混合不确定性鲁棒协同优化设计方法

杨丽丽，李文龙，孔祥龙,2，许 浩

(1.上海卫星工程研究所，上海 201109；2.哈尔滨工业大学 航天学院，黑龙江 哈尔滨 150080)

0 引言

多学科设计优化(Multidisciplinary Design Optimization, MDO)通过充分探索和利用工程系统中相互作用的协同机制设计复杂系统和子系统，是大型复杂工程系统的重要设计方法。协同优化(Collaborative Optimization, CO)方法因为其分布式的两级优化结构和高度的学科自治性，在工业界被认为是一种较有前途的MDO方法。然而，在产品的设计、制造和使用过程中，由于知识理论的缺乏、对实际模型的简化及物理量的随机性等，使输出变量不可避免地存在不确定性[1]，这些不确定性可能导致系统构件失效或不能正常工作。消除不确定性因素比较困难，而减小不确定性因素的影响则相对容易，鲁棒优化设计的目的即是在不减少不确定性因素来源的情况下，使系统性能对不确定性因素的变化不敏感，寻找一个同时保证产品性能最优和不确定性环境下鲁棒性的设计点。在复杂工程系统的MDO问题中，鲁棒协同优化(Robust Collaborative Optimization, RCO)方法因具有更贴近工程实际的潜在优势而得到设计者的广泛关注。

对于不确定性设计问题，不确定性因素可以分为输入量的不确定性和模型不确定性，输入量的不确定性主要由输入变量和参数带来，如零件材料、尺寸带有的不确定性；模型不确定性主要来源于建模仿真过程的简化、近似处理，以及计算求解过程中的数值误差。以往有关RCO方法的文献主要在输入量的不确定性下，研究不确定性的传播、系统输出不确定性的评估和RCO问题的求解。输入量的不确定性描述方法主要有概率分布表征方法和区间分布表征方法。DU等在系统不确定性分析方法(System Uncertainty Analysis, SUA)[2]的基础上，采用CO进行了概率分布不确定下的多学科鲁棒设计，提出一种层次型鲁棒MDO方法[3]；XIONG等[4]针对概率型不确定性问题，提出一种基于动态松弛因子的矩配鲁棒协同优化(Moment-Matching Robust Collaborative Optimization, MM-RCO)方法，将系统输出的均值和方差都当作辅助设计变量在系统级和子系统级中进行优化；GU等[5]针对区间分布型不确定性问题，利用最坏情况不确定性评估方法[6]和灵敏度分析方法对MDO问题系统输出的不确定性进行评估，在CO框架中考虑不确定性设计，提出一种基于隐性不确定性传递(Implicit Uncertainty Propagation, IUP)的RCO方法；LI等[7-8]给出一种简化的基于IUP的鲁棒协同优化(Simplified Implicit Uncertainty Propagation Robust Collaborative Optimization, SIUPRCO)模型，将系统输出的不确定量也作为辅助设计变量，提高了鲁棒协同优化的求解效率。然而，有关RCO方法模型不确定性的研究还比较少。HU等[9-10]基于动态的近似模型提出近似模型辅助多目标鲁棒协同优化(Approximation Assisted Multi-objective collaborative Robust Optimization, AA-McRO)方法和新的近似模型辅助多目标鲁棒协同优化(new Approximation Assisted Multi-objective collaborative Robust Optimization, new AA-McRO)方法，通过均方根误差来量化近似建模带来的不确定性，并将其加入系统输出的不确定量评估中，提高了优化求解效率和结果的鲁棒性。

RCO方法是在CO框架上发展的，也具有CO的缺点。针对CO中系统级二次一致性等式约束易导致优化求解困难的问题[11]，学者们在其提出的各种RCO方法中，都采用了CO的一些改进措施，例如在系统级引入罚函数[5]或松弛因子[4,9-10]等。然而，采用这些改进方法求解RCO问题时，很难使一致性等式约束成立，从而使共享设计变量在系统级和学科级之间不可避免地存在差异。在进行RCO设计时，设计者选取的最终解来自系统级的优化结果，而约束函数的鲁棒性评估是基于各子学科的优化结果在学科级进行的。由于共享设计变量在系统级和学科级之间存在差异，使设计者所取得的最终解的鲁棒性受到质疑。在RCO设计过程中，系统级最优解与学科级最优解中共享设计变量的差异为RCO结构框架本身固有的模型不确定性，对于某些学科级最优解位于其可行域边界上的优化问题，该学科级最优解与系统级最优解之间通常有较大差异，这种模型不确定性相对于鲁棒设计中设计变量的不确定性变差已可忽视，因此其对约束条件鲁棒性评估是否产生影响需要评估，而以往各种RCO方法均未对这种模型不确定性进行研究。

