通过直观理解导数概念感悟极限思想运用导数研究函数性质解决实际问题

章建跃

(人民教育出版社课程教材研究所 100081)

在数学中，为了描述现实世界中的运动、变化现象引入了函数.刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念.在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑.

众所周知，微积分的创立与处理四类科学问题直接相关.一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等.几百年中，科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分.

导数是微积分的核心内容，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想.导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具.

1 课程定位

本单元将帮助学生通过丰富的实际背景理解导数的概念，掌握导数的基本运算，运用导数研究函数的性质，并解决一些实际问题.本单元内容包括导数概念及其意义，导数运算，导数在研究函数中的应用，微积分的创立与发展.

分析课程标准的上述表述，可以得出如下认识：

第一，微积分是现代数学的基础，正如丘成桐所说：归根结底，一切高级的数学都是微积分和线性代数的各种变化.而导数又是微积分的核心概念，蕴含着微积分的基本思想，所以导数的学习非常重要.

数学家的智慧表现在：构造一个过程——从“平均变化率”到“瞬时变化率”，引入一个概念——导数，从而不仅使一个“难以描述的问题”得到了准确的数学表达，而且以此为根基建立了整个微积分的大厦.这就是思想！因此，想方设法使学生经历“从平均变化率到瞬时变化率”这个过程，进而理解导数概念的精神实质，就成为本单元的核心.

2 内容与要求

1.导数的概念及其意义

(1)通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.

(2)体会极限思想.

(3)通过函数图象直观理解导数的几何意义.

2.导数运算

(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数.

(3)会使用导数公式表.

3.导数在研究函数中的应用

(1)结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.

(2)借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.

4.*微积分的创立与发展

收集、阅读对微积分的创立和发展起重大作用的有关资料，包括一些重要历史人物(牛顿、莱布尼茨、柯西、魏尔斯特拉斯等)和事件，采取独立完成或者小组合作的方式，完成一篇有关微积分创立与发展的研究报告.

由课程标准的上述内容和要求可知：

第一，高中阶段并不要求学生用严格的极限理论研究导数，而是通过具体实例、用直观感受的方法了解“瞬时变化率”的刻画方法.所以，本单元的教材和教学要充分利用斜率、增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等现实背景问题，引导学生通过具体实例建立理解导数概念的直观基础.

第二，平均变化率是学生熟悉的，而且比较直观，从平均变化率到瞬时变化率的过程，是一个从量变到质变的过程，反映了导数刻画瞬时变化率的本质，其核心思想是极限的思想，这个过程需要学生的想象力和辩证思维，对学生的理性思维要求很高，需要通过各种手段(特别是几何直观)帮助学生理解.

第三，从定义出发推导5个幂函数的导数，主要是通过代数变形消除分母中的Δx；在给出基本初等函数的导数公式、得出导数的四则运算法则以及复合函数求导法则后，就可以求出其他函数的导数.

第四，在高中阶段研究与导数有关的问题中，涉及的函数都是可导函数，这样有利于学生掌握导数的核心知识.所以，教学中要注意聚焦核心知识，避免对一些细节问题过分纠缠.例如，构造一些“怪异函数”来否定函数在某一点的导数大于0则在此点附近函数单调递增的结论.

第五，导数的作用和意义要在用导数研究函数和解决实际问题中才能显示出来，所以要加强应用，特别是用导数解决实际问题.

第六，微积分的创立是数学史上的里程碑，对学生认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值都有重要意义，所以要让学生通过收集、阅读对微积分创立和发展起重大作用的有关人和事，写出心得体会，提高对数学的价值的认识水平.

