深度学习：让学生体验结构化思维的价值

王巍

学生在认识公顷之前，已经认识了常见的长度单位和面积单位，对于学生而言，公顷的实际大小不能一目以尽之，较难获得直接体验。如何帮助学生准确建立1公顷的表象？如何将新的面积单位融入原有的认知结构中？如何体现本课的育人价值？细品特级教师夏永立的拓展复习课——“公顷的再认识”，创新的设计体现了他对数学思考的深度和广度，让我感受到了数学的结构美。

一、激活知识经验，让结构悄然发生

《教育研究》杂志社主编袁振国说过：“知识的问题关键不是多少的问题，而是结构的问题，不是教多少的问题，而是怎么教的问题。”长度、面积的概念及度量分别属于一维空间、二维空间大小的认识与测量，既有紧密的内在联系，又有本质的区别。长度单位和面积单位分别是度量边的长短和面的大小的标准，是完全不同的计量单位，而面积单位又是由长度单位推导而来的。在结构教学中，教者的任务之一是激活学生的经验，帮助学生熟悉知识的展开结构，从而让学生的认知结构悄悄然地发生。

【教学片段】

师：要想认识面积单位，首先我们要知道长度单位。我们学习了哪些常见的长度单位？

生：毫米、厘米、分米、米、千米。

师：毫米和厘米之间是什么关系？

生：进率是10，1厘米=10毫米，1分米=10厘米，1米=10分米。

师：如果按照这样的关系，猜一猜米的下一个长度单位是哪一个？

生：千米。

师：跨度太大了，因为1千米=1000米，再猜，米的下一个长度单位可能是谁？（十米）

师：掌声送给他（板书：十米），这也是单位，十米和米之间的进率是多少？接着创造，下一个单位是谁？

生：百米。（师板书）

师：我们在短跑时会说“十米冲刺或百米短跑”，百米也是单位。百米的下一个单位是谁？

生：千米。

师：如果像这样，相邻的两个长度单位之间的进率都是10。

学生在第一学段认识长度单位及长度单位之间的进率时，从字面上理解千米和米之间的进率难度不大。此处，夏老师引导学生猜测“米”下一个长度单位可能是谁？引出“十米、百米”两个长度单位。一方面，让学生不但知其然，而且知其所以然，从形式和本质上充分理解了相邻两个长度单位之间的进率是10。另一方面，为认识新的面积单位做了铺垫，将新概念教学纳入学生已有的长度计量种类的结构中，便于学生形成类比推理和意义联想。

二、探寻结构关联，助结构有力生成

教材上是这样描述1公顷的，边长100米的正方形土地，面积是1公顷。“家常课”的教学中，大部分教师会结合自己学校的操场跑道让学生闭眼想象建立表象。学生暂时记住了公顷和平方米之间的进率，但是“公顷”这个面积单位比较大，要正确把握它的大小是非常不容易的。夏老师的设计能够处理好知识的“整体”与课时的“局部”间的关系，居高临下，对长度、面积的教学进行结构化的设计。了解线、面之间从一维到二维的内在联系。

