以乘法公式教学为载体培养和发展学习能力

应佳成

(杭州市富阳区教育发展研究中心 311400)

从整体视角看，乘法公式是数与代数领域中整式乘法运算中的一类特殊结论，从知识连贯性的角度看，乘法公式的学习过程是学生通过参与、体验，形成某些重要数学思想方法的关键过程，对学生抽象能力、建模能力、推理能力、运算能力的培养具有独特的价值．另外，结构的特殊性使乘法公式有广泛应用，因此乘法公式的教学是发展学习能力的重要载体.如何用好一般与特殊的关系，自然而然地将能力培养渗透于教学中是本文阐述的主旨.

1 在获取知识的过程中发展学习能力

1.1 经历归纳的过程发展抽象建模能力

从特殊到一般，通过归纳共性发现并提炼公式是培养抽象能力和建模能力的过程，由于这一环节是共性归纳，因此要提供具有相同结构的学习材料，以利于学生聚焦研究对象，发现和对比对象间的共性，提炼出公式，将乘法公式从“隐性”状态变为“显性”状态．例如，平方差公式的归纳过程如图1所示：

图1

以上归纳过程的意义在于，通过对整式乘法单元中的“特例”进行深加工，获得具有广泛使用价值的特殊结论，积累研究经验，为类比迁移的发生做好准备，比如完全平方公式的研究就可以基于平方差公式的研究经验有目的、有方法地展开．从数学研究的视角看，概念的获得、公式或者法则的研究、性质的研究等等都会经历类似的过程，当经验积累到一定程度就会产生质的改变，对未来的学习产生积极推动作用.

1.2 经历演绎的过程发展代数推理能力

与归纳发现的过程相比，对条件特殊化从一般到特殊获得乘法公式的过程属于演绎推理的过程，其中的关键是帮助学生理清逻辑关系，理解公式本质： (a+b)2=a2+2ab+b2是(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd在c=a及d=b的特殊条件下的结果，(a+b)(a-b)=a2-b2是在c=a及d=-b的特殊条件下两个二项式相乘的结果，逻辑关系如图2：

图2

无论是归纳发现还是演绎论证，基于一般与特殊的关系在知识之间搭建桥梁，是对数学发展脉络的遵循，也是对学生认知经验的遵循，有助于学生发现公式间的联系，从整体上认识公式的来龙去脉，理解数学知识发展的连贯性。在这样的观念指导下，学生甚至可以推导出更多有意义的结论，形成优良的知识结构.

1.3 经历多元表征的过程发展几何直观能力

如何在二维图形与乘法公式之间建立联系是教学中需要突破的难点，事实上学生是有学习基础的，小学阶段学生已经知道用公式刻画图形面积，比如正方形的面积是边长的平方，长方形的面积是相邻两边的乘积，用面积将图形与代数间建立关联，这是几何与代数之间进行相互表征的萌芽．但是小学局限于最简单的图形，初中的图形和公式更复杂，这是关键差异也是难点所在．怎样自然而然地突破难点，发展能力呢？需要从整体视角认识图形与代数的联系，在学生已有知识经验的基础上进一步提供思维的脚手架，将几何图形从一维上升到二维，相应的将代数结构从整式上升到整式乘法，层层递进地在文字、图形、符号之间建立起联系.

先从一维图形与代数式相互表征入手：如果将线段a和线段b视为一维图形，线段之和仍旧是线段，代数表征为两数和a+b．如图3：

The situation changed in the 28th year of Qianlong (1763), on the eve of the Second Jinchuan War. Emperor Qianlong told the Grand Minister of the State (军机大臣) et al.:

图3

这样的回顾基于线段的学习基础，不但不会造成困难，还会为接下来的联系提供生长点，容易引导学生思维产生迁移.

进一步在二维图形(长方形)与整式(二项式)乘积间相互表征：如图4，线段AB表示线段a与b的和，其长度记为a+b；线段AD表示线段c与d的和，其长度记为c+d；矩形ABCD的面积可以记为(a+b)(c+d)，还可以记为ac+ad+bc+bd，这样再一次利用图形面积构建出代数结构(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd，巧妙实现图形与代数式之间的相互表征．进一步将几何结构特殊化为正方形，代数结构特殊化为(a+b)2，如图5，实现了完全平方公式在文字、图形、符号之间的相互表征.

图4

思维方式一旦形成，学生的学习能力可以得到快速提升，有能力将更多的代数结构和与之相关的几何结构进行相互表征. 比如假设四个长方形的边长分别为a，b，这四个长方形的面积为4ab，而大正方形的边长为a+b，这样就在代数公式(a+b)2-(a-b)2=4ab与几何图形6之间建立了联系，可以相互表征.

图6

数学文化的融入、代数与几何的相互表征等多元构建的目的在于让学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等数学活动过程，在不同内容领域之间建立广泛联系，渗透数学思想方法，发展直观想象能力和数学建模能力，并通过知识技能反映出来，增进对数学的理解.

2 在应用知识的过程中发展运算能力

运算能力是公式教学需要发展的重要能力，公式最显著的特征就是以整体结构的形式使用，对学生运算能力的要求显著提高，外显的运算能力是思维的呈现，运算能力的培养需要通过辨析、构造、使用等一系列有逻辑的学习过程达成．下面以完全平方公式为例分析运算能力的发展.

2.1 经历公式结构的辨析过程发展运算能力

完全平方结构是配方法的根基，是进行代数运算与变形的重要基础知识，将来在一元二次方程、二次函数的学习过程中都离不开配方法和配方思想，其思维的种子需要在完全平方公式的学习中埋下.