3 本单元内容的理解与育人价值的认识

3.1 如何帮助学生理解导数概念及其蕴含的数学思想

1.均匀变化的变化率

导数概念的引入，源于对变化率的研究.一个函数y=f(x)描述了现实世界中一个变量随另一个变量的变化而变化的方式.例如，一个物体以速度v在一条直线上匀速运动，其路程s是时间t的函数：s=vt.当t由t1变到t2时，s由vt1变到vt2.s的改变量Δs=v(t2-t1)与t的改变量Δt=t2-t1之比值就等于v.用函数的观点看就是：

对于一次函数y=kx+b，函数值y的改变恒等于其自变量x的改变的k倍，即

2.不均匀变化的变化率

现实世界中的运动现象往往是“变速运动”，即变化率也是随时间的改变而改变的，如何刻画呢？一个基本思想是：用均匀变化率逼近不均匀变化率.为此，人教A版通过两个具体实例，引导学生感受和理解从平均速度到瞬时速度的研究方法.

问题1高台跳水远动员的速度.

在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系

h(t)=-4.9t2+4.8t+11.

如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度？

对于这个问题，人教A版构建了如下过程：

(*)

问题2抛物线的切线的斜率.

(1)因为学生没有曲线切线的一般概念，所以先设置“探究：你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线？”引导学生类比瞬时速度的刻画，通过信息技术进行几何直观，直观想象切线与割线的关系，得出“当点P趋近于点P0时，割线P0P趋近于确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线.”

(2)设置“探究：我们知道，斜率是确定直线的一个要素.如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处切线PT的斜率k呢？”由切线的定义可知，曲线上一点处的切线斜率与此点处割线的斜率有关.设Δx=x-1(Δx可正可负但不为0)，则点P的坐标是(1+Δx，(1+Δx)2). 于是，割线P0P的斜率是

(3)引导学生类比瞬时速度的研究，先计算|Δx|=0.1，0.12，0.13，0.14, …时割线P0P斜率的变化趋势，然后指出，“由k=Δx+2可以直接看出，当Δx→0时，Δx+2→2.我们把2叫做割线P0P的斜率在Δx→0时的极限，记为

3.导数的概念及其意义

上述问题1，2的解决，不仅思想方法具有内在的一致性，而且数学语言的表达方式也是完全相同的.归纳它们的共性，就可以抽象出导数的概念：

对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx).这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，把比值

当x变化时，f′(x)就是x的函数，叫做f(x)的导函数.

设y=f(x)，x∈A是可导函数.根据函数和导数的定义，对于任意x0∈A，都有唯一确定的f′(x0)与之对应.f′(x0)的意义可以从如下几个角度理解：

(1)f′(x0)是函数y=f(x)，x∈A图象上点P0(x0,f(x0))处切线的斜率.在点P0附近，函数图象与点P0处的切线是无限贴近的，因此可以用点P0处的切线近似代替点P0附近的函数图象.

(2)如果f′(x0)<0，那么函数y=f(x)在x0附近单调递减；如果f′(x0)>0，那么函数y=f(x)在x0附近单调递增.

(3)|f′(x0)|的大小刻画了函数y=f(x)在x0附近变化速度的快慢，|f′(x0)|越大，函数y=f(x)的图象在x0附近越陡，函数的变化速度越快；反之，|f′(x0)|越小，函数y=f(x)的图象在x0附近越平，函数的变化速度越慢.

导数概念中蕴含的思想主要是“以直代曲”、“以静制动”、“无限夹逼”(极限)等，需要在具体实例中进行不断体验和感悟.

4.两点教学思考

(1)让学生亲自动手计算

(2)充分利用信息技术

根据人教A版的设计，在导数概念的生成过程中，有如下几个利用信息技术的“节点”：

在“问题2 抛物线的切线的斜率”中，研究抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线，在点P0(1,1)的附近任取点P(x，x2)，利用信息技术工具，也可以让学生“看到”割线P0P的变化趋势，确认点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限靠近切线.在列表计算割线P0P的斜率值时，利用计算工具计算更多割线P0P的斜率的值，可以增强学生对割线斜率变化规律的感受.

在得出导数的几何意义后，利用信息技术工具将点P0附近的曲线不断放大，可以发现点P0附近的曲线与切线越来越靠近，由此可以增强学生对“在点P0附近，曲线y=f(x)可以用点P0处的切线近似代替”的认同感.

