复合圆曲线散索鞍设计位置的改进算法

邓小康，邓恒耀

(武汉科技大学 汽车与交通工程学院，湖北 武汉 430081)

0 引 言

索鞍是悬索桥的重要构件，分为主索鞍和散索鞍。其中：散索鞍是主缆进入锚碇之前的最后一个支承构件，设置在锚碇支架处，主要起支承转向和分散主缆束股使之便于锚固的作用[1-3]。对地锚式悬索桥而言，为更好适应主缆在锚跨的受力，其散索鞍的鞍座多设计为复合圆曲线。散索鞍位置的安放准确度对悬索桥线形和结构受力会产生重大影响[4-7]。同时索鞍设计位置的确定，也是索鞍处主缆无应力长度进行修正的必要前提[8-10]。

对悬索桥鞍座设计位置的计算，学界进行了大量的研究。文献[11]利用主缆与索鞍的力学特性和几何特性进行求解分析，得出单圆曲线索鞍的计算方法，但未提出复合圆曲线索鞍位置的算法；文献[12]将单圆曲线索鞍位置计算推广到复合圆曲线索鞍，但需通过牛顿-拉斐森法求解方程组且对鞍座设计位置约束条件和迭代初值有较高要求，求解过程较为繁琐。

基于此，笔者提出了一种复合圆曲线散索鞍设计位置的改进算法。该算法从索鞍与主缆力学和几何关系出发，利用索鞍和主缆几何条件建立方程，采用二分法求解即可得到复合圆曲线散索鞍的位置，该算法具有计算过程简便，收敛性好等特点。

1 坐标系建立及主缆线形分析

笔者在前期研究过程中，提出了以全桥主缆线形为基础的坐标系Ⅰ和以索段线形为基础的坐标系Ⅱ，并由此重新推导了悬索桥主缆线形的统一悬链线方程[13]。

1.1 坐标系建立

坐标系Ⅰ下的索段示意如图1。图1中：最低点A将跨径为L的主缆划分为左、右两部分，左边s-1个吊杆将主缆分为s个索段，右边t-1个吊杆将主缆分为t个索段。任意索段i承受沿索长均布的自重荷载q和两端吊杆传来的集中力P[14]。取最低点A为原点建立坐标系Ⅰ，其中左半边x轴水平指向左边，右半边x轴水平指向右边，y轴竖直向上。

图1 坐标系Ⅰ下的索段划分示意Fig. 1 Schematic diagram of cable section division in system Ⅰ

坐标系Ⅱ下的索段示意如图2。图2中：对任意索段i，取索段曲线上斜率等于0的点为原点，并建立坐标系Ⅱ，x、y轴的方向同坐标系Ⅰ。此时，索段i将发生平移，平移大小取决于吊杆力引起的主缆斜率改变量。

图2 坐标系Ⅱ下的索段示意Fig. 2 Schematic diagram of cable section in system Ⅱ

1.2 主缆线形分析

对索段i进行线形分析。定义其上任一点斜率为z，无应力状态下沿索长均布的自重荷载为q，主缆截面面积为A，弹性模量为E，主缆索力的水平分力为H。

笔者推导出坐标系Ⅱ下的索段线形方程[13]如式(1)、(2)：

(1)

(2)

2 复合圆曲线散索鞍设计位置计算

笔者将设计基准温度下成桥状态索鞍两侧主缆切点顺延悬链线的交点定义为悬索桥理论顶点(IP点)[15]，并以此为基础讨论复合圆曲线散索鞍设计位置确定的问题。

复合圆曲线散索鞍示意如图3。复合圆曲线散索鞍的鞍座由半径为R1、R2、…、Rn的n段圆曲线组成，各段圆弧对应的圆心角分别为α1、α2、…、αn，索鞍首段圆曲线起始点与该段圆心连线水平角为α0。(为方便描述，图3取复合圆曲线的段数为3段，即n=3)。坐标系Ⅰ(见图1，即实桥成桥状态下)中：已知主缆在散索鞍处IP点的坐标为(x0，y0)，锚跨(右侧)主缆索力的水平分力为H1，边跨(左侧)主缆索力的水平分力为H2，锚跨侧主缆在IP点的斜率为z′0，边跨侧主缆在IP点的斜率为z″0，要求主缆曲线与索鞍在锚跨侧的切点(记为右切点)坐标(x1，y1)，边跨侧的切点(记为左切点)坐标(x2，y2)，鞍座与主缆在锚跨边切点所在圆弧段圆心的坐标(x3，y3)。主缆的横截面面积为A，弹性模量为E，主缆沿索长均布的自重集度为q。

