三角范畴黏合中的遗传双余挠对

谷伟莉，马 欣

(河南工程学院 理学院，河南 郑州 451191)

三角范畴和Abel范畴是代数和几何中的两个基本结构。Beǐlinson等[1]引入了三角范畴和Abel范畴的黏合概念，其在代数和几何中扮演着重要角色。范畴的黏合体现了一个范畴由两个范畴黏合而成的思想，该思想使黏合成为数学研究的一个基本工具，例如文献[1]给出了三角范畴中t-结构的黏合，Chen[2]给出了三角范畴中余挠对的黏合，许燕青[3]给出了三角范畴中双余挠对的黏合，等等。本研究引入了遗传双余挠对的概念，并研究了三角范畴黏合中的遗传双余挠对。如不特别说明，所有的子范畴都是加法满子范畴且在同构意义下是封闭的。

1 预备知识

图1 加法函子图Fig.1 Diagram of additive functors

(1)(i*，i*)、(i*，i！)、(j！，j*)和(j*，j*)都是伴随对。

(2)j*i*=0。

(3)i*、j！和j*都是满忠实的(fully faithful)。

接下来回顾余挠对的概念。

(1)x和y都是关于直和项封闭的。

(2) Ext1(x，y)=0。

X→T→Y[1]→X[1]，

使得X∈x且Y∈y，则称之为一个余挠对(cotorsion pair)。

X→X′→X″→X[1]，

如果由X′，X″∈x可得到X∈x，则称x是余锥(cocone)封闭的；对偶地，如果由X，X′∈x可得到X″∈x，则称x是锥(cone)封闭的。

注记1[5]余挠对可以被看作单的双余挠对。

现在引入遗传双余挠对的概念。

2 主要结果

该结果推广了文献[2，Theorem 4.4]。

X→X′→X″→X[1]，

i*X→i*X′→i*X″→(i*X)[1]和j*X→j*X′→j*X″→(j*X)[1]。

假设X′，X″∈x，注意到i*X′，i*X″∈x′和j*X′，j*X″∈x″，由假设可得i*X∈x′，j*X∈x″。显然，X∈x。因此，x是余锥封闭的。同理可得u也是余锥封闭的。

假设X，X′∈x，注意到i*X，i*X′∈x′和j*X，j*X′∈x″，由假设可得i*X″∈x′，j*X″∈x″。显然，X″∈x。因此，x是锥封闭的。同理可得u也是锥封闭的。因此，p是遗传的。

证明：由注记1可知，余挠对可以被看作单的双余挠对，根据定理1，该结果可得。

反过来，得到下面的结果。

(2) 如果p是遗传的，则p′和p″都是遗传的。

证明：(1)见文献[3，命题2]。

(2) 首先证明i*x和i*u既是余锥封闭的又是锥封闭的。

X→X′→X″→X[1]，

i*X→i*X′→i*X″→(i*X)[1]。

假设X′，X″∈i*x，注意到i*X′，i*X″∈i*i*x⊆x，由此可得i*X⊆x。所以，X≅i*i*X∈i*x，故i*x是余锥封闭的。同理可得i*u也是余锥封闭的。

假设X，X′∈i*x，注意到i*X，i*X′∈i*i*x⊆x，由此可得i*X″∈x。所以，X″≅i*i*X″∈i*x，故i*x是锥封闭的。同理可得i*u也是锥封闭的。因此，p′是遗传的。

Y→Y′→Y″→Y[1]，

j！Y→j！Y′→j！Y″→(j！Y)[1]。

假设Y′，Y″∈j*x，由假设和文献[3，命题 3]可知j！Y′，j！Y″∈j！j*x⊆x，由此可得j！Y∈x。所以，Y≅j*j！Y∈j*x，故j*x是余锥封闭的。同理可得j*u也是余锥封闭的。

假设Y，Y′∈j*x，由假设和文献[3，命题 3]可知j！Y，j！Y′∈j！j*x⊆x，由此可得j！Y″∈x。所以，Y″≅j*j！Y″∈j*x，故j*x是锥封闭的。同理可得j*u也是锥封闭的。因此，p″是遗传的。

(2) 如果(x，y)是遗传的，则(i*x，i！y)和(j*x，j*y)都是遗传的。

证明：由注记1可知，余挠对可以被看作单的双余挠对，根据定理2，该结果可得。