3.2 如何引导学生研究导数的运算

1.建立导数的运算的整体研究架构

从导数的定义可知，导数是一种借助极限的运算.根据已有的关于运算的经验，需要先给出运算对象，再研究运算法则，得出一些运算公式，从而建立起运算体系，如此才能具有实用价值.导数的研究对象是函数，而许多函数都可以通过基本初等函数的加、减、乘、除等运算或复合而得到的.因此，先求出基本初等函数的导数，然后给出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出其他函数的导数.所以，导数的运算的整体架构应该是：

基本初等函数的导数——导数的运算法则——应用.

2.基本初等函数的导数公式

这里的教学需要注意两个问题：一是让学生自己动手计算，并归纳出运算步骤；二是要注意与导数概念的产生背景相呼应，要让学生在计算得出结果后，思考和解释相应导函数的物理意义或几何意义，如y=c,y=x的导数的物理意义，y=x2的导数的几何意义和物理意义，y=x3的导数的几何意义，从而促进学生对导数内涵的理解.引导学生用具体实例解释一个抽象概念或数学表达式的意义，可以有效加深对概念本质的理解程度，并可以培养用数学眼光观察和解释现实事物规律的习惯.

由于没有两个重要极限，所以三角函数、指数函数、对数函数的导数只能直接给出.

3.导数的四则运算法则

导数的四则运算法则的严格证明需要极限理论，所以人教A版只能采取通过具体实例“说明”的方式，让学生体会法则的合理性.具体地，教材设置了如下栏目：

探究 设f(x)=x2，g(x)=x，计算[f(x)±g(x)]′，它们与f′(x)，g′(x)有什么关系？再取几对函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？

思考 设f(x)=x2，g(x)=x，计算[f(x)g(x)]′，f′(x)g′(x) ，它们是否相等？f(x)与g(x)商的导数是否等于它们导数的商呢？

这些探究都比较容易，教学时应该让学生独立完成.

4.复合函数的导数

首先，分解复合函数，明确复合过程是正确进行复合函数求导的前提.人教A版采用从特殊到一般的方法，先分析几个具体函数的结构特点，使学生初步感知“复合”的含义，再给出“复合函数”的一般概念.教学中应将重点放在引导学生理解简单复合函数的复合过程，即因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程，并明确复合过程中的自变量、因变量以及中间变量分别是什么.

在给出复合函数定义后，人教A版做了如下引导：函数y=sin2x由y=sinu和u=2x“复合”而成.一个合理的想象是，函数y=sin 2x的导数一定与函数y=sinu，u=2x的导数有关.在此基础上再从两个角度计算它的导数：

(sin2x)′=(2sinxcosx)′

=2(sinx)′cosx+2sinx(cosx)′=2cos2x,

y′u=(sinu)′=cosu，u′x=2;

于是

y′x=2cos2x=cosu·2=y′u·u′x.

最后给出复合函数求导法则：

一般地，对于由函数y=f(u)，u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x))，它的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为

y′x=y′u·u′x.

5.导数的运算的育人价值

“导数的运算”基于极限运算，同时与代数运算有紧密联系；导数的运算法则、复合函数的求导法则，与代数运算法则有较大差异.所以，学习导数的运算能提升学生对“运算”的认识水平，从而加强“运算”这个一般观念，发展数学运算、逻辑推理等素养.

3.3 在利用导数研究函数性质的过程中认识导数的意义和作用

1.用导数研究函数的单调性

由于高中阶段不介绍微分中值定理，因此无法证明函数导数的正负与函数单调性的关系.人教A版借助一些典型实例，通过图象直观，引导学生认识函数的单调性与导函数的正负之间的关系.具体过程如下：

(1)通过对高台跳水问题的直观分析，得出函数h(t)的单调性与h′(t)的正负之间的关系；

(2)引导学生观察函数y=x，y=x2，y=x3，y=x-1的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系，强化认识；

(3)用一个一般性函数图象(如图1)进行分析，得出结论：

图1

在x=x0处，f′(x0)>0，切线是“左下右上”的上升式，函数f(x)的图象也是上升的，函数f(x)在点x0附近单调递增；

在x=x1处，f′(x1)<0，切线是“左上右下”的下降式，函数f(x)的图象也是下降的，函数f(x)在点x1附近单调递减；

(4)给出用导数符号判断函数单调性的充分条件；

(5)与“函数的概念与性质”中用代数运算方法判断函数单调性的规则建立联系；

(6)通过例题，明确给出用导数判断函数单调性的步骤：

第1步，确定函数的定义域；

第2步，求出导数f′(x)及f′(x)的零点；

第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域分划为若干个区间，列表得出f′(x)在各区间的符号，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.

