论数学抽象素养的培养途径①

唐绍友

(北京市第四中学 100034)

引言

2019年5月18日—19日，笔者参加了北京市举行的“教师资格国考”的面试工作，深有感触，相当部分考生数学学科的素养水平不乐观，请看下面的案例：

第一个考生通过教材上几个简单的例子抽象出了等差数列的定义.

第二个考生在黑板上写出了递增数列与递减数列的定义.

当时，面试老师提出问题：请两位考生将这段中文描述用数学符号表达出来，但是考生想了好一会，都答不出来，这表明考生的数学抽象素养是不乐观的.基于此，我们非常有必要提出：在当今的数学教育中，必须把落实学科核心素养视为首要的教育目标，提升学生的学科核心素养，才能真正意义上提高教育教学质量.在此，就数学抽象素养的培养途径做一些探讨.

1 数学抽象素养的内涵

何为抽象？现代汉语词典对抽象的解释为：①从许多事物中，舍弃个别的、非本质的属性，抽出共同的、本质的属性，叫抽象，是形成概念的必要手段；②不能具体经验到的，笼统的，空洞的.前一层的意思可以理解为：从具体事物中提炼出共同的本质特征，后一层的意思是更高层面的提炼与概括，带有想象的成分，可以是符号化的表达. 现代汉语词典将素养解释为：平日的修养.基于此，对抽象素养可以理解为：在平日的学习与实践中所形成的对具体事物的去粗取精、去伪存真、去异求同、去表求本的提炼与概括能力水平，那么何为数学抽象素养呢？

就是在平日的学习与实践中所形成的在数量关系、空间形式、具体事物中抽象出数学研究对象的修养水平，主要是抽象概括能力水平.《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称课程标准)对数学抽象素养做了更精准的描述：“数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征.”按照这样的要求，在高中数学教学中，实现培养数学核心素养的教育目标，可以在数学概念、几何、代数、创新问题等教学过程中逐步实现.

2 培养抽象素养的途径

2.1 在数学概念教学的环节中有效培养

数学概念是数学知识的重要组成部分，掌握数学概念是学好数学的基础，“概念为本”就是这个道理.所以数学概念教学是数学教学的重中之重，特别是当今新课程理念中，强调数学核心素养的培养，要实现培养核心素养的育人功能，必须重视数学概念教学.通过对例子共同特征的归纳，抽象数学概念的本质属性过程中，可有效培养数学抽象素养；从现实生活实例出发，建立数学概念的过程就是提炼数量关系和整理数量关系的过程，不但有利于学生提高抽象概括能力，而且有利于提高数学建模能力，从而提升数学抽象素养与建模素养；在学生抽象概括与明辨数学概念多种形式的过程中，发掘概念之间的内在联系，也是培养抽象数学抽象素养的重要方面，具体来讲，在数学概念教学中，既要注重概念的中文形式(有利于学生把握概念的本质)，又要注重概念的符号表达(有利于学生掌握数学的形式化特征)；既要注重概念的正面形式(这是认识概念的关键)，又要注重概念的否定形式(这是深刻认识概念的开始，有利于培养批判性思维品质)；既要注重概念的原始形式(这是认识概念的基础，有利于学生掌握数学概念形成的源头)，又要注重概念的等效形式(这是概念的发展，有利于学生整体构建知识体系，切实掌握知识之间的内在联系).比如在等差数列的教学中，要求学生掌握以下形式. 中文形式：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.在明确概念的中文形式基础上，再总结出符号形式：{an}是等差数列⟺an+1-an=d(d为常数)；等效形式1：{an}是等差数列⟺an+1-an=an-an-1(n≥2)⟺2an=an-1+an+1(n≥2)；等效形式2：{an}是等差数列⟺an=kn+m；等效形式3：{an}是等差数列⟺Sn=an2+bn；否定形式： {an}不是等差数列⟺存在一个n使an+1-an≠an-an-1(比如：a3-a2≠a2-a1，即举反例法)，这是否定等差数列的依据.

在数学概念教学中，实现学生掌握数学概念多种形式的目标，不能一气呵成，要把概念多种形式的教学目标分散在各个阶段中，比如在上述例子中，等效形式2要放在等差数列通项公式教学中完成，等效形式3要放在等差数列求和一节的教学中完成，否定形式放在复习课中进行为宜;这些形式的概括要在单元复习课中完成.总之，在教学的各个阶段中逐步实现数学概念多种形式的教学目标.由此可见，充分发挥数学概念教学的教学功能是培养数学抽象素养的重要途径之一.

