一道概率问题的多层次探究①

朱胜强

(南京外国语学校 210008)

1 问题的生成

概率教学时曾遇如下问题:

题1汽车站每天均有三辆开往N市分为上、中、下等级的客车.某人在车站准备乘车前往N市，但不知道客车的具体情况，也不知道发车顺序.为了尽可能乘到上等车，他采取如下策略:先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆.那么他乘到上等车的概率是多少?

表1

题2n个互不相等的数随机排成一列，某人事先不知各数大小，顺次逐个观察，并从中选取一个数，不得回头选取.为使取得的数最大，他采用如下策略：

先观察前k个数，确定它们的最大值，再观察其余的n-k个数.一旦发现比前k个数中最大值大的数，即选取该数，否则选取最后一个数.

问：k取多少时取得最大数的概率最大？最大概率是多少？

2 多层次的探究

2.1 设计随机试验 探求基本结论

学生容易想到的方法是从概率的定义入手.教材对于随机事件的概率有如下定义：

一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为事件A的概率.

不妨将问题2中所说的“取得最大数”记为事件A，当k确定后，随机事件A便是给定的.下面用GeoGebra模拟随机试验，并对所得数据进行统计分析以探寻事件A发生的概率与k之间的联系.为研究方便，取n=100，并将100个数记为1，2，3，…，100，它们的一个随机排列用数列a1，a2，a3，…，a100表示.

取定正整数k(1≤k≤99)，可得两个序列l1:a1，a2，…，ak与l2:ak+1，ak+2，…，a100.

求出序列l1中元素的最大值，记为M.

将序列l2中的元素依次与M比较大小，并将ak+1，ak+2，…，a99中第一个大于M的元素记为a，若不存在这样的a，则将a100记为a.若a=100，则事件A发生.

对于给定的k值，数1，2，3，…，100的任一随机排列都对应着一次随机试验，一定量的随机试验可确定事件A发生的频率.改变k的取值，相应的频率便会发生变化，据此可估计出k取何值时，事件A发生的概率最大.

上述随机试验中的许多环节都可借助GeoGebra的固有操作功能来完成.如:

随机排列(<列表>)，可以给出<列表>中所有元素的一个随机排列.

提取(<列表>，<起始位置>，<终止位置>)，可以生成数列中任意两项间所有项构成的子数列.

最大值(<数字列表>)，可以求出一个数列中的最大项.

条件子列(<条件>，<变量>，<列表>)可以找出数列中满足一定条件的所有项.

如果(<条件>，<结果>，<否则>)可以根据给定条件，生成相应的结果.

在进行随机试验时，为节省时间，还可采用批量实验操作.对确定的k值，一次性给出100个甚至更多的随机排列的数列.

表2是针对每个k值分别进行了200次随机试验获得的频率值.可以看出，当k很小或很大时，对应的频率值都比较小.当k的值在20～60间时，频率值相对较大.k与频率之间的关系是否可以用数学模型作更精细的描述呢？

依据表2，以k为横坐标，对应的频率为纵坐标画出散点图(如图1).这些点似乎在一条曲线附近摆动，不妨选用多项式来拟合.

表2

图1

分别用2次，3次，4次，5次，6次多项式拟合.并计算相应的误差平方和(如表3).

表3

可以看出，次数为2时的误差平方和明显较大.注意到不同次数曲线在自然平滑方面的差异，可选择4次多项式作为拟合函数.此时多项式函数为:

f(x)=10-10(158x4+44876x3-5299992x2+236862449x+291392669).

由f(x)可求得其图象上纵坐标最大的点为(36.1，0.378).这说明，当k=36时，频率有最大值0.378.

上述各项操作也都可在GeoGebra中直接完成.如:

多项式拟合(<点列>，<多项式次数>)可以生成指定次数的多项式，并显示出多项式函数的图象.

误差平方和(<点列>，<函数>)可以得到回归模型的误差平方和数值.

最大值(<函数>，，)可求得函数在给定范围内的最大值.

试验结论表明，当k取36时，事件A发生的概率最大，最大值为0.378.

当然，这只是进行200次随机试验获得的结论.如果将试验的次数增大，有可能得到更为精确的结论.

2.2 依据计数原理 探索一般规律

试验获得的结果只是一种近似值.是否能得到k与A的概率间的一般规律呢？

由于随机事件A与n个数的随机排列相对应，每一个排列又是等可能的.因此可以考虑用古典概型来解释.

n个不同的数排成一排，即为n个元素的全排列，共有n!个等可能的基本事件.下面考察事件A包含的基本事件数.

“取得最大数”可以分为在k+1位，第k+2位，…，第n位取得最大数.

若在第i(k+1≤i≤n)个位置取得最大数，则n数进行排列时需满足如下条件:

(1)第i个位置排n个数中的最大数；

(2)前i-1个位置上的最大数排在前k位.

满足上述要求的排列个数可按如下方法求得:

第二步，将上一步中选出的i-1个数中最大数排在前k项中的某一项，有k种方法;

第三步，将上一步中剩下的i-2个数在前i-1项中余下的i-2个空位上作全排列，有(i-2)!种方法;

第四步，将剩下的n-i个数在第i+1到第n个位置上作全排列，有(n-i)!种方法.

所以，事件A包含的基本事件数为

由古典概型概率计算公式可知

若n=100，k=36，

前面得到的数据与此还是比较接近的.

是不是k=36时对应的P(A)最大呢？

仍回到一般情形.

有f(k)>f(k-1)，此时数列{f(k)}单调递增;

有f(k)

则g(k)随着k的增大而减小.

若n≥3，则必有g(1)>1，g(n-1)<1.

因此，存在最大正整数k0使g(k0)≥1成立.此时有

f(1)f(k0+ 1)>…>f(n-1).

所以，f(k0)是f(k)的最大值.

因此，对于确定的n(n≥3)，满足条件

的最大k值(记为k0)，可使P(A)取得最大值.

对于给定的n，借助电脑不难求得这样的k0及对应的P(A)(如表4).

表4

从表中可以看出，当n= 3时，k0取1，此时P(A)取值0.5，这与上文计算结果吻合.当n=100时，k0取37，这与试验结果略有偏差.

2.3 运用极限思想揭示问题本质

根据g(k)的单调性，要找到使

成立的最大的正整数k0，

图2

3 实践后的思考

在新课程标准中，数学探究被赋予了“提升学生学科能力和素养”的重要使命.“问题”是探究的载体，是活动组织与设计的核心.本文中的问题源于教学，是学生感兴趣的问题，是教学活动中自然生成的问题.这样的问题用于探究活动，有利于调动学生的积极性与参与度，提升活动效果.因此，教师在教学中要有问题意识，注意发掘与积累生成性的问题资源.

有许多探究活动仅局限于章节范围内的知识，一旦获得结论，活动便告结束.本文给出的探究问题，在对数学能力的要求上富有层次性，处于不同学习阶段或不同水平层次上的学生都可展开相应的研究.随着数学能力的不断提升，持续探究所获得的认识也会不断深化.在“刷题”盛行，追求“快思”的今天，这样的探究对于培养学生会用“数学的思维思考世界”显得尤为可贵.

信息化手段在探究过程中发挥了不可或缺的作用.如果没有信息技术的帮助，大量重复的随机试验几乎无法进行，对收集得到的数据的分析也将困难重重，探究中一些猜想的验证也无法实施.所以，有效开展探究活动，不可忽视信息技术因素的作用，教师需要不断了解因信息技术进步而引发的教学中的改变.