基于压电阻抗技术吉他振动特性的研究

张 军，赵林玉，罗德昌

(1.安徽理工大学人工智能学院，安徽省淮南市泰丰大街168号 232001；2.安徽理工大学机械工程学院，安徽省淮南市泰丰大街168号 232001)

弦类乐器是依靠琴弦振动来的发声，并借助于共鸣箱加以放大。国内外学者对弦类乐器的发声原理进行了很多研究，Ahmed,SA等[1]人通过研究乐器材料在不同的湿度环境下对乐器振动特性的影响；Debut V等[2]人建立吉他的模型，对模型进行弦的张力计算和共鸣箱的有限元分析。Kusumaningtyas I等[3]人研究不同前面板材料下的吉他的声学特性，发现培东竹作为吉他前面板的材料最合适。国内学者陈超[4]对吉他进行实验研究，将实验与有限元结果进行了比较，说明了声音采集系统的可靠性；矫盼盼[5]搭建双高速相机非接触式光学测量系统，测量在拨弦状态下吉他标定点的琴弦上的振动特性，证明了缠弦振动衰减缓慢。

压电阻抗技术的应用领域主要在结构损伤识别和结构健康检测上。为验证该技术在乐器领域研究的可行性，文中通过有限元分析软件对吉他共鸣箱音孔大小、共鸣箱的前面板厚度及材料和弦的张力、直径、有效长度进行变量控制，分析得出这些变量对吉他本身的影响，可以靠这些变量进行结构优化，然后搭建吉他的压电阻抗和声学实验进行模态频率验证，最后应用各弦的模态频率进行弦直径的预测，得出压电阻抗技术可以用于改善吉他的振动特性的结论。

1 压电阻抗技术(简称EMI技术)

1.1 结构压电耦合电阻抗原理

压电效应是压电材料在电场的作用下发生极化现象，内部电荷发生移动。去除电场后，压电材料内部仍存在极化电荷，这使得压电材料具有了压电效应[6-9]。当有力加在压电元件上时，将引起压电元件内部电荷发生相对运动产生电信号，这种将压电材料由机械能转换成电能的现象称为正压电效应，相反，当在压电元件表面上施加电压，导致压电元件的机械变形，这种将压电材料由电能转换成机械能的现象称为逆压电效应。压电阻抗技术就是运用了压电的逆效应现象。

由于文中的PZT压电陶瓷片既要做接收器同时又要做发射器，因此选择PZT-4。

以PZT-4和单自由度SMD系统进行结构压电耦合对压电耦合后电阻抗原理进行阐述，原理如图1所示。

图1 PZT-4与单自由度SMD系统耦合模型Fig.1 Coupling model of PZT-4 and single-degree-of-freedom SMD system

PZT-4的电阻抗Z的表达式为[10-13]

(1)

通过公式推导，结构压电耦合后电阻抗与PZT片尺寸、自身机械阻抗、结构机械阻抗、激振频率都存在一定的关系。

1.2 弦的振动理论

弦的简化模型如图2所示[14]。

图2 弦的理想化模型Fig.2 An idealized model of a string

弦传播振动时所发出声波的基频频率

(2)

式中，T为琴弦受到的张力；P为弦的线密度；L为弦的有效弦长。

弦的线密度为

(3)

式中：d为弦的直径；ρ为弦的密度。

声波的基频频率可以表示为

(4)

通过转化得出张力T的表达式

T=f2d2L2πρ

(5)

通过以上公式可得出弦的固有频率与弦的张力、直径和有效弦长有关，为后文仿真的变量设置提供理论基础。

1.3 吉他共鸣箱的振动理论

通过把吉他共鸣箱模型的振动形式简化为一个二维自由度模型[15]，其简化后的模型如图3所示：

图3 吉他共鸣箱的二自由度模型Fig.3 2-DOF model of guitar sound box

吉他共鸣箱的简化模型的振动方程可表示为：

(6)

式中，mp为共鸣箱前面板质量；mh为空气的质量；kp为前面板的刚度；Ap为前面板的有效面积；Ah为音孔的面积；μ为比例系数；F为琴弦通过琴码传递给共鸣箱的等效力。