2.2 在几何教学中有效培养

按照课程标准的要求，从图形与图形的关系中抽象出数学概念、数学定理等数学研究对象，是数学抽象素养的表现之一.所以，几何教学培养也是培养学生的数学抽象素养的沃土，比如，在具体的事物中发现几何关系，在观察图形中发现数学结论，追求数学定理的符号表达等都是培养数学抽象素养的大好时机.

2.2.1 注重立体几何关系的生成原型

众所皆知：立体几何是现实世界的抽象产物，所以立体几何既有直观的一面，因为它还保留着现实世界的一些属性，不能完全脱离现实世界而独立存在；立体几何也有抽象的一面，因为它已经舍弃了现实世界的一些鲜活的特征.基于此，在立体几何教学中，要减少抽象所带来的理解难度，适当引入一些几何关系的生成原型是必须的，有助于学生加快从生成背景中抽象出几何关系与数学方法的速度，也有助于学生快速加入立体几何门槛的步伐，对于提升抽象素养是有积极意义的. 著名心理学家巴甫洛夫认为：创造思维活动称为原型启发，创造思维通常是在某个原型的启发下形成的.例如伟大的数学家笛卡尔在蜘蛛“表演”的启示下，创建了笛卡尔坐标系，蜘蛛的“表演”就是一种启发原型，可见，启发原型在数学的发现中是多么重要！所以，在立体教学中要努力构建几何原型.比如要判断这样一个命题：两条不垂直的异面直线在一个平面内的射影是否可能垂直，如果直接判断，难度较大，不便于抽象数量关系，可以想象它的一个生成原型：将两条异面直线放在长方体的相邻两个侧面里，则这两条异面直线在底面上的射影始终是垂直的，参看图1.这样可以根据图形抽象出一个90度角的存在，这实际上既是一个直观想象的过程，也是一个数学抽象的过程，所以这个过程是培养直观想象素养与数学抽象素养的过程.

图1

案例1如图2，山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是60°，山坡上有一条直道AD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100米后升高多少米？

图2

此题有着丰富的内涵，既突出了“数学是现实的数学”的数学哲学观，又展现了重要的作二面角平面角的方法——三垂线法，而且还初步渗透了数学建模的方法：阅读理解→数学化设计→抽象出数学问题(参看图3)→标准化设计(问题获解)→检验反思评价，因此，本例是作二面角平面角的一个重要启发原型，在涉及三垂线法作平面角的实际应用中可引导学生联想这个原型.将原型与眼前的问题比较，将其中一个平面视为山坡面，将另一个平面视为水平平面，在解决有关作二面角的平面角时，关键在于找到一个水平面与山坡平面，在比较中抽象出用三垂线法构造平面角的基本方法;这个二面角的生成原型，对抽象三垂线法作二面角平面角方法的本质是一个非常直观的模型，将这个原型用于解决有关作二面角平面角的问题中，有助于解题思路的自然获得.

图3

2.2.2 注重图形语言与自然语言向符号语言的转化

看图说话是抽象思维的一个表现，看图形说的话能否抓住问题的本质与关键，是抽象思维能力的集中表现.在立体几何的教学中，由空间图形抽象出点线面的位置关系，并用数学符号表述，这是学习立体几何的一个最基本的要求，用数学符号表述空间图形中的位置关系就是识图能力的主要表现.在立体几何入门的教学中，经常出现学生用自然语言证明立体几何问题，表述混乱，缺少逻辑性，总之缺少数学味，面对这样的问题，必须引领学生根据图形特征，抽象出与图形相吻合的数学符号表达，形成形式化的严格表述，这样才能提高抽象思维能力与逻辑推理能力.另一方面，需要切实关注自然语言向数学符号语言的转化，用自然语言表述立体几何中的定理与公理，容易突出定理与公理的本质特征，但是在推理论证中表述比较困难，为了严格的形式化推理，也需要将自然语言做符号化处理，这也是一个抽象的过程，必要时，需要图形做铺垫.所以有理由提出：在立体几何教学中，切实加强自然语言、图形语言、符号语言的相互转换，是学生学好立体几何的基础条件，也是训练数学抽象素养的一个有效途径.

