创设问题情境培养高中生数学抽象能力——以“抛物线及其标准方程”为例

◎ 孙琪敏

解析几何是高中数学的重要模块。如何提高圆锥曲线学习的有效性？如何在概念课教学中培养学生的数学抽象与逻辑推理素养？本文以沪教版数学教材（高二下）第12章“抛物线及其标准方程”第一课时为例，以问题情境为载体，对主要教学环节进行了如下设计与分析。

一、概念阐释

在《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中明确提出要“创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。”因此，在高中数学概念课的教学中，重要的不是直接呈现数学概念，而是要引导学生如何从数量与数量的关系、图形与图形的关系中抽象出数学概念，并用数学语言予以表征。

问题教学在一般是指不改变教材内容、不打乱教材体系的情况下，在教学过程中把教材以问题的形式向学生提出来，并使其接受后成为自己的问题。其目的不仅在于引起学生注意与兴趣，更主要是激发学生思考，从而培养与发展学生的思维能力。［1］而设置情境问题，用以问代讲的方式，更能激起学生的好奇心，产生认知冲突，引导学生探究问题的本质，从而提高数学教学效率。

二、教学过程

（一）联系生活情境，唤醒学习经验

对于高二学生而言，“抛物线”这一词并不陌生，之前的数学学习中已经出现过两次“抛物线”。第一次接触抛物线是在初三，二次函数的图像是抛物线；第二次是在高一函数应用中，利用二次函数图像求解一元二次方程和一元二次不等式。在此基础上，类比圆、椭圆和双曲线的研究方法，笔者通过阶梯式的问题情境，唤醒学生对二次函数图像的再认识。

师：生活中存在着各种形式的抛物线，上海卢浦大桥的桥梁结构、喷泉中喷射出的水柱、雨过天晴后的彩虹、抛出的篮球所经过的轨迹都是抛物线。抛物线的用途也很广泛，射电望远镜、雷达天线、手电筒和路上随处可见的汽车大灯等，都是利用抛物线的原理制成的。

问题1.1我们学过的数学内容里有没有出现过抛物线？

生：初中学过二次函数，y=ax2+bx+c（a≠0）的图像是抛物线。

问题1.2在二次函数中研究过的抛物线有什么特征？

生：初中的二次函数是轴对称图形，当a>0时开口往上，有最小值，当a<0时开口往下，有最大值。

问题1.3初中阶段，我们主要是利用抛物线图像帮助理解和研究二次函数，而今天这节课，我们要研究的是：具有怎样特征的点的轨迹是抛物线？抛物线上的点有什么规律呢？为什么二次函数的图像恰好是抛物线呢？

【片段分析】首先，用生活情境给学生以视觉上的冲击，使学生产生浓厚兴趣，投入到课堂学习中；同时根据认知结构同化理论，通过引导学生回顾初中二次函数相关知识，将二次函数图像的抛物线与即将新授的抛物线概念顺利对接，纳入学生已有的认知结构。既符合学生目前的学情，又为新知识的形成做了铺垫，同时又引发新的认知冲突：为什么二次函数的图像是抛物线？抛物线上的点究竟有怎样的规律？由此对抛物线定义的研究呼之欲出。

（二）创设问题情境，归纳抽象定义

为了归纳得出抛物线的定义，在此设计两个例题，辅助学生从具体背景中抽象出抛物线的概念，并用规范化的数学语言加以叙述。

问题2.1 抛物线y=x2上任意一点P到定点和到定直线l：的距离有什么关系？

点P到定直线l：的距离为，两个距离相同。

问题2.2 由此，我们能不能说抛物线是到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹呢？

生：不可以，例题只说明抛物线上任意点满足到一个点和一条直线距离相同，并没有说明满足这一性质的轨迹就是抛物线，没有满足曲线上的点与方程的一一对应关系。

生：设轨迹方程上任一点坐标为P（x, y），由，得y=x2。

问题2.4 通过以上两个问题的解答，大家能不能回答我们一开始提出的疑问：具有怎样特征的点的轨迹是抛物线？抛物线上的点有什么规律呢？

师生共同完善抛物线定义，需特别强调定点与定直线的位置关系，若定点在定直线上，则满足条件的动点轨迹是过定点且与定直线垂直的直线。

【片段分析】传统概念课教学在情境引入之后，教师直接给出抛物线的定义，直截了当，但学生对于定义探求还是一知半解。而通过问题2.1和2.2的铺垫，逐步揭示曲线与方程的关系，使得学生对抛物线的定义从模糊到逐渐清晰。在概念逐步形成的过程中，通过提问、追问，强化学生对概念中的“点F不在直线l上”这个限制条件的认识，从而建构完整的抛物线概念，无形中培养学生数学抽象能力。

（三）探索建系方案，求解标准方程

接下来的问题是如何求抛物线方程，仿照研究圆锥曲线方程的步骤，鼓励学生建立合适的直角坐标系求得抛物线方程，并通过比较得出较为简洁的抛物线的标准方程，这是本节课的重难点之一。

问题3.1 如何求抛物线的标准方程？（复习回顾：求曲线方程五步骤）

问题3.2标准方程是最简单的方程形式，怎样建系能使得方程更简单？（学生讨论）

生1：以准线l为y轴，过焦点F与l垂直的直线为x轴建系［见图1（a）］。

生2：以F为原点，以过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于点K［见图1（b）］。

生3：以顶点为原点，平行于l的直线为y轴建系［见图1（c）］。

图1 学生方案

问题3.3如何求出不同坐标系下抛物线方程?（学生活动：分组合作）

设定点F到定直线l的距离为p（p>0），其中F∈l。

（1）以准线为轴

（2）以焦点为原点

（3）以顶点为原点

通过对比，当原点在曲线上时，所求出的曲线方程中不含有常数项，此时的曲线方程是最简单的，且方程中的p也能体现焦点到准线的距离这一几何意义，由此确定抛物的标准方程为y2=2px。