图3 复合圆曲线散索鞍示意Fig. 3 Schematic diagram of composite circular curve splay saddle

记右切点位于第m段圆曲线上，左切点位于第k段圆曲线上，此时应有k≥m。记从右切点到所在圆曲线段圆心的水平距离为Lm，第m段圆曲线圆心到第m+1段圆曲线圆心的水平距离为为Lm+1，第m+1段圆曲线圆心到第m+2段圆曲线圆心的水平距离为为Lm+2；以此类推，直至第k-2段圆曲线圆心到第k-1段圆曲线圆心的水平距离为为Lk-1，第k-1段圆曲线圆心到第k段圆曲线圆心的水平距离记为Lk。

记从左切点到第k段圆曲线圆心的竖直距离为hk，第k段圆曲线圆心到第k-1段圆曲线圆心的竖直距离记为hk-1；以此类推，直至第m+2段圆曲线圆心到第m+1段圆曲线圆心的竖直距离记为hm+1，第m+1段圆曲线圆心到第m段圆曲线圆心的竖直距离记为hm。

记首段圆曲线起始点与该段圆心连线同过该圆心的铅垂线夹角为β1，第2段圆曲线起始点与该段圆心连线同过该圆心的铅垂线夹角为β2；以此类推，第n段圆曲线起始点与该段圆心连线同过该圆心的铅垂线夹角为βn。

记右切点与所在圆曲线圆心连线同过该圆心的铅垂线的夹角为θ1，左切点与所在圆曲线圆心连线同过该圆心的铅垂线的夹角为θ2。

计算第一步应为确定左、右切点分别位于哪一圆弧段上，考虑到悬索桥复合圆曲线索鞍圆弧段并不会太多，笔者采取对所有圆弧段试算的方法来确定左、右切点位置。分成m=1：k=3，2，1；m=2：k=3，2；m=3：k=3共6种情况，计算出左、右切点斜率后再看其是否包含在假定圆弧段内，若满足即为真解，在主缆下方的真解有且只有一组[7]。

笔者以n=3时，m=1：k=3的计算为例来说明其计算过程。

由左、右切点与所在圆弧曲线的关系有式(3)：

tanθ1=z1，tanθ2=z2

(3)

由三角运算得式(4)、(5)：

(4)

(5)

对角度之间的几何关系有式(6)～(8)：

β1=90°-α0

(6)

β2=90°-α0-α1

(7)

β3=90°-α0-α1-α2

(8)

由三角函数关系可得式(9)～(11)：

L1=R1sinθ1

(9)

L2=(R2-R1)sinβ2

(10)

L3=(R3-R2)sinβ3

(11)

将z1代入式(6)可得右切点在右边坐标系Ⅱ下的横坐标，如式(12)：

(12)

则IP点到右切点的水平距离如式(13)：

(13)

将z2代入式(6)可得左切点在左边坐标系Ⅱ下的横坐标，如式(14)：

(14)

则IP点到左切点的水平距离如式(15)：

(15)

有几何关系可得式(16)：

Δx1+Δx2=L1+L2+L3-R3·sinθ2

(16)

将式(4)、(7)～(11)、(13)、(15)代入式(16)可得式(17)：

(17)

分析式(17)可知：其中仅z1、z2为未知数，对给出的z1(给出的z1应大于锚跨最低点斜率，并小于z′0)，取z2的求解区间为[边跨主缆最低点的斜率，边跨主缆最高点的斜率]，二分法求式(17)即可得z2。

上述式(17)是由水平方向几何条件得到的，笔者接下来对竖直方向进行分析。

由三角函数关系可得式(18)～(20)：

h3=R3cosθ2

(18)

h2=(R3-R2)cosβ3

(19)

h1=(R2-R1)cosβ2

(20)

将z1代入式(7)可得右切点在右边坐标系Ⅱ下的纵坐标，有式(21)：

(21)

IP点和右切点的高差有式(22)：

(22)

将z2代入式(7)可得左切点在左边坐标系Ⅱ下的纵坐标，如式(23)：

(23)

IP点和左切点的高差有式(24)：

(24)

有几何关系可得式(25)：

Δy1+Δy2=h3-h2-h1-R1cosθ1

(25)

将式(5)、(7)、(8)、(18)～(22)代入式(24)可得式(26)：

(26)