2.2.3 在解决几何问题中依托几何性质抽象数量关系

2.3 在代数教学中有效培养

代数本来具有抽象的特征，如果仅用抽象到抽象的推理方式来展开代数教学，那么学生学习的难度是很大的，所以在代数教学中必须发挥直观图形和生活实例的重要作用，结合知识体系的要求，将代数的教学过程设计为直观——抽象——再抽象的过程.

2.3.1 利用图形发现数学性质和数学方法

在代数学习中感受到：发现数学性质与数学方法，主要有两条途径，一是直接从抽象的代数表达式出发，经过一些数学实验，进行观察，发现性质与方法，再进行严格证明，或者是直接进行演绎推理，推出一些性质和方法；二是依靠图形，通过对图形的观察分析，抽象出相关性质与解决方法，但是由于图形的片面性和误差，常会出现一些错误，所以必要时还需进行力所能及的证明.为了减少学生学习代数的抽象难度，必须发挥图形在学习代数中的作用，比如在学习函数的过程中，要学生发现函数的一些性质，适当依靠函数图象作铺垫，可以让学生加快发现的速度，与此同时，又是训练抽象素养的契机.比如研究函数的零点，可以先通过对图象的研究，直观感受到零点的情况，再进行必要的代数证明，这就是一个抽象过程，从图形抽象数量关系，从而获得所需的目标.又比如三角函数的单调性、有界性、周期性、奇偶性的发现，站在学生学情的角度，真离不开三角函数图象的铺垫，图形可谓是发现数学性质与数学方法的催化剂.

2.3.2 利用生活实例建立代数模型

现实生活中存在着许多数学问题，需要抽象数量关系，引入数学符号，从而可以建立代数模型，得到人们所需要的研究对象，对此进行数学化的深刻研究，可以解决现实生活中的一些问题，为人类服务.在此过程可以促进学生抽象素养的发展，因为在此过程中需要舍去个别属性，抓住其中的与数学有关的本质属性，明确数量关系，利用所学过的数学知识，大胆运用数学符号，建立数学模型，需要求解数学模型，再回去解释说明现实生活中的问题，这就是一个抽象数学结构的过程.比如学习函数以后，可以让学生解决现实生活中的函数模型问题，学习数列之后，可以让学生解决现实生活中的数列模型问题，比如购房中的分期付款问题就是数列模型，学习不等式之后，可以让学生解决现实生活中的不等模型，包括解不等式、利用均值不等式求最值等问题，都是训练抽象素养的大好时机，总之，在建立代数模型的过程中，既可以培养建模素养，又可以训练抽象素养.

2.4 在创新问题的解决中有效培养

在创新问题中，没有固定的数学知识与数学模型可以套用，通过现场学习一个新定义，解决一个新问题，在求解过程中需要诸多数学素养的参与，特别是数学抽象素养、逻辑推理素养、直观想象素养显得尤为重要.高考中考查的创新问题正是这样的问题，综合考查核心素养，在此重点探讨数学抽象素养在解决创新问题中的表现和培养.

2.4.1 在存在型问题中学会构造

“存在即构造”这是解决存在型问题的重要准则，要说明一个问题的存在，就需要构造一个例子，这是铁证如山，具有很强的说服力.按照课程标准的要求，“能够用恰当的例子解释抽象的数学概念和规则”，这是数学抽象素养的第二水平要求之一.在解决一些创新问题中，就是根据抽象的数学概念构造例子，实现解题目标，这是抽象思维的表现.具体来讲：构造例子的途径多种多样，可以从极端情形进行构造；可以从探究证明思路中获得启示进行构造；可以从图形背景中进行构造；可以从逐步调整中进行构造.包括正例与反例的构造，特别是在一些反例的构造中，对抽象素养有较高的要求.在例子的构造中，可促进学生抽象素养的提升.

案例2(2016年北京高考题)设数列A：a1，a2,…，aN(N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有aka1，则G(A)≠ ∅ ；

分析要证明G(A)≠ ∅，就需要至少构造一个元素符合“G时刻”的定义，那么根据条件：数列A中存在an使得an>a1，就可以取出数列中第一个比a1大的项an作为例子，再证明此时的n满足“G时刻”的定义，从而可知n∈G(A).但是要写出证明过程，需要用抽象的符号语言表述，在当年的高考中，学生的表现不乐观，即使明白了证明目标，但是用数学化语言表述比较困难，特别是用符号语言表述数列中第一个比a1大的项an，此时的n，显得很困难.这说明学生的抽象素养水平发展不平衡.