【教学片段】

师：1厘米究竟有多长？脑子里有印象吗？用手比画一下。

师：有点感觉了，在脑子里要有1厘米、1分米、1米的长度。谁来说一说什么是1平方厘米？

生：边长是1厘米的正方形，它的面积就是1平方厘米。

师：平方厘米的下一个面积单位是谁？（平方分米）

师：它们之间的进率是多少？（100）

师：平方分米的下一个面积单位呢？（平方米）

師：如果按照这样的关系，请同学们接着创造平方米的下一个面积单位？

师：为什么叫平方十米？它有多大？

生：边长是十米的正方形面积就是1平方十米。

师：1平方十米等于多少平方米？（100）为什么？

生：边长是十米的正方形面积是10×10=100（平方米），也就是100平方米。

师：你们见过平方十米这个面积单位吗？今天我们认识了一个新的面积单位，下面我们来感受一下1平方十米的大小。

……

师：现在我们不仅认识了1平方十米，而且知道了1平方十米究竟有多大，那你们猜一猜下一个面积单位究竟是什么？

生：平方百米。（师板书，字体再次加大）

师：那么平方百米和平方十米之间又有什么关系呢？

师：把“平方毫米、平方厘米、平方分米、平方米、平方百米”这5个面积单位放在一只手的5个手指上面，你觉得要把平方百米放在哪个手指呢？

生：（指着黑板上的手指图）小拇指上放平方毫米，无名指放平方厘米，中指放平方分米，食指放平方米，大拇指放平方百米。

师：平方米到平方百米之间的间隔大一些，它们之间的进率就是10000，猜一猜，平方十米应该放在哪里？（放在大拇指和食指之间）

师：平方十米是看不见的，是个隐形的单位，它就叫平方十米（师板书），每位同学伸出小手，指一指每个手指，然后说一说它放上去的面积单位是哪一个？

如果教师仅仅满足于学生知道的事实性知识，满足学生处于一种“了解是什么”，而不是“为什么”的状态，这样的教学必然是一种“肤浅”的教学。夏老师设计的追问凸显从面积单位的概念出发，以长度单位为基本元素，引领学生“创造”面积单位“平方十米”，多次闭眼感受1平方十米的大小。再自然过渡到“平方百米”这个新的面积单位，指出“公顷也叫作平方百米”。面积单位之间进率的习得就不再是模仿和机械记忆，而变得富有理解的乐趣。教学的焦点凝聚于“理解”，折射出夏老师对整个教学目标的宏观视野与整体把握。闭眼想象、合理推算等巧妙的活动帮助学生进一步沟通一维和二维空间的认识，学生逐步构建出“1公顷”的实际表象，进一步认识公顷这个抽象的面积单位，清晰地感受到一系列数学知识中所蕴含的简洁美、对应美。特级教师许卫兵说：“当学习总是在结构关联中展开，当问题解决、探索发现总是不断被结构性的力量‘征服时，结构化思维的种子就会在播种、萌芽、破土、生长后开花结果。”品味这节课，夏老师给我们做了很好的诠释。

三、经历实际应用，悟结构思维价值

正如赞可夫所言：“教学一旦触及学生的心理需求，这种教学就会变得高度有效”。夏老师设计了具有“现场感”的学习场景，让学生在解决实际生活问题的学习过程中，揭开数学神秘的“面纱”，将数学知识固化的形态恢复到鲜活的状态。这样，循着一条有序的思维之路，逐步发展学生的空间观念，使学生的认识从单一到多元，逐渐完成对知识结构、方法结构的体验，从而形成学生独特的学习体悟，具有良好的思维结构。

【教学片段】

师：让我们一起来看看计量单位在生活中的应用吧！

1.马小虎的一段数学日记。

我们一家在1平方厘米的方桌上吃午饭，我一不小心把1平方分米的门牙磕坏了，鲜血直流。妈妈赶紧掏出一块4平方米的手帕，捂住我的嘴巴，爸爸抱起我向占地1平方米的门诊楼跑去。

2.小朋友的一段数学日记。

强强学习的教室面积约为500000平方厘米，感觉明亮又宽敞;课桌的面积为0.4平方米，两个人合用感觉有点挤;强强的橡皮的一个面的面积约为0.12平方分米，是全班最大的……

学生尝试修改。

3.开发商的广告。

小区简介：本小区环境优雅、景色宜人，是绿色花园模范小区。占地面积14公顷，其中公馆、儿童游乐场、老人健身房、网球场、道路等公共设施占地2.5公顷，绿化面积达5公顷。

图图在小区里走了一圈，发现该小区共新建了住宅楼80幢。图图估计了一下每幢楼的长约102米，宽约11米。

师：请你帮图图算一算，小区开发商的广告真实吗？

培养学生结构化思维，需要教师具备一种意识和眼光，更需具备教学智慧。夏老师通过“日记”“广告”等形式巧妙“包装”成练习，让学生在“哈哈一笑”“指指点点”中体会到数学世界里“联系”无处不在，且形式多样。这样的教学设计，基于学生认知特点出发，根据知识内容发展的结构顺序，逐步地、有层次地安排学习过程，并适时呈现，将点状的学习变成“网状”，实现知识之间的“联结”，发展了学生的推理能力，从而富有迁移的价值。以结构化的思维，让学生不断对脑中的知识结构进行梳理、完善，让深度学习悄然发生。小学生的数学学习就像编织一张网，谁编织的网大，后续发展的空间就大。