宽象限相依序列移动平均过程的矩完全收敛性

潘晓映, 胡天琳, 王鑫蕊, 施建华,2,3,4*

（1.闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州363000；2.福建省粒计算及其应用重点实验室,福建漳州363000；3.福建省数据科学与统计重点实验室,福建漳州363000；4.数字福建气象大数据研究所,福建漳州363000）

概率极限理论是概率统计领域的一个主要分支，许多学者对其进行了研究．众所周知，独立随机变量的极限理论已经发展得非常完善，但现实世界中不独立情形普遍存在，关于随机变量的相依性概念随之被提出，并引起众多学者的兴趣．其中，较为宽泛的一种相依结构是宽象限相依(widely orthant depen‐dent，WOD)序列，它是在2013年由Wang等[1]所提出的，具体定义如下：

定义1设{Yn,n≥1}为随机变量，若存在正实数序列{gU(n),n≥1}，对任意的n≥1 和yi∈(-∞,∞),1 ≤i≤n，满足

则称{Yn,n≥1}为WUOD(widely upper orthant dependent)随机变量序列；若存在正实数序列对任意的n≥ 1 和yi∈(-∞,∞),1 ≤i≤n，满足

则称{Yn,n≥1}为WLOD(widely lower orthant dependent)随机变量序列．如果{Yn,n≥1}既是WUOD 序列，又是WLOD序列，则称它为WOD随机变量序列，其中，gU(n)和gL(n)为控制系数．

WOD 是非常重要的一种相依结构，它包含了独立变量，NA(negatively associated)变量，NOD(nega‐tively orthant dependent)变量，END(extended negatively dependent)变量等作为特例．因此，对于WOD概率极限的研究具有重要的理论意义与应用价值．自WOD的定义被提出后，许多学者纷纷对其进行研究，并获得了一些重要的结论．如Wang 等[2]得到了具有WOD 增量的随机游走的一些基本更新定理；Wang 等[3]研究了带有控制变化尾的非同分布WOD 随机变量部分和的精确大偏差；Shen[4]研究建立了关于WOD 随机变量的Bernstein 型不等式；Cheng[5]获得了带有重尾的WOD 随机变量随机和的尾概率；Wang 等[6]得到了WOD 样本下密度函数的最近邻估计的相合性．Shen 等[7]研究了基本WOD 样本的生存函数和失效率函数估计量的渐进性质．除此之外，WOD随机变量的矩完全收敛性也受到诸多学者的关注．

自1988 年Chow[8]提出的矩完全收敛的定义，先后有章志华等[9]，邱德华等[10]，张玉等[11]，Wu 等[12]，邱德华等[13]分别得到φ-混合随机变量序列，WOD 随机变量序列，NSD 随机变量阵列，ρ*-混合随机变量序列，同分布END随机变量序列的矩完全收敛．关于矩完全收敛的定义如下．

定义2设{Xn,n≥1}是一随机变量序列，an> 0,bn> 0和q> 0，如果对于任意的ε> 0，

则称{Xn,n≥1}是q阶矩完全收敛，这里的a+= max {0,a}．

近年来，移动平均过程{Xn,n≥1}的极限理论也引起了许多学者的兴趣，下面引入移动平均过程的定义．

定义3设{Yi,- ∞

称{Xn,n≥1}为由{Yi,- ∞

随机变量序列{Yi,- ∞

移动平均过程Xn=在时间序列分析、金融数学与信息论等领域上有着极其广泛的应用．在解决实际问题的过程中，随机变量序列{Yi,- ∞

对此，许多学者对由相依随机变量序列{Yi,- ∞

1 主要结果

受邱德华等[22]工作的启发，考虑由WOD 随机变量序列生成的移动平均过程的矩完全收敛性，利用三段截尾技术[23-25]并结合Menshov-Rademacher型矩不等式，得到了移动平均部分和的最大值矩完全收敛性，结论将END随机变量序列推广到更加宽泛的WOD随机变量序列上．

定义4设{Yi,- ∞ 0，对任意的-∞ 0，有

则称{Yi,- ∞

本文约定，C总表示与n无关的常数，它在不同位置可以代表不同的值，即使在同一式子中亦是如此．{Yi,- ∞

定理1设p> 0,α> 1 2,αp> 1,{Yi,- ∞

则对于任意的ε> 0，

推论1设p> 0,α> 1 2,αp> 1,{Yi,- ∞ 0，有

定理2设p> 0,v> 0,α> 1 2,αp> 1,{Yi,- ∞

则对于任意的ε> 0，

注意到，当p= 1时，可以由定理2得到推论2．

推论2设v> 1,α> 1 2,αp> 1,{Yi,- ∞ 0，有

2 引理

引理1[1]设{Xn,n≥1}是WOD 随机变量 序列，{fn(·),n≥1}均是非降（或非增）的函数列，则{fn(Xn),n≥1}仍是WOD随机变量序列．

引理2[26](Menshov-Rademacher 型不等式) 设p≥1，{Yn,n≥1}是均值为零的WOD 随机变量序列，并且对任意的n≥ 1 ，都有E|Yn|p< ∞，则存在仅依赖于p的正常数c1(p)，c2(p)得

引理3[27]设{Yi,- ∞ 0,x> 0,- ∞

引理4[12]设{Yi,1 ≤i≤n}和{Zi,1 ≤i≤n}是随机变量序列，那么对任意的p>v> 0,a> 0,ε> 0，以下不等式成立：

其中当0 1时，Cv=2v-1．

3 主要结果的证明

定理1的证明 由式(2)和可知

从而Xn几乎处处有意义．

借鉴NA、NQD序列下的三段截尾技术[23-25]，对于固定的n≥1和-∞

注意到EYj= 0，因此有则

令

结合引理4有

要证明式(4)，我们只需要证明I1< ∞,I2< ∞，下面我们分为两种情形进行讨论．

情形1p≥1

对于I2，结合式(3)，引理3以及Znj的定义有

对于I11，结合Hölder不等式，Jensen不等式，引理2，引理3以及的定义有

接下来证明I12< ∞，我们分为以下两个情形．

情形1.1p≥2

取q>结合引理3，EX2< ∞，有

情形1.21

类似于式(13)，取q> 2，有

综上，I1< ∞.

情形20

关于I2，结合式(3)以及引理3，有

根据式(11)，关于I11和I12，我们通过引理3以及式(3)分别有

综上所述，定理1证明完毕．

推论1的证明根据上述定理1的证明，有

推论1证毕．

定理2的证明上述的相关符号在下面证明中将继续采用，取q> 2，为了完成的证明，分以下三种情形进行讨论．

情形10

情形21

由式(11)可知，欲证I1< ∞，只需证明I11,I12< ∞．根据式(6)及式(12)，有

类似于式(14)，由于q> 2，有

关于I2′，由引理2得

由此可得，式(7)在1

情形3v≥2

注意q>p∨v，很容易由式(20)和式(21)知I1< ∞，因此只需要证明I2′ < ∞．根据引理2，有

根据式(6)得

关于I22′，有

综上所述，定理2证毕．

推论2的证明当1 2，类似于式(20)，式(21)和式(22)分别有

因此，当1

当v≥2时，我们只需要证明I2′ < ∞，类似于式(24)，式(25)分别有

综上所述，推论2证毕.