由公式(6)得到共鸣箱的振动影响因素与前面板的质量、有效面积，音孔的大小有关，共鸣箱所使用的材料、自身的结构也会影响其振动特性，为后文吉他共鸣箱的模态分析设置变量提供依据。

2 吉他的结构有限元分析优化

2.1 弦的谐响应分析

吉他弦的基频通过理论音高由十二平均律计算，标准音高a1的频率为440.0000Hz，计算出的音高和频率如表1所示：

表1 各弦在空弦时的音高和频率

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

图41-6弦的谐响应结果

Fig.4Theharmonicresponseresultsof1-6strings

由图4所示，1-6弦出现峰值的频率点分别是330Hz，250Hz，195Hz，150Hz，110Hz，85Hz为基本频率，比表1理论计算出的各弦频率基本吻合。观察各弦的其他峰值，分别为各弦基频的倍数形式出现，这是因为弦在振动中基频决定音高，弦的音色通过谐音列决定，在仿真过程中施加力的点是人为确定的，因此出现这种倍频现象。

2.2 弦的仿真实验分析优化

实验以吉他为例，它的有效弦长为648mm，弦枕和弦柱的距离约为62mm，弦的总长为710mm。

将其带入到公式(6)中得出1-6弦的张力如表2所示。

表2 1-6弦的张力理论计算值Tab.2 Theoretical calculation values of the tension of strings 1-6

为验证弦固有频率的影响因素，下面以1弦为例，设置以下三个变量实验运用Workbench进行模态试验，首先模型的建立与谐响应分析一致，导入到Workbench中后进行材料设置，网格的划分，边界条件为一端固定，另一端施加一个Z轴方向的张力，模态仿真实验通过得到的结果取前6阶，通过origin绘制出图形。

实验1：在处于空弦时保证它的张力为标准值且其他结构尺寸保持不变，在solidworks中改变弦的直径分别为0.3mm，0.4mm，0.6mm，0.8mm，1.0mm以及1.3mm进行模态试验，结果如图5所示。

图5 弦直径的影响Fig.5 Influence of chord diameter

实验2：在保证弦的张力和直径不变的情况下，改变弦长分别为670.2mm、632.6mm、597.1mm、563.6mm、532.1mm和502.1mm进行模态试验，结果如图6所示。

图6 弦长度的影响Fig.6 Effect of chord length

实验3：保证弦的直径、长度不变，将张力分别设置为101.26N，111.26N，121.26N，131.26N，141.26N，151.26N进行模态试验，结果如图7所示。

图7 弦张力的影响Fig.7 The effect of string tension

由图5、图6、图7可知，弦的直径越大，弦的固有振动频率就越小；弦的长度越长，弦的固有振动频率就越小。弦所受的张力越大，弦的固有振动频率就越大。当共鸣箱一定时，可适当调整弦的直径、长度、张力使得共鸣箱达到较好得放大效果。

2.3 共鸣箱的仿真实验分析优化

在共鸣箱的振动理论中可知，共鸣箱的固有频率与共鸣箱的材料、前面板的厚度、音孔的大小有关。为验证理论的正确性，下面设置三组共鸣箱的变量模态实验，模态仿真的流程和弦一致，其中模态结果取前30阶。通过origin软件绘制出图形，实验如下：

实验4：变共鸣箱的材料的模态实验，实验选用轻木、云杉、松木和白蜡木四种材料进行模态试验，得到的结果如图8所示。其中材料的基本参数如表3所示。

表3 材料的基本参数

图8 材料的影响Fig.8 Effect of materials

实验5：变前面板厚度的模态实验，保证其他因素一致，改变前面板的厚度分别为5mm、10mm、15mm以及20mm后进行模态分析，得到的结果如图9所示。

图9 前面板厚度的影响Fig.9 Influence of front panel thickness

实验6：变音孔大小的模态实验，保证其他因素一致，改变音孔的直径大小分别为80mm，100mm，120mm，140mm后对共鸣箱进行模态分析，得到的结果如图10所示。