需要注意的是，函数在区间(a,b)上单调递增，其导数不一定恒正，可用函数f(x)=x3加以说明；同样，函数在区间(a,b)上单调递减，其导数不一定恒负，可用函数f(x)=-x3加以说明.

教科书构建的上述过程是一个从具体到抽象、从特殊到一般的过程，通过数形结合帮助学生形成函数单调性与导数正负之间内在联系的直观认识.同时，教科书强调知识的综合贯通，引导学生对两种判断方法——通过解不等式判断函数单调性和利用导数判断函数单调性进行比较，从中体会利用导数判断函数单调性的优越性.

2.用导数研究函数的极值与最大、最小值

与用导数研究函数的单调性类似，人教A版构建了如下用导数研究函数的极值的过程：

(1)通过高台跳水的例子说明h′(a)=0附近函数的变化情况；

(2)推广到一般函数进行直观分析；

(3)给出极大值、极小值的定义；

(4)通过函数f(x)=x3，说明导数为0是函数取极值的必要条件；

(5)在直观探究极值的基础上，通过具体例子说明求连续函数的极值的方法和步骤：

第一步，解方程f′(x)=0，假设f′(x0)=0；

第二步，判断：①在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.

在求函数极值的基础上，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值，其步骤是：

第一步，求函数y=f(x)在(a,b)内的极值；

第二步，将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

3.导数在研究函数性质中的意义和作用

高中阶段要研究的函数性质有：单调性，最大值、最小值，奇偶性，周期性，函数的零点，增长率、衰减率，增长(减少)快慢等.其中，单调性是最重要的性质.导数是关于瞬时变化率的数学表达，定量刻画了函数的局部变化规律，利用导数可以精确地研究函数的这些性质.

导数是研究函数性质的通性通法，其一般步骤是：

第一步，求函数f(x)的定义域；

第二步，求导数f′(x)及函数f′(x)的零点；

第三步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域分划为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间的正负，并得出f(x)的单调性与极值；

第四步，确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；

第五步，画出f(x)的大致图象.

另外，在用导数研究函数性质、解决数学内外问题的过程中，有一些由基本初等函数演化而得的不等式是非常有用的，例如：

(2)x-1≥lnx,x∈(0,+∞)；

(3)ex>1+x,x≠0；

(4)lnx0；

(5)sinx

这些不等式应该让学生会证明、会应用.

4 小结

M·克莱因[2]说，“微积分问题至少被十七世纪十几个最大的数学家和几十个小一些的数学家探索过.位于他们全部贡献的顶峰的是Newton和Leibniz的成就.”“数学和科学中的巨大进展，几乎总是建立在几百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作之上的.需要有一个人来走那最高和最后的一步，这个人要能足够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理出前人的有价值的想法，有足够的想象力把这些碎片重新组织起来，并足够大胆地制定一个宏伟计划.在微积分中，这个人就是Isaac Newton.”

数学家、数学史家对微积分的创立在人类科学史、思想史、文明史上的作用给予了高度评价.在中学阶段，掌握一些微积分的初步知识，对发展学生的理性思维、增强数学应用能力等都是非常有用的.教学中，应通过具体情境，引导学生在直观理解导数概念，掌握导数的基本运算规则，学会求简单函数和简单复合函数的导数，以及运用导数研究简单函数的性质和变化规律，利用导数解决简单的实际问题等过程中，感悟极限思想，体会极限思想在人类深入认识和表达现实世界中的作用，理解导数是一种借助极限的运算，知道微积分的创立过程，以及微积分对数学发展的作用，从而促进学生的数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模和逻辑推理等素养的发展.这是学习本单元的意义所在，也是需要强调的教学重点.