(1)识别公式结构

整体视角下准确识别公式结构是正确使用公式的基础，对结构的识别有两个关键点：其一，准确识别公式左右两侧代数式的特征，明确不同的代数式(a+b)(a-b)、a2-b2、(a+b)2、a2+2ab+b2、a2+b2的不同含义，并且要用自己的语言(文字语言)表达，这一过程相当重要．例如：

a+b a-b 两数和与这两个数的差的积a2-b2两数的平方差a2+b2两数的平方和a+b 2两数和的平方a2+2ab+b2两数的平方与这两数乘积2倍的和

其二，由于公式(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)(a-b)=a2-b2的左右两侧是等价关系，因此对公式的识别不能局限于单侧，应该对同一个公式左右两侧的结构特征都有准确把握，能够识别出两个结构之间是否具有等价关系，反映在能力上就是要具备公式两侧相互转换的能力，在两种结构之间整体转换的能力是学习整式乘法、因式分解、分式等内容的基础，需要通过适当的辨析在同一个公式两种不同代数结构间建立起关联，才能具备整体使用的能力.

(2)等式变形

由于公式左右相等，因此可以利用等式基本性质进一步进行变形，这就为不同代数式(a+b)(a-b)、a2-b2、(a+b)2、a2+2ab+b2、a2+b2之间建立等量关系提供了基础，可以进一步构造出诸如a2+b2=(a+b)2-2ab和(a+b)2-(a-b)2=4ab等新的公式．所谓的等式变形，本质是在熟练掌握公式结构特征的基础上，结合等式基本性质，进行各种结构间的自由切换，这是对运算能力提出的更高的要求．能够进行这样的自由切换，需要把握好两个关键：熟悉公式的结构特征、熟练使用等式的基本性质，它们都是基于对公式结构的深刻理解，也是具有代数推理能力的表现.

(3)代数式部分变形

配方能力来自于对完全平方公式整体结构的准确把握，无论代数式以(a+b)2或者a2+2ab+b2的形式呈现都能从整体上准确识别才能正确使用．但是在实际使用的过程中，更多的代数式是以a2+2ab+C或a2+M+b2的“部分结构”呈现，这要求学生能够调用学习经验，对比“部分结构”与公式结构的差异，综合做出判断并合理使用裂项或者添项的方法，将一个代数式中的一部分进行恒等变形，转化为A2+M的形式，这是在公式教学中培养运算能力的第三层次.

2.2 经历整体思想的渗透过程发展运算能力

代数学习中整体思想是一种重要的思想方法，尽管整体思想的培养是渐进的、逐步渗透的过程，但是公式教学是培养这一能力的重要载体，需要引起足够的重视．关于对整体思想的理解可以从两个侧面来看，首先从整体视角看代数式结构，无论a2-b2、a2+2ab+b2、a2+b2、(a+b)2中的哪一种形式，都是以整体结构出现的，对这些整体结构的识别能力和使用能力是公式应用的基础；另一个侧面，从微观视角看公式中的字母具有广泛意义，可以表示字母、也可以表示具体的数、还可以表示整式、分式甚至别的什么. 以平方差公式为例，如图7：

图7

对整体思维的培养，关键是要突出对问题结构的认识，善于发现问题的结构特征. 比如平方差公式，其最根本的特征是两“式”和与这两“式”差的乘法运算．当学生具备了整体看问题的能力，就能更深入地理解运算对象，更容易发现事物的内在关联，更有目的地规划解题方案、建立运算思路，更有效地运用运算法则，运算能力、代数推理能力也就能得到潜移默化的提升.

3 在广泛联系的过程中发展学习能力

3.1 在初中数学内容间建立联系

前文提到，完全平方公式可以与几何图形建立密切联系．事实上，在数学学习中，代数结构与几何结构的相互表征向来都是培养数形结合思想的重要载体．平方差公式与图形间的互相表征同样具有重要意义，是后续勾股定理的发现和学习的直接基础.

3.2 在初高中衔接的内容间建立联系

4 在形成数学思想的过程中发展学习能力

公式教学蕴含着丰富的数学方法和思想，比如整体思想、数形结合思想、一般与特殊思想等等，在教学过程中需要让学生不断体验、积累并尝试使用，方法的学习过程也是学生能力积累产生飞跃的过程，只有发生了质的飞跃，才能上升为数学思想，形成特有的意识和观念.

比如基于整式乘法运算的视角看乘法公式，这是从一般到特殊的研究，这是一种演绎推理，是中学阶段第一次全面、系统地在一般与特殊观念指导下展开研究. 由于一般研究对象包含特殊研究对象，因而特殊对象不但具有一般对象的性质，而且还有其特殊的性质，这些特有的性质使得特殊对象的内涵更为丰富，应用更为普遍.

在整式乘法单元，有序、有策略地渗透一般与特殊的思想方法，让学生逐步内化为数学观念，那么在其他内容的学习中，学生就可以超越特定情境，主动构建学习路径．例如，从三角形到特殊三角形、从平行四边形到特殊四边形等的研究都是基于从一般到特殊的思想展开，与本单元的研究思想具有高度一致性，这样的数学观念的形成对学生的发展具有深远意义.

5 总结

(1)公式教学的目的不是单纯的机械记忆和使用，应该沿着数学内容内在发展的脉络和知识间存在的广泛联系展开，自然流畅发展各种能力，融素养培养于无形中.

(2)学生的能力和素养在不同的学段和不同的教学内容中有不同的表现，核心素养的发展是随着学生知识掌握、数学理解、独立思考等过程而变化和发展的，因此教师要关注学生在学习过程中的发展和变化，关注学生已经掌握了什么，得到了哪些提高，具备了什么能力，还有什么潜能，在哪些方面还存在不足等等，让学科育人有的放矢.

(3)教师要以数学学科核心素养为依托，提升认识学科本质的水平，在数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性上下功夫，只有教师水平提高了，才能帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展数学核心素养.