模型思想在小学计算教学中的渗透

余璟

【摘 要】模型思想是《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的一个核心概念，其有利于培养学生的创造能力、分析能力以及解决能力，目前已成为数学教育教学中的热点之一。教师通过基于抽象表征、寻找计算法则、运用通用算法、迁移计算方法等方式将模型思想渗透到小学计算教学中，旨在帮助学生提高计算能力。

【关键词】小学数学 计算教学 模型思想

计算教学是小学数学教学中的重要部分，良好的计算能力可为学生今后的学习奠定扎实的基础。然而，受知识经验的限制，学生间的计算能力水平参差不齐。造成这一现象的原因主要有两个方面：一是心理方面，包括感知粗略、记忆错漏以及情绪不稳等;二是基础知识与基本技能方面，包括缺乏基础知识、不理解计算基本原理以及技能未形成等。针对计算教学中存在的问题，就需要教师加强对计算教学模式的研究与创新。随着新课程改革的深入发展，模型思想成为数学教学中重点培养的核心素养之一，而所谓模型思想，是指针对具体数学问题建立相应的数学模型，通过研究数学模型来寻求解答方法的一种数学思想。模型思想在小学计算教学中的渗透，对实现教学目标有着积极的促进作用。所以，在数学计算教学过程中，教师应积极应用模型思想，结合教学实际建立科学化思想模型。

一、基于抽象表征，准备数学模型

小学阶段的学生的思维以具体形象思维为主，同时伴有一定的直观思维，即学生在进行计算时，会首先感知数据和符号组成的算式。然而，数学知识本身就具有明显的抽象性，导致学生往往只关注到一些孤立的现象，看不出数学知识之间的联系与特征，这就极大地限制了学生通过具体思维理解数学问题的本质属性。所以，在小学数学计算教学中，教师需要注重引导学生进行直观操作，基于数学知识的抽象表征，在数学的抽象性与学生具体形象性之间搭建一座沟通的“桥梁”，使学生依托于直观表象建立数学模型，并从中得到感悟，進而理解与掌握数学计算原理以及计算方法。在计算某一实际问题时，教师可以引导学生根据数量关系将数学问题转化为与生活相关的问题，这也是一个将数学问题生活化的过程，从而帮助学生更快地找出具体的计算方法。比如，在“两位数乘一位数（不进位）的笔算乘法”教学中，教师应将教学的重心放在笔算法的感悟和理解上，这样才有利于帮助学生建立模型。首先，教师可以先将例题中的“求3个12的和是多少”这一抽象数学问题转化为“教师准备了3盒彩笔，每盒有12支水彩笔，打算将它送给同学们，刚好每人一支，请问一共有多少支水彩笔”这一生活问题。接着，教师引导学生收集其他同学的彩笔，组成小组共同探讨“12×3”的算式。如在探索这一问题的算式时，有小组提出可以直接使用口算法：因为2×3=6，3×10=30，30+6=36，所以12×3=36。也有小组提出可以使用连加法：因为“12×3”表示3个12相加，所以12×3=12+12+12=36，即12×3=36。从数的抽象表征到形的直观表征，真正做到了有机结合，能够帮助学生逐步掌握建模方法，并学会运用模型解决其他数学问题。

二、寻找计算法则，建立数学模型

模型思想作为一种思想，想要学生真正对其有所感悟，还需要经历一个长期的过程。在这一过程中，教师需要引导学生从相对简单到相对复杂，从相对抽象到相对具体的转化，逐步积累经验，形成建立模型并运用模型解答生活问题的习惯。数学模型的建立需要以具体问题为载体，而学生在准备建立模型之前需要接触多侧面、多层次的现实问题原型。比如，上例将“12×3”生活化，这样能够为学生创设一个有利于建模的问题情境，在情境中学生可以根据自身已有经验寻找建模的方法。然而，数学问题的抽象本质才是建立模型的关键。教师应引导学生在充分感知大量数学材料的基础上，通过分析、对照、总结等方式发现这些数学问题的共性，从具体的表象中体会抽象本质，使学生对数学问题的认识从感性上升到理性，这样才能建立起数学模型。例如，在计算“12×3”时，教师首先引导学生基于问题的抽象表征运用自己喜欢的方式来计算这一问题，如口算法、连加法，但这仅是直观性思维的一种表现。教师还要联系学生的已有知识经验与思维方式，引导学生探讨更复杂的算式。在教学的过程中，发现很多学生像加减法一样用竖式计算“12×3”，此时，教师可以提问采用这样列式的同学：“这里的6是怎么来的？为什么6写在个位上？3为什么写在十位上？”教师说完，学生板书说明原因。最后，教师总结归纳竖式法。由于有了已有知识经验笔算加减法的铺垫，还有一些学生可能已经接触过这样的竖式，所以在教学的过程中，教师可由学生自主探索为主，整节课都由学生自己来理解笔算的方法，即算理，由此一来，学生就能够感受到知识之间的内在联系，从而学会建立数学模型，并逐渐学会利用这一模型解决类似问题。

