浅谈高中数学概念的教学追问策略

【摘 要】数学概念学习是数学学习的核心，教师要特别重视概念教学。以追问教学策略优化高中数学教学，能帮助学生学好数学。在数学概念教学过程中，进行一般化、比较、特殊化教学追问，教师能更好地教学数学概念，可以帮助学生掌握“四基”和提高“四能”，有利于发展学生的数学学科核心素养。

【关键词】数学概念;教学追问;策略

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）28-0106-02

新一轮高中数学课程改革所要求的教学方法都指向学生数学学科核心素养的培养。如何通过数学课堂教学培养学生数学核心素养，是广大高中数学教师研讨的热点。笔者探讨了以教学追问优化高中数学教学、创新高中数学课堂教学的策略，希望能促进学生的数学学科核心素养得到良好发展。

1   数学概念

数学概念是反映现实世界中的空间形式和数量关系本质属性的思维形式，它是建立数学性质、法则、公式、定理的基础，也是进行计算和证明的基础。由此可知，学习数学概念是学习数学的核心。

美国教育心理学家布鲁纳曾指出：“用基本的、一般的观念来不断扩大和加深知识应当成为教育过程的核心。”中科院李邦河院士也曾说：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧。”数学概念教学的意义不仅在于使学生掌握“书本知识”，更重要的是让学生从中体验数学家概括数学概念的心路历程，体会数学家用数学的观点看待和认识世界的方式，学会用概念思维。

2   教学追问的概念

教学追问是指教师在数学教学中结合教学目标和教学内容，追根究底地提问，并针对学生的回答进一步提问深挖，由此引发学生深度思考。

高中数学教学追问定义包含以下几点：教学追问是提问的一种方式，是教师在初次提问基础上针对学生的回答进一步提问;教学追问是教师结合教学目标、教学内容预设问题的教学方式;教师通过教学追问能引发学生深度思考数学问题。

在高中数学教学中，教师要不断优化和创新教学方法。教学追问作为有效的教学方法，可以帮助学生理解、掌握、应用数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”），提高学生从数学角度发现和提出、分析和解决问题的能力（简称“四能”），进而提升学生的数学学科核心素养。

3   追问策略

教师参考书中谈到：“要让学生真正掌握数学知识，靠掐头去尾烧中段、靠大量解题训练是做不到的，必须让他们经历从数学研究对象的获得，到研究数学对象，再到应用数学知识解决问题的完整过程。”[1]因此，数学概念教学设计应该要有三大环节：概念形成、概念辨析、概念应用。概念形成环节是教师通过典型事例和背景引入，引导学生开展观察、分析、比较、综合等活动，概括出共同本质特征，得到概念的本质属性;概念辨析环节是教师以实例（正例或反例）引导学生分析关键词的含义，使学生明确概念的内涵与外延，即明确概念所反映的对象具有的本质属性，明确概念所指的是哪些对象（即概念的使用范围）;概念应用环节是教师要用有代表性的具体事例引导学生积极思考，其目的是让学生会用定义作出判断和得到性质。

教师参考书中还谈到：“从数学学习、研究过程来看，通过类比、推广、特殊化等，可以有力地促进我们的数学思考，使我们更有效地寻找出自己感兴趣的问题，从中获得研究方法的启示。”[2]在数学教学中，针对数学概念教学设计的三大环节，笔者从一般化、比较、特殊化三个方面进行教学追问。

3.1  一般化

一般化是指“从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合;或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包含该较小集合的更大集合。”[3]英国数学教授梅森（J.Mason）认为，一般化相对于特殊化而言更为困难，但这又应被看成数学创造的一个基本形式，因为数学认识的根本目的就是要揭示更普遍、更深刻的规律。在概念形成的教学环节中，教师提供典型的具体例证，使学生经历具体事例共性的分析、归纳过程，通过教学追问，让学生更容易理解更普遍、更深刻的规律，启发学生用特殊到一般的归纳推理过程，让学生自己概括出共同本质特征，进而抽象出数学概念。这样学生的发现和提出问题的能力能得到提高，学生的数学抽象等数学核心素养也能得到发展。