【片段分析】恩格斯说过：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学。”只有引入坐标刻画动点，才能使得用方程描述曲线成为可能，而这一切必须在相应的坐标系中才能完成，所以建立适当的坐标系是推导曲线方程的“头等大事”。［2］通过回顾求曲线方程的基本步骤，让学生讨论有哪些建系方案；通过小组合作的形式得出求出不同坐标系下抛物线方程，这样标准方程的产生就水到渠成，既培养了学生的思维发散能力，也发展了学生的逻辑推理、数学运算等学科核心素养。

（四）运用类比分析，深化分类意识

类比抛物线的四种常见形态，从变换的角度分析问题得出结论，避免重复运算，同时对比记忆，有助于形成良好的知识网络。

问题4.1 椭圆及双曲线各有两种形式的标准方程，那么抛物线有几种呢？能否采用类比的方法直接写出其他抛物线的标准方程？（学生活动：完成表1）

表1 学生活动表

问题4.2 抛物线和其他圆锥曲线相比，有什么异同？

生1：圆与椭圆都是封闭图形，而抛物线和双曲线是非封闭图形。

生2：圆、椭圆、双曲线既是中心对称图形，也是轴对称图形，而抛物线只是轴对称图形。

生3：圆、椭圆和双曲线的标准方程都是x,y的二次形式，而抛物线的标准方程中，有一个变量是一次的。

【片段分析】从数形结合的角度类比分析四个圆锥曲线的图像和解析式特点，帮助学生把握概念本质，以简驭繁，提高学生知识结构的系统化水平，提高以形助数、以数驭形的能力。

（五）巩固知识应用，提升思维品质

回顾本节课的学习内容，请学生进行课堂小结，并完成课堂练习和课后作业。让学生完成课堂小结有助于更好地梳理本节课的知识点，提炼解题方法。教师适当给予补充完善，有助于提高学生分类讨论、数形结合、化归等多种数学思想方法，提升学生思维的条理性和严密性。

三、创设问题情境策略

古罗马教育家昆体良曾提出“教是为了不教”的观点，教学的最终目的不是教师教会学生哪些知识，而是在“传道授业解惑”的过程中，引导学生自己去发现问题，提出问题，进而运用他们的所学知识去想办法解决问题，真正做到实现数学化。因此在高中数学教学中，还可根据教学内容采取以下策略进行问题情境的创设。

（一）联系趣味史实，创设问题情境

高中数学和初中数学相比，知识容量大、难度深，因此很多学生进入高中就对数学有种“畏难”心理，缺乏学习兴趣。因此在课堂上，教师可以适时创造情境，引入一些数学家的趣事和独创数学方法，将数学历史渗透到课堂教学中，如在讲解“等差数列前n项和及其求法”这一节时，教师可以提问“如何快速地计算1+2+3+…+100？”在有些学生还在疑惑时，一部分同学已经能讲出求解方法，这时教师可以顺着学生思路说：大家知道吗？高斯在小学时期就能够用首尾相加求和的方法快速计算出1到100的和。学生被高斯的故事吸引，觉得高斯在小时候就这么厉害，一方面调动了学生数学学习的积极性，另一方面大家也会有疑问，还有其他方法求解吗？

当学生们兴致高昂之时，教师可以设计以下问题情境。

问题1：是否可以继续用高斯求和方法求解1+2+3+…+101？

问题2：化简1+2+3+…+101+…+n。

问题3：{an}是等差数列，求a1+a2+…+an的值。

情境一是对高斯算法的反思与简单推广，让学生对对称性和配对思想有所感悟，为之后的问题情境做铺垫；情境二是将高斯算法从有限项推广到任意项的情形，把具体问题一般化，同时也能考查学生是否掌握首尾配对求和的精髓，能否对n的奇偶进行分类讨论，而有了前两问的铺垫，等差数列求和公式的推导就更容易了。

用数学史中的故事来进行问题的情境创设，不仅能够营造问题探究的氛围，而且可以帮助学生理解数学，提高对数学的宏观认识，使学生借助“美丽的冰冷”，产生“火热的思考”，凸显了数学的文化价值。

（二）结合数学模型，创设问题情境

知识是直接或间接地与实际应用联系在一起的，教学的重要目的之一是培养应 用知识解决实际问题的能力。因此在“双新”背景下，数学建模真正走入了高中数学的课堂，通过选取贴近实际生活的应用性问题，搭建数学与外部世界联系的桥梁，提升学生实践应用能力。

如沪教版《数学》高中必修第四册中的数学建模活动案例二“诱人”的优惠券，在双十一购物节的情境下，某商家推出三种优惠券，分别是满199元减20元、满299元减50元、满499元减110元，这些优惠券之间不可叠加使用，但它们可以与满400元减50元的购物津贴同时使用。此外，这两类优惠券有使用顺序，必须先使用商家优惠券，再使用购物津贴。

现实生活中，学生都有利用优惠券购物的经历，面对上述实际情境，很容易就进行发散性思考。教师此时可以创设以下问题情境。

问题1：小明购买1200元的商品，实际要花费多少元？

问题2：如果你有800元，该怎么用好优惠策略，使得自己购物所享受的优惠最大？

问题3：在上述优惠策略下，是否购买金额越大，享受优惠越高？

在这样的问题情境下，学生易于且乐于去思索，有利于提高学生解决问题的能力，也在无形中培养了数据分析能力和数学建模能力，使学生在情感态度和理解能力方面都能得到发展。