本文的主要工作是研究RCO结构框架中的模型不确定性因素对约束函数鲁棒性评估的影响，并对一般RCO方法进行改进，以改善优化结果的鲁棒性。针对区间不确定性下的RCO问题，本文基于松弛因子方法首次分析了RCO设计过程中来源于共享变量不一致性的模型不确定性对子学科约束函数鲁棒性评估的影响，并定义了一个指标因子定量描述该模型不确定性在约束条件鲁棒性评估中的贡献；然后，提出一种混合不确定性鲁棒协同优化(Mixed Uncertainty Robust Collaborative Optimization，MURCO)方法，对子学科中的鲁棒约束函数进行修正，使不确定性因素包括各输入变量的不确定性，以及在RCO求解过程中产生的模型不确定性，从而使RCO中的约束条件鲁棒性评估更加可靠；最后，将MURCO应用到一个卫星结构的鲁棒优化设计问题中，验证了该方法对工程问题的适用性。

1 研究背景

1.1 标准CO问题

多学科CO方法的基本思想是将优化问题分解为系统级和学科级两级结构，一般两级CO问题的系统级优化和学科级优化数学模型如下：

(1)系统级优化问题

minF(z)。

s.t.

(1)

(2)学科级优化问题

s.t.

gi(xLi,xSi)≤0；

xi=[xLi,xSi]。

(2)

1.2 一般RCO问题

鲁棒设计包括目标函数的鲁棒性设计和约束函数的鲁棒性设计，目标函数的鲁棒性要求目标函数对各种不确定性因素的波动不敏感，约束条件的鲁棒性则要求在不确定性因素影响下最优解仍然在设计问题的可行域内[12]。在多学科CO框架中，目标函数的鲁棒设计和约束函数的鲁棒设计分别在系统级和学科级优化过程中进行。参考文献[5]，本文采用基于灵敏度分析的鲁棒优化模型和最坏情况不确定性评估方法来评估函数变量的不确定量，得到RCO问题的数学模型：

(1)系统级优化问题

minFR=ωF+(1-ω)ΔF；

s.t.

(3)

式中：FR为鲁棒目标函数；ΔF为目标函数的最大变差；Δzj为全局设计变量zj的变差，表示输入变量的不确定量；ω为加权系数，0≤ω≤1。在RCO问题中，目标函数的鲁棒性一方面要求目标值取得最小，另一方面要求目标函数的变差取得最小，因此是一个多目标优化问题。因为本文的主要研究内容为约束函数的鲁棒性评估问题，所以将系统级的目标函数鲁棒性简单定义为目标函数值及其变差的加权和。

(2)学科级优化问题

s.t.

gRi=gi(xi)+ΔgRi≤0；

xi=[xSi,xLi]。

(4)

式中：gRi为鲁棒约束函数；ΔgRi为约束函数的不确定量；ΔxSij和ΔxLij分别为子学科i的局部设计向量和共享设计向量的变差；silo为第i个子学科的局部设计变量数。

在式(3)和式(4)中，目标函数和约束函数的变差均采用了灵敏度分析和最坏情况评估方法，近似为一阶泰勒展开式的绝对值之和。在输出变量的变差评估中，采用基于区间分析的表达方式来定义设计变量的不确定量，即定义了设计变量的上、下边界，如Δx∈[-ηx,ηx],η∈[0,1]，η为比例因子。因为式(3)和式(4)中函数变量的不确定量评估采用线性近似的方法，所以适用于设计变量不确定量较小的不确定性优化问题。

