关于双极模糊图圈连通指数的注记

兰美辉，高 炜

(1.曲靖师范学院 信息工程学院，云南 曲靖 655011；2.云南师范大学 信息学院，云南 昆明 650500)

在理论化学中，分子图的拓扑指数计算一直是研究的热点问题之一[1-6]．近年来，拓扑指数的概念被推广到模糊图中，并在理论和应用上取得了一定进展．而所谓模糊图就是将模糊数据用图结构表示而得到．具体而言，就是在图中每个顶点附加一个隶属度函数值来刻画其顶点某种模糊特征．此外，每条边上也给出一个模糊二元关系值来刻画边两端顶点之间的模糊关系．在化学图论中，当分子结构用图表示后，则顶点和边的模糊值分别刻画原子和对应原子键的某些模糊特征．

用∧和∨表示最小和最大操作． 模糊图可以用G=(V,σ,μ)表示， 其中V是顶点集，σ是V上的隶属度函数，μ是V×V上的二元隶属度函数，σ和μ的取值都在0和1之间． 对任意x,z∈V都有μ(x,z)≤σ(x)∧σ(z)成立． 另外， 如果xz在原图中不是一条边， 则μ(x,z)=0． 对于双极模糊图， 是将隶属度函数换成刻画正负模糊程度的双极隶属度函数． 具体地说， 双极模糊图用G=(V,σP,σN,μP,μN)来表示， 其中σP:V→[0, 1]是V上的正极隶属度函数，σN:V→[-1, 0]是V上的负极隶属度函数，μP:V×V→[0, 1]是V×V上的二元正极隶属度函数，μN:V×V→[-1, 0]是V×V上的二元负极隶属度函数． 对任意x,z∈V都有μP(x,z)≤σP(x)∧σP(z)和μN(x,z)≥σN(x)∨σN(z)成立． 另外， 如果xz在原图中不是一条边， 则μP(x,z)=μN(x,z)=0．

1 双极模糊图上概念的扩展

θP(x,z)={ηP∈(0, 1]|存在x,z之间的一条圈， 其正强度等于ηP}；

θN(x,z)={ηN∈[-1, 0)|存在x,z之间的一个圈， 其负强度等于ηN}．

双极模糊图的圈连通指数定义为：

双极模糊图的平均圈连通指数定义为：

ACCI(G)=(ACCIP(G),ACCIN(G))

由定义直接可以得到0≤ACCIP(G)≤1和-1≤ACCIN(G)≤0． 设x是双极模糊图的顶点， 若ACCIP(G)ACCIN(G-x)， 则x称为圈连通增强顶点； 若ACCIP(G)=ACCIP(G-x)且ACCIN(G)=ACCIN(G-x)， 则x称为圈连通中性顶点； 若ACCIP(G)>ACCIP(G-x)且ACCIN(G)

2 扩展的性质

本节我们根据文献[1]给出的一般模糊图圈连通指数的特征， 得到对应的双极模糊图圈连通指数的性质． 这些结果的证明可以通过模仿文献[1]的证明思路和方法得到， 此处不再给出具体证明过程， 直接列出结果．

设H是双极模糊图G的部分模糊子图． 一般来说，CCIP(H)≤CCIP(G)和CCIN(H)≥CCIN(G)不一定成立． 但对于特殊双极模糊图， 有如下结果．

性质2.3若H是正强双极模糊图G的部分模糊子图， 则CCIP(H)≤CCIP(G)； 若H是负强双极模糊图G的部分模糊子图， 则CCIN(H)≥CCIN(G)．

性质2.4CCIP(G)=0当且仅当G是正双极模糊树；CCIN(G)=0当且仅当G是负双极模糊树．

性质2.5若x是正圈割点， 则CCIP(G-x)CCIN(G)．

性质2.6同构的双极模糊图有相同的圈连通指数．

性质2.7设双极模糊图G=(V,σP,σN,μP,μN)是块， 且对每个顶点x有σP(x)=1和σN(x)=-1． 设AP和AN分别是正α-强边集合和负α-强边集合． 则有

3 小结

模糊数学是刻画和处理不确定性数据的工具， 而模糊图则用来描述结构化不确定性数据． 分子图是用图模型来刻画化合物的分子结构， 而当分子结构中存在某种不确定性时， 该分子图即可表示为模糊图． 因此， 本文通过对负极隶属度函数和负极圈连通性的定义， 将圈连通指数扩展到双极模糊图， 并将原有单极模糊图上的理论结果扩展到对应的双极模糊图． `