数学形式化在教学中的处理

张晗

摘 要：高中数学课程需要回归基础，抓住数学概念、法则的本质，同时注意逻辑推理和思维的清晰。通过实际问题的引导和分析，学生能够自主探究掌握数学知识的产生和发展过程，体会其中所蕴含的思想，感受数学知识的来龙去脉。教学中将“形式化”的数学知识转化成学生易于接受的“非形式化”的表达，能够促进学生的学习。

关键词：形式化;非形式化;数学教学

数学的形式化包含符号化、逻辑化和公理化三个层次。数学概念系统的简单化、严格化和系统化是形式化的重要体现。形式化可以将复杂的数学体系更加清晰明确地表达出来，有助于理清思路、理清症状、找到本质关系。形式化的另一个重要作用是促进数学的发现和应用。理解数学知识的形式结构为假设和分析提供了更好的基础，同时为发现和识别已知数学结构提供了一个参考模型。

《普通高中数学课程标准（实验）》明确指出，形式化是数学最重要的内容之一。学习数学可以帮助学生用形式语言准确地传达一门学科的含义，但不仅限于形式信息，也可以解释数学的本质，不然数学只是单纯的符号和公式，枯燥无味。高中数学课程需要回归基础，抓住数学概念的本质，理清数学概念的产生和形成过程。因此，高中数学教学的主要任务是适当地运用和驾驭形式化，使学生能够用形式语言表达数学内容，既能够解决问题，又可以理解数学概念的本质。

一、创造情境，理解数学概念

在数学教学中，教师的创造力体现在创造可以感知和激发学生创造性的情境，调动学生已有的知识经验，从而帮助学生改变他们解释数学概念的方式。在教学中，最重要的是描述主体外在表现的文字和符号，也就是数学概念的形式化表达。首先确定主体的含义，然后将客体从其相邻的客体中识别出来，为交流提供一个基本的平台。数学概念根植于生产和生活的实际情境中，而有些数学概念是对生活实际的抽象，却又依赖于已经存在的数学概念而生成新的数学概念。教师要引导学生复习数学理论的主要特点。在这里，我们可以以房地产市场作为问题的基础，得到数据的最高值和最低值，让学生明白数学是我们生活中随处可见的知识，数学模型已经覆盖了生活的方方面面。

其次，学生们很喜欢在学习过程中听到许多故事。如果教师能够将数学与故事结合起来，会增强数学的美感，激发学生的好奇心，使其自主进入到故事当中，接受新的数学知识。在教学中，教师可以收集大量的资料，比如有关科学家发现真相的资料和历史故事，在课堂中用这些故事作为课堂引入，来调动学生的学习积极性。当研究“等差数列”时，高斯漫画的故事就是一个很好的案例。高斯在上小学时，有一次老师出了这样的一道题目：1+2+3+…+100=？当其他同学在计算上遇到困难时，小高斯很快就得到了5050的解，那么他是如何快速解决问题的呢？这样一问，学生的注意力就会转移到等差数列上，由此再进行新课的讲授，学生就能够自然而然地将注意力放在课堂当中。

二、注重数学语言的转化

学生用自己的语言真实地解释数学概念的能力是学生对概念有深刻理解的重要标志之一。而将日常生活中的语言转化成专业的数学语言则是数学教师的常规事项，是数学教學活动中必不可少的步骤。在数学教学中，教师要从数学教学的各个方面入手，在用实际的数学语言和符号表达思想之前，通过学生更容易亲身体会到的方式传播新思想，引起学生的学习兴趣，鼓励他们主动地尝试、发挥创造力，并使用他们自己的语言进行解释和描绘，以获得对知识的真正理解。教学中重要的是要创造一个环境，学生可以在整个活动中发挥自己的特长和优势，找准自己的定位，创造性地发现数学知识的原理和本质。数学学习中的知识难易交叉，既有简单易懂的知识，又有一些内容需要学生花费大量时间和精力才能够获得。为了引起学生的求知欲，教师可以在教学过程中融入经典的例题进行讲解，引导学生逐步分析和挖掘其中的知识和原理，最终解决问题，帮助学生掌握分析问题的方法和策略，同时消除学生在面对数学时的恐惧心理，引发学生学习数学的兴趣。在课堂上，教师要鼓励学生自信地思考、创新和表达不同意见，为学生营造民主、平等、积极的环境，尊重学生的意见和学生的差异，鼓励学生提出异议和困惑。教师应注意学生的抽象思维和形象思维的结合，使学生能够发散性地提出问题并寻找解决问题的各种方法。教师要鼓励学生在思考问题时，摒弃机械思维，从固有模式中跳脱出来，在讨论问题时勇于表达自己独特的想法，提出不同的见解，促进学生创造性思维的发展。