式(26)中z2可用z1来表示，如式(17)。其余参数均为常数，故式(26)可看为关于z1的一元非线性方程。前面已经求出锚跨主缆最高点和最低点斜率，采用二分法求解式(26)时z1的求解范围，可取为[锚跨主缆最低点斜率，锚跨主缆最高点斜率即z′0]。

求出z1、z2后，由式(3)计算θ1、θ2，判断右切点是否位于第1个圆弧段，左切点是否位于第3个圆弧段，如满足则说明假设正确，求得的z1、z2即为准确值。若不满足，则进入下一工况计算，计算过程和上面类似，仅计算起始位置和终止位置不同，笔者不再赘述。

上述方法最后一次的迭代过程还求出了理论顶点(IP点)到左切点的水平距离为Δx2，垂直距离为Δy2；到右切点的水平距离为Δx1，垂直距离为Δy1，则左切点的坐标为(x0-Δx2,y0+Δy2)，右切点的坐标为(x0+Δx1,y0-Δy1)。

索鞍与主缆在锚跨边切点所在圆弧段圆心的坐标如式(27)、(28)：

(27)

(28)

如此复合圆曲线散索鞍的鞍座位置即已求出。

3 算 例

3.1 算例1

某悬索桥散索鞍的理论顶点(IP点)坐标为(0.0 m，27.0 m)，主缆横截面面积A1=A2=0.152 1 m2，主缆自重集度q1=q2=39 kN/m，弹性模量E=190 000 MPa。在成桥状态线形计算中已计算出索鞍左、右两边主缆索力水平分力H1=38 590.080 15 kN，H2=51 788.210 58 kN，V1=42 537.129 89 kN，V2=24 831.088 38 kN。设索鞍圆弧段N=4，半径R1=6.0 m，R2=5.0 m，R3=4.0 m，R4=3.0 m，α0=60°，α1=30°，α2=30°，α3=30°，α4=30°。

由z=V/H得，z′0=1.102 28(锚跨)，z″0=0.479 49(边跨)。将H和z分别代入式(1)、(2)，可得理论顶点在锚跨坐标系Ⅱ下的坐标为(943.331 18 m，483.965 09 m)，在边跨坐标系Ⅱ下的坐标为(615.684 20 m，145.032 65 m)。

采用笔者的方法计算出索鞍位置与文献[12]进行比较，如表1。

表1 算例1的索鞍位置计算结果Table 1 Calculation results of saddle position in example 1 m

3.2 算例2

某悬索桥散索鞍的理论顶点(IP点)坐标为(9 670.0 m， 39.0 m)，主缆横截面面积A1=A2=0.744 156 m2，主缆自重集度q1=q2= 116.02 kN/m，弹性模量E=200 000 MPa。在成桥状态线形计算中已计算出索鞍左、右两边主缆索力水平分力H1= 833 210.26 kN，H2=994 935.83 kN，V1=42 537.129 89 kN，V2=24 831.088 38 kN。设索鞍圆弧段N=2，半径R1=7.5 m，R2=10.0 m，α0=60°，α1=9°，α2=9°。

由z=V得，z′0=0.841 380 59(锚跨)，z″0= 0.444 093 49(边跨)。将H和z分别代入式(1)、(2)，可得理论顶点在锚跨坐标系Ⅱ下的坐标为(943.331 18 m，483.965 09 m)，在边跨坐标系Ⅱ下的坐标为(615.684 20 m，145.032 65 m)。

采用笔者的方法计算出索鞍位置与文献[12]进行比较，如表2。

表2 算例2的索鞍位置计算结果Table 2 Calculation results of saddle position in example 2 m

通过算例1、2的结果可看出：笔者提出改进算法具有较高计算精度，同时整个计算过程无需任何初值，均可保证求解收敛。

4 结 语

对复合圆曲线散索鞍设计位置计算进行深入研究，提出了一种改进算法。算法以索鞍与主缆的力学、几何关系研究为基础，利用索鞍和主缆几何相容条件建立方程，求解方程即可得到复合圆曲线鞍座设计位置的坐标，算例表明文中的改进算法具有较高的准确性。

文中改进算法计算复合圆曲线散索鞍设计位置时仅需采用二分法求解一元非线性方程即可得到精确解，笔者还给出了二分法求解非线性方程的求解区间，方法对于复合圆曲线散索鞍设计位置的求解均能保证收敛且无需任何初值。文中算法在求解复合圆曲线散索鞍设计位置的同时，还求出了主缆与索鞍切点的位置和斜率。