证明方法1因为存在an使得an>a1，所以{k∈N*，k≥2|ak>a1且ai≤a1(i=1,2,…,k-1)}≠∅，所以ak>a1≥ai⟹ak>ai(i=1,2,…,k-1)，所以k∈G(A)，所以G(A)≠∅

证明方法2因为存在an使得an>a1，

所以{i∈N*|2≤i≤N,ai>a1}≠∅.

记m=min{i∈N*|2≤i≤N,ai>a1}，

则m≥2，且对任意正整数k

因此m∈G(A)，从而G(A)≠∅.

从上面的证明过程看出：根据新定义与存在性的要求构造例子是一个抽象表述的过程，是提升抽象素养的过程.

2.4.2 在数学实验中学会观察抽象

数学也离不开实验.一些问题的解决可以用实验作“催化剂”.可以加快获得解题思路的速度，特别是在解决创新问题过程中，数学实验尤为重要，由于创新问题的定义与表述比较抽象，对于解决思路的形成也是具有较大的抽象难度，为此，需要数学实验做铺垫，通过对实验的观察，再抽象出实验中所隐含的本质和一般性的结论，这对于发现问题的解决思路具有启示价值.数学实验分为两类：操作实验和思维实验.操作实验按以下模式进行：实例出发→在计算机上的实验→发现其中的规律→提出猜想→验证猜想；思维实验的模式是：问题→取持例研究→发现结论→严格论证.不论从哪种实验模式来看，都是提高抽象概括能力的有效途径，也是培养抽象素养的有效途径.

(Ⅰ)当n=3时，若α=(1, 1, 0)，β=(0,1,1)，求M(α,α)和M(α,β)的值；

(Ⅱ)给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α,β，M(α,β)=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由.

分析(Ⅰ)的解决过程就是一个数学实验的过程，

由此实验可以抽象概括出其中的本质特征：当任意两个元素(包括相同元素)中相同位置上都是1时，运算结果都产生1，当相同位置上不都是1时，运算结果都产生0.这样的规律为第(Ⅱ)问结论发现提供了重要线索：(1,0，…,0);(0,1,0,…,0);(0,0,1,0,…,0); …；(0,0,…,0,1)；(0,0,…,0)才能符合B集合的条件，从而可以发现B集合中元素个数最多为n+1.然后再做证明.就是对上述实验现象更深刻化的抽象表述，是较高层面的数学符号表征.

解(Ⅱ)设Sk={(x1,x2,…,xn)|(x1,x2,…,xn)∈A,xk=1,x1=x2=…=xk-1=0}(k=1,2,…,n)，Sn+1={(x1,x2,…,xn)|x1=x2=…=xn=0}，则A=S1∪S2∪…∪Sn+1．对于Sk(k=1,2,…,n-1)中的不同元素α,β，经验证，M(α,β)≥1．所以Sk(k=1,2,…,n-1)中的两个元素不可能同时是集合B的元素.

所以B中元素的个数不超过n+1．取ek=(x1,x2,…,xn)∈Sk且xk+1=…=xn=0(k=1,2,…,n-1)，令B={e1,e2,…,en-1}∪Sn∪Sn+1，则集合B的元素个数为n+1，且满足条件．故B是一个满足条件且元素个数最多的集合.

从上述思考与证明过程看出：对数学实验现象的高度概括与抽象是解决创新问题的重要源泉，再做抽象化的表述是解决创新问题的关键.这样问题的解决对抽象思维能力的要求较高，是培养较高层次的抽象素养水平的重要素材，高考中出现这样的试题是实现选拔功能的需要，是为高校培养优秀学生的需要.

综合上述，数学具有高度的抽象性，这种抽象性决定了提升人的抽象素养水平的育人功能.所以在高中数学教学中，结合数学知识体系的要求和学生的学情实际，按照课程标准的要求，对直观图形、数学实验、现实背景、典型例子进行观察抽象，对抽象概念、抽象性质进行抽象构造与符号化的表征，适当结合逻辑推理，都是提高学生的抽象素养水平的有效途径.当然，培养抽象素养不是短期行为，必须将培养抽象素养的数学教育目标纳入高中数学教学的全程，从课堂教学到课外作业、各种考试都要涉及抽象素养的有关素材，唯有这样，才能促进学生抽象素养水平的逐步提升，为学生的后续发展提供素养保障.