解.因题目设计的直线过焦点，所得交点P恰好在双曲线的准线上.很好地展示了双曲线的一个完美特殊性质.故学生易产生疑问：如果直线不过焦点是否也有类似的性质呢？

四、猜想探索

五、归纳模型

基于学生的这种发现，于是试着从一般形式探索：

由表可见：1) 整体来看，No3轴承受力最大，No5轴承受力最小；2) 软件计算结果与实测值相差很小，最大误差仅3.2%，表明程序采用的力学计算模型合理，计算结果可靠。

六、拓展延伸

七、纵向探究

所以D,N,C三点共线，即CD直线过定点N(n，0).

八、横向探究

由于椭圆和双曲线有统一定义，因此本题探究过程可以类比到椭圆中.通过本题可以扩展出椭圆中的一般结论.

给学生一杯水，教师要有一桶水，一桶新鲜活水.讲授一道题，教师不能向学生一样仅仅满足于会解题，还需要考虑如何高效解题，注重通式通法，拓展探究、挖掘试题的内涵和外延，找到试题的源头、研究出一类题的解题规律，形成一种思维上的升华和命题模板，达到放得开，收得拢的自如境界.