案例1：在“幂函数”概念形成教学环节中，笔者设计了以下追问：

问题：我们知道可以用函數刻画现实世界中的实际问题，请思考课本中的5个例子。

追问1：我们习惯用x表示自变量，用 y表示函数值，大家怎么用x和 y改写课本中的5个解析式？

追问2：请同学观察这五个函数的解析式，从自变量、函数值和解析式的结构特征来观察它们的共性？

设计意图：教师引导学生观察，通过两个追问，学生更容易概括出五个函数的共同特征：都具有幂的形式，幂的底数是变量，指数为定值，得到概念的本质属性，进而抽象出“幂函数”概念，提升学生发现问题的能力。

3.2  比较

比较是认识事物的一种方法，根据一定的标准，把有某些联系的两种或两种以上的事物加以对照，确定它们之间的异同及相互关系，形成对事物的认识。“有比较才能鉴别”，在概念辨析的教学环节中，教师利用比较的方法进行教学追问，引导学生对照各种概念，寻找它们的异同点，从而深入地分析和确定它们的特殊属性和一般属性，这样可以帮助学生全面、精确、深刻地了解不同概念的本质特征及各概念之间的内在联系。教师把“这个概念与相邻概念之间有何联系与区别”这种问题传递给学生，学生就会围绕这个概念逐步构建起一个概念网络。网络的结点越多、通道越丰富，学生对概念的理解就越深刻。面临复杂问题时，学生就容易产生思维指向，实现转化、迁移，这正是形成数学能力的基本要素。

案例2：在“二面角及其平面角”概念辨析教学环节中，笔者设计了以下追问。

问题：经过探究，我们定义了二面角及其平面角，你能理解它们吗？

追问1：你会比较二面角与它的平面角吗？

追问2：你会比较二面角与异面直线所成的角、直线与平面所成的角吗？

设计说明：通过比较，帮助学生区别概念的本质属性。二面角是由面―线―面构成的面面角，二面角是空间图形;平面角是由线―点―线构成的线线角，平面角是平面图形。二面角与异面直线所成的角、直线与平面所成的角虽然都由“平面的角”来度量，但二面角是由两条射线构成的平面角来度量，后两种角是由两条直线所成的角来度量，所以二面角与后两种角的大小范围不同。这样学生既能清晰地理解概念的连续性和发展性，又领悟到分类与整合、划归与转化的数学思想。

3.3  特殊化

特殊化是指“从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中一个较小的集合，或仅仅一个对象”[3]。在概念应用的教学环节中，教师通过教学追问，要启发学生用数学概念的定义做出判断并得到性质，引导学生会用一般到特殊的演绎推理思考和解决问题，鼓励学生推导多个结论。这样学生在更加深入地理解数学概念的同时，分析和解决问题的能力也能得到提高，最终促进学生逻辑推理等数学核心素养的提升。

案例3：在“单调性”概念应用教学环节中，笔者设计了以下追问。

问题：研究完函数单调性的定义，你会用它作简单判断吗？

追问1：定义域为（?∞，0）∪（0，+∞）的函数 f（x）在（?∞，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递减，能判断出 f（x）是定义域上的减函数吗？请举例说明。

追问2：定义域为R的函数 f（x）在（?∞，0]上单调递减，[0，+∞）上单调递减，能判断出 f（x）是R上的减函数吗？

追问3：你能归纳总结出一些结论吗？

设计说明：以上追问是为了让学生区分“单调递减（递增）”与“减（增）函数”概念，同时也是為引导学生认识函数在不同区间上单调递减（递增），在它们的并集上不一定保持单调递减（递增）的性质。教师要及时鼓励学生应用概念的定义推理证明出性质或结论。

教师要想方设法教好数学，使学生学好数学，“学好数学是发展数学核心素养的前提，教好数学是落实核心素养的关键”[4]。在概念形成环节进行一般化教学追问，概念辨析环节进行比较教学追问，概念应用环节进行特殊化教学追问，教师就能更好地进行数学概念教学，帮助学生掌握“四基”和提高“四能”，促进学生的数学学科核心素养进一步提高。

【参考文献】

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书教师教学用书：数学A版必修第一册[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书教师教学用书：数学A版必修第一册[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]波利亚.怎样解题[M].北京：科学出版社，1982.

[4]章建跃.把数学教好是落实核心素养的关键[J].中小学数学（高中版），2016（5）.

【作者简介】

罗文三（1967～），男，汉族，福建永安人，本科，高级教师。研究方向：中学数学教学。