三、运用通用算法，巩固数学模型

在小学计算教学过程中应用数学模型，不仅有利于加深学生对数学问题的理解，还可以让学生深刻地体会到模型思想在解决问题过程中的价值。新课标认为数学模型的建立可分为三个阶段：一是数学模型建立的起点，即发现和提出问题，从现实生活或具体情境中抽象数学问题恰好充分体现出这一点;二是通过观察、分析、判断等数学方式完成模型抽象化并建立模型，这也是最重要的一个环节;三是通过模型求得结果，并用此结果解释数学模型在现实问题中的意义。显然，在建立数学模型的过程中，学生的知识、技能、思想、方法等方面都能够得到很好的培养。所以，当学生建立模型并得到一般通用算法后，教师应及时引导学生运用算法解决更多不同的实际问题，以巩固数学模型，使学生充分感受到数学模型及通用算法在数学中的应用价值。例如，学习了“两位数乘一位数（不进位）的笔算乘法”后，教师可引导学生利用通用算法进一步掌握“两位数乘两位数（不进位）的笔算乘法”的计算原理。首先，教师给出问题情境：王老师买了12套书，每套有14本，请问王老师一共买了多少本书？本课，教师可以从两个层次进行教学。第一层次，学生通过口算获得“12×3”的结果后，可以尝试利用这种算法计算本课的问题，如学生通过探讨，获得的口算方法有：（1）14×4=56，56×3=168，14×12=168;（2）14×10=140，14×2=28，14×12=168。第二层次，教师引导学生运用“12×3”的竖式法计算“12×14”，即把两个乘数写在竖式上，先用个位数上的2同14相乘，乘得的积的末位同个位上的2对齐，再用十位上的1同14相乘，乘得的积是14个十，末位同十位上的1对齐，然后把两次乘得的结果相加，便可得到“12×14”的计算结果。学生获得了这样的认识后，逐渐学会使用这一通用算法计算此类数学问题，从而建立起“两位数乘两位数（不进位）的笔算乘法”的数学模型。

四、迁移计算方法，拓展数学模型

对于小学生而言，建立数学模型的过程实际上就是“数学化”的过程，也是学生在学习数学过程中获得某种带有“模型”意义的数学结构的过程。然而，数学模型虽然能够解决相关的数学问题，但其应用也存在一定局限性，比如，一个模型只能用于类似问题的计算当中。当数学模型超出其使用范围之后，就需要对其进行拓展，使其能够适用于新的数学问题。因为数学知识之间存在一定的联系，教材内容也是一环扣一环的。作为小学数学教师，就需要熟知课本，感知数学知识结构之间的联系，只有这样，才能够充分把握整体的数学思维，从而有利于数学模型在教学过程中的拓展，也有利于模型思想在计算教学中的渗透。例如，学生掌握了“两位数乘一位数（不进位）的笔算乘法”与“两位数乘两位数（不进位）的笔算乘法”的计算原理后，教师可以引导学生将其计算方法迁移到新的计算当中，以此形成新的数学模型。首先，教师给出问题情境：小明家准备装修房子，需要门窗玻璃39平方米，如果玻璃的价钱是每平方米88元，请问3600元是否足够购买所需的门窗？教师先引导学生运用口算法或竖式法进行计算，但这一问题涉及“两位数乘两位数（进位）的笔算乘法”这一知识点。由于个位数上的计算发生了进位，显然运用口算法或竖式法难以直接计算出其结果。这就需要在原有的模型上进行拓展，比如，运用估算的方式：因为40×90=3600元，而39<40、88<90，所以“39×88”的计算结果小于3600，因此准备3600元足够购买所需的门窗。在这一过程中，学生先运用竖式法计算“40×90”，再用估算的方式求得“39×88”的结果范围，层层推进，能够让数学模型的应用更加广泛。

综上所述，作为主要核心素养之一，模型思想不仅有利于激发学生的数学兴趣，还有利于丰富学生的数学知识，促进其知识的深化和发展。小学生模型思想的形成与培养是一个长期的过程，这就需要教师善于在教学中适时地渗透模型思想，让学生充分感受到模型思想在现实中的意义，并学会使用该思想解决实际问题，从而不断提升其数学素养。