图10 音孔直径的影响Fig.10 Influence of sound hole diameter

由以上实验得出以下结论：

实验4：如图8所示，其他因素保持一致时，共鸣箱的模态频率随着轻木、云杉、松木和白蜡木的顺序逐渐升高，当共鸣箱的材料为白蜡木时，它的音域范围也会增加。为了保证弦类乐器的低音品质，可用轻木进行制作；为了保证弦类乐器的高音品质，可用白蜡木进行制作。

实验5：如图9所示，其他因素保持一致的情况时，共鸣箱的模态频率随吉他前面板厚度的增加而增加。已知刚度与模态频率成正比，当厚度增加时，自身的刚度也会增加，即模态频率也会增加。在厚度为10mm、15mm、20mm时它们的变化程度有所减小，这是由于厚度增加的同时，它的重量也在增加，已知重量与模态频率成反比，因此出现变化量减小的现象。为了保证弦类乐器的低音品质，可用适当降低面板厚度，为了保证弦类乐器的高音品质，可用适当增加面板厚度。

实验6：如图10所示，其他因素保持一致的情况时，音孔的直径大小对共鸣箱模态频率几乎没有影响。音孔的主要作用是在琴弦振动时，可以将振动通过空气介质顺利地传播到共鸣箱内后与共鸣箱产生共振，从而起到共鸣箱地放大作用，但在图中共鸣箱地模态频率变化不大是因为微调音孔直径对共鸣箱及箱内的空气影响不大。

2.4 共鸣箱的模态仿真实验

通过十二平均律可以确定6根弦的振动频率主要在0～1000Hz之间，这点也可以从6根弦的谐响应分析中看出，因此在用workbench对吉他进行模态实验时，只取处于这个频率之间的模态频率。

当6根弦的振动频率点与共鸣箱的模态频率点对应时共鸣箱可以产生较好的声音放大效果。

2.5 共鸣箱的压电耦合仿真

在进行共鸣箱的压电耦合仿真时，吉他上贴上PZT-4后在PZT-4的外表面施加1V电压，内表面施加0V电压后进行谐响应仿真，其中扫频的范围为0～1000Hz,由于PZT-4的极化方向为Z轴，所以得到的结果以Z轴为准，结果如图11所示：

图11 共鸣箱的谐响应结果Fig.11 Harmonic response results of the sound box

由图11可知，在频率点120.09Hz，225.08Hz，275.07Hz，320.07Hz，360.06Hz，370.06Hz，580.04Hz，650.04Hz，720.03Hz，750.02Hz，845.02Hz，910.01Hz，965Hz,在共鸣箱的模态频率中都有很好的对应，可以得出了仿真实验的正确性，也可以得出共鸣箱在这些频率点处有较好得放大效果。

3 压电阻抗技术的吉他振动特性实验

3.1 吉他声学实验

实验器材：吉他、声级计、高速数据采集卡、计算机以及LabVIEW可视化程序。

实验主要通过拨弦的方式使吉他发出声音，然后声级计测量将声音信号转换为电信号，最后由高速采集卡将声级计的数据返回上位机软件，经过快速傅里叶变换将时域信号变为频域信号，搭建的声学实验平台如图12。实验以吉他1弦为例做声学实验，得出的结果如图13所示：

图12 声学实验平台Fig.12 Acoustic experimental platform

图13 1弦空弦频谱图Fig.13 Spectrum of empty strings of 1 string

通过声学实验得出的结果可知，出现峰值的频率点分别为323.33Hz，646.67Hz，971.11Hz，对比谐响应分析出的出现峰值的频率点330Hz，660Hz，990Hz，几乎对应，存在的误差原因是声学实验对环境的要求较高，实验过程中达不到，此处也验证实验和仿真的一致性。

3.2 共鸣箱压电阻抗实验

实验仪器：被测吉他、PZT片、WK6500B阻抗仪、导电银胶、电焊台、铅丝及导线若干。

实验步骤：首先将鱼鳔胶均匀涂抹在方形铜箔片上后将其粘贴在吉他的指定位置上，然后在PZT片上均匀地涂抹上导电银胶和硬化剂的混合胶体，将PZT片贴在方形铜箔片上。等到胶体完全凝固后，用电烙铁在方形铜箔上和PZT片上分别焊接上导线后并将导线的另一端连接在阻抗分析仪上；实验前设置好相关参数后进行实验，每组数据应该多做几遍，比较结果；将实验数据导出保存后，用Origin绘制实验所得的阻抗频谱图。阻抗实验如14所示。