三、形式化与非形式化的结合

高中数学侧重于非形式化，这并不是说完全抛弃形式化，而是需要将二者恰当地结合。数学是经过多次抽象而得到的理论，通过数学符号、语言和组织方式等表现出来。我们所学习和接受的数学知识也都是形式化的内容。当数学概念脱离大量现实情境和丰富的内容后，它在形式化的表达下虽然更加精确和直观，但其可信性也随之降低。这里的形式化并不是指纯粹的变化规则，而是按照一定的数学规律，有逻辑地推理和演算，符合数学内部的特点，从而推进解题的进程。增加对符合特定数学规律的形式化思想的研究对于理解数学也是必不可少的。在教学中，教师应当训练学生进行相对复杂的形式推理，并且要求学生能够使用数学符号、组织、名称、关系等研究和处理各种类型的问题，了解目标的量纲特征，以各种适当的数学形式呈现，如坐标系、函数、集合、方程、不等式、图形等，以便在实际的数学问题中提炼数学知识，建立恰当的数学模型。在以各种形式获得数学概念之后，必须要强调直观性。比如，在中学里讲微积分，如采用的形式语言，显然行不通，只能借助直观的非形式化方法给它一个描述性定义。

四、形式化与本质和谐共处

在教学中，教师需要理解形式化与本质之间的辩证关系并且处理好这种关系，使形式化与数学本质在课堂中并存，从而进行良好的教学实践。在三角函数的研究中，主要有四个环节：输入、公式的生成、公式的理解、公式的应用。许多教师在讲课的过程中对前三个环节一概而过，将更多的时间和精力花费在对公式的应用上。实际上，三角函数这一部分的公式非常多，如果教师在讲课的过程中没有讲清楚每个公式的来龙去脉，不注重对公式本质的挖掘，学生在记忆公式的过程中会出现混淆的情况，而且在对公式进行应用时也会出现错误，不利于学生对知识的理解和掌握。因此，在实际课堂教学中，教师既要注重形式化的应用，还要强调数学概念的本质，做到形式化与本质的和谐共处。

五、形式化理念的实施

在教学实践中，教师需要认真考虑课程的设计，让学生理解数学形式化的本质;合理地组织学生的自主探索活动，以免多样的课堂教学活动淹没了数学教学的本质。教师必须关注数学知识形式化的过程，重视知识的形成过程，力求体现概念、规则、结果的演变过程和本质，让学生在学习过程中经历知识的抽象概括、发生发展过程，体会知识的生成，而不是关注数学结论。教学中强调用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，从数学的角度出发去分析问题，解决问题，切忌将数学教学停滞在形式化的机械记忆和操作层面。教师需要注重培养学生从形式化的数学概念和结论中找到核心内容，抓住问题的本质。在数学教学中，一定要注意形式是为内容服务的，要抓住形式化知识中的隐藏知识，不断巩固和深化数学思想方法，重视思维的训练，提高数学应用能力，适当淡化形式化的表达。

参考文献

[1]刘虹.强调本质，注意适度形式化——从一道试题得分的意外谈新课程理念[J].中国科教创新导刊，2011（9）：149.

[2]刘丽嫔.形式化与本质和谐共处——基于《同角三角函数关系》的教学案例分析[J].数学之友，2015（2）：26-28.