Hilfer-Hadamard型分数阶微分方程边值问题解的存在性*

段丽静，谢景力，刘晗嫣

(吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首 416000)

1 问题的提出

目前，众多学者对Caputo和Riemann-Liouville型分数阶导数进行了研究[1-5]，发现有时Caputo和Riemann-Liouville型分数阶导数的性质无法准确描述某些物理现象，因此引入一些新的分数阶导数算子来解决这一难题.特别地，Hilfer[6]给出了一种阶为q(q∈(0,1))的p(p∈[0,1])型广义分数阶导数，称为Hilfe分数阶导数.这类导数是在Caputo和Riemann-Liouville型分数阶导数之间进行插值，p=0时，是Caputo型分数阶导数，p=1时，是Riemann-Liouville型分数阶导数. 2019年，Saengthong等[7]研究了一类Hilfer-Hadamard型分数阶微分方程边值问题解的存在性和唯一性；2020年，Wongcharoen等[8]讨论了一类具Hilfer型分数阶导数的分数阶微分方程边值问题解的存在性和唯一性.受这些文献的启发，笔者拟研究如下边值问题解的存在性和唯一性：

(1)

2 预备知识

定义1[9]函数f:[a,+∞)→R的q(q>0)阶Hadamard型分数阶积分定义为

其中log(·)=loge(·).

定义2[9]函数f:[a,+∞)→R的q(q>0)阶Hadamard型分数阶导数定义为

其中：n=[q]+1，[q]表示q的整数部分；log(·)=loge(·).

(2)

(3)

事实上，若p=0，则(3)式变为(2)式.

引理3[13](Leray-Schauder二择一定理) 设X是赋范线性空间，A:X→X是一个全连续算子，记ε(A)={x∈X:x=λA(x),0≤λ≤1}，则集合ε(A)是无界的或A至少存在1个不动点.

引理4[14](Banach不动点定理) 设E是一个Banach空间，D⊂E是闭集，F:D→D是一个压缩映射，即对于∀x,y∈D，有‖Fx-Fy‖≤k‖x-y‖，其中k∈(0,1)，则F在D上有1个不动点.

3 主要结果及其证明

定理1设y∈C([1,e],R)，则ψ∈C([1,e],R)是方程组

(4)

的解，当且仅当ψ满足分数阶积分方程

(5)

由引理2可得

由定义3可得

即

(6)

其中c1，c2是任意常数.通过边值条件ψ(1)=0，可得c2=0，即

接着，通过边值条件ψ(e)=aψ(ξ)，可得

将c1，c2代入(6)式，即得(5)式.相反地，对(5)式求导可得(4)式.证毕.

假设以下条件成立：

(H1)对于∀t∈[1,e]，ψ∈R，存在实常数d1>0，d2≥0，使得|f(t,ψ(t))|≤d1+d2|ψ|.

(H2)M∶=(1-a(logξ)γ-1-3k)Γ(q+1)-3d2>0，a(logξ)γ-1∈[0,1).

(H3)对于∀t∈[1,e]，ψ∈R，存在正常数L，使得|f(t,ψ1(t))-f(t,ψ2(t))|≤L|ψ1-ψ2|.

定理2假设条件(H1)，(H2)成立，则边值问题(1)在[1,e]上至少存在1个正解.

证明这里将利用引理3证明算子A存在不动点.首先，证明算子A是全连续的.设ψn是X上使得ψn→ψ的序列，则对于∀t∈[1,e]，有

由f是连续的可知，当ψn→ψ时，|f(s,ψn(s))-f(s,ψ(s))|→0,于是当ψn→ψ时，‖A(ψn)-A(ψ)‖→0，从而算子A是连续的.设Ω∈X是有界的，则对于∀ψ∈Ω，存在常数L1>0，使得|f(t,ψ(t))|≤L1.设ψ∈Ω，存在η使得‖ψ‖≤η，即

((log e)q+(log e)q+1)，

从而

记

则有‖(Aψ)(t)‖≤N，于是A是一致有界的.

取t1,t2∈[1,e]且t1

于是当t2→t1时，有|(Aψ)(t2)-(Aψ)(t1)|→0，因此A是等度连续的.由Arzla-Ascpli定理可知算子A在Ω上是紧的，即A是全连续算子.

接着，证明集ω={ψ∈X|ψ=μA(ψ),0≤μ≤1}是有界的.设ψ∈ω，对于∀t∈[1,e]，有ψ=μA(ψ)，则由条件(H1)，可得

因此

即

由条件(H2)可知集ω是有界的.根据引理3可知算子A至少有1个不动点，故边值问题(1)在[1,e]上至少有1个解.证毕.

定理3假设条件(H3)成立，且

则边值问题(1)在[1,e]上有唯一解.

|f(t,ψ(t))|=|f(t,ψ(t))-f(t,0)+f(t,0)|≤L‖ψ‖+P1.

(7)

令

首先证明A(Bτ)⊂Bτ，其中Bτ={ψ∈X:‖ψ‖≤τ}.设ψ∈Bτ，则由(7)式可得

于是

因此A(ψ)∈Bτ，即A(Bτ)⊂Bτ.

接着证明A是压缩的.设ψ1，ψ2∈X，则对于∀t∈[1,e]，有

于是

即A是压缩映射的.通过Banach不动点定理可知算子A存在唯一的不动点，故边值问题(1)在[1,e]上有唯一解.证毕.

4 举例

例1求证如下分数阶微分方程边值问题至少存在1个解：

(8)

和

M=(1-a(logξ)γ-1-3k)Γ(q+1)-3d2≈0.315 96>0,

例2求证如下分数阶微分方程边值问题存在唯一解：

(9)

所以根据定理3可知，问题(9)在[1,e]上有唯一解.证毕.