吉他共鸣箱的最低音为56.96Hz，由此划分出吉他的低音区为20～100Hz，之后将100～1000Hz均分为3个音区，即100～400Hz为吉他的中音区，400～700Hz为吉他的高音一区，700～1000Hz为吉他的高音二区。以上划分出的4个音区通过WK6500B阻抗仪扫频出的阻抗图如图15所示。

图14 吉他的阻抗实验平台Fig.14 An impedance test platform for guitar

(a) (b)

(c)

(d)

实验结论：

图15依次为吉他的低音区、中音区、高音一区和高音二区。

从低音区的阻抗图中可以看出，在0～100Hz范围内由于仪器受到工频信号的干扰较大，不能较好的反映出实质问题，故不作讨论，以下主要讨论中音区、高音一区和高音二区。

由压电效应可知当机械阻抗发生明显的变化则被测结构得到的振幅应该增强或变弱，即电阻抗变化处的频率为被测结构的固有频率。从吉他共鸣箱的中音区和高音一区的阻抗图中可以看出，该频率段虽然也受到外界因素的影响但也可以看出在280～300Hz，416～433Hz，433～450Hz，468～480Hz，480～500Hz，576～590Hz，640～673Hz，680～700Hz频率范围内产生共振现象，说明共鸣箱在这8个频率段内的频率对共鸣箱起到声音放大的作用，其效果很好。

从高音二区中的阻抗图中可以看出，在700～740Hz，920～980Hz这2个频率段内的产生共振效果明显且幅值较大，说明共鸣箱在这2个频率段内有很好的声音放大作用。

4 BP神经网络预测

BP神经网络又称前馈神经网络，它的优点在于可以通过自身的训练，确定输入和输出之间存在的关系，从而达到在给定输入时可以得到最接近的期望输出值。它属于智能信息处理系统的一种，它的主要思想时利用梯度下降法，使得网络的实际输出值和期望输出的误差均方根最小[16]。

用matlab进行神经网络的搭建，主要包括数据的输入，归一化处理、网络参数的设置、训练、预测、反归一化。

以6根弦的直径为变量，变量的值依次变化0.02mm后进行模态试验得出45组数据，其中40组为训练5组为预测。流程如图16所示。

图16 网络流程图Fig.16 Network flow chart

经过训练最后得出测试的结果如图17、图18所示。

图17 训练结果Fig.17 Training results

图18 测试结果Fig.18 The test results

由图17、图18可以看出预测和实际的值吻合度很高，通过BP神经网络的预测如表4可知，最大的误差为4.07%，其他误差都较小，这说明了BP神经网络对弦直径进行识别。

表4 弦直径预测与实际对比

5 结论

以吉他为研究对象，借助于EMI技术，得到了影响吉他共鸣箱的声学特性相关影响因素，验证了EMI技术在弦类乐器制作领域应用的可行性，得到了以下结论：

(1)影响吉他共鸣箱固有频率的主要因素包括：共鸣箱的材料、前面板厚度，其中，共鸣箱的模态频率随着木材的密度及面板的厚度的增加而增加。因此，可以通过提高弦类乐器面板材料的密度、增加面板的厚度等方式来提高弦类乐器的高音特性；可以通过减小弦类乐器面板材料的密度、减小其面板的厚度等方式来改善弦类乐器的低音特性。影响弦固有振动频率的主要因素为弦的直径、张力和有效弦长，在共鸣箱一定的情况下可以适当修改弦的直径张力和有效弦长进行声音的放大。

(2)在压电阻抗实验中可以得出，吉他共鸣箱在280～300Hz，416～433Hz，433～450Hz，468～480Hz，480～500Hz，576～590Hz，640～673Hz，680～700Hz，700～740Hz，920～980Hz区域内的频率信号能让共鸣箱起到较好的放大效果，微调吉他的主要边界参数，共鸣箱的放大作用非常显著。

(3)通过BP神经网络对弦的直径进行预测时，结果可知BP神经网络可以对弦的直径进行识别。

(4)研究为其他弦类乐器的设计提供了依据。