1.3 自适应模拟退火算法

模拟退火(Simulated Annealing, SA)算法是一种启发于固体物质退火过程的随机搜索方法，具有参数少和适用性强等优点。在凝聚态物理中，只要初始给定的温度足够高且冷却速度足够慢，缓慢下降的温度就能使金属中的原子在一个相应的低能量基态中重新排列并形成规则的晶体结构。优化过程与金属物质的退火过程非常相似，可以通过采用特定的算法适当控制温度的下降过程来进行模拟退火，从而完成对优化问题全局最优解的搜索。自适应模拟退火(Adaptive Simulated Annealing, ASA)算法[13]在标准SA算法的基础上，采用一套更快的退火程序和一种重退火策略进行自适应调整，改善了算法的收敛速度。ASA算法的迭代过程如图1所示。

2 RCO中模型不确定性的影响分析

2.1 模型不确定性影响的定量化

考虑到CO求解过程中系统级一致性等式约束使得计算比较困难，学者们在提出的各种RCO方法中均采用了一些改进措施，如在系统级引入罚函数或者松弛因子等。然而从优化结果来看，这些方法均对系统级一致性等式约束进行了松弛，很难完全消除共享设计变量在系统级与学科级之间的不一致性。在RCO框架中，约束函数的鲁棒性评估在学科级中进行，而共享设计变量的最优解取自系统级的优化结果，设计者关注的也是最终由系统级得到的优化解是否最优且鲁棒。在学科级鲁棒设计问题的评估与优化过程中，由共享设计变量不一致性带来的模型不确定性可能会对约束函数鲁棒性评估产生很大影响，使得约束函数鲁棒性评估的精确性与所得最优解的有效性受到质疑。

为了分析约束条件鲁棒性评估的精确性，需要在优化过程结束后通过系统分析对最终优化解的真实鲁棒约束函数值进行校核。鲁棒约束函数的优化值与系统分析值之间的偏差可以量化为

(5)

(6)

(7)

2.2 算例分析

s.t.

g2=(x2-2)2-x1≤0；

-10≤x1,x2≤10。

(8)

采用CO框架可以将问题(8)分解为1个系统级和2个学科级优化问题，为了避免CO系统级收敛困难的问题，本文在系统级采用固定松弛因子的方法，设置松弛因子ε=0.000 5，则其RCO模型描述如下：

(1)系统级优化问题

minFR=ωF+(1-ω)ΔF；

s.t.

z=[z1,z2]。

(9)

(2)子学科1优化问题

s.t.

gR1=g1+ΔgR1≤0；

x1=[x11,x12]。

(10)

(3)子学科2优化问题

s.t.

gR2=g2+ΔgR2≤0；

g2=(x22-2)2-x21；

x2=[x21,x22]。

(11)

表1 RCO方法的优化结果

表2 RCO方法的鲁棒性评估分析结果

3 混合不确定性鲁棒协同优化方法

多学科CO设计问题很难消除系统级与学科级之间的不一致性，因此这种模型不确定性不可避免，应该作为鲁棒优化设计时考虑的不确定因素。针对第2章分析的模型不确定性对约束函数鲁棒性评估精确性产生影响的问题，本文在文献[15]的基础上提出一种MURCO方法，对学科级的鲁棒约束函数表达式进行修正。

3.1 新的学科级优化问题表达式

在MURCO结构框架中，当计算学科级约束函数鲁棒性变差时，对不确定性因素来源的考虑更加全面，其不仅包含输入变量的不确定性，还包含代表优化过程中共享设计变量不一致性的模型不确定性，即在子学科的约束函数鲁棒性变差表达式中补充了由共享设计变量不一致性引起的约束函数变差，其评估方法也采用了基于一阶泰勒级数展开式的灵敏度分析方法，同时在评估由设计变量不确定性引起的约束函数变差时，采用了系统级的共享设计变量变差Δz*替代学科级的对应值ΔxSi，以尽可能保持系统级与学科级的一致性。修正后的子学科鲁棒约束函数表达式描述如下：

(12)

s.t.

xi=[xSi,xLi]。

(13)

3.2 算例分析

表3 MURCO方法的优化结果

表4 MURCO方法的鲁棒性评估分析结果

4 MURCO在卫星结构优化上的应用

随着现代卫星系统平台规模的日益增大，结构优化设计成为现代卫星系统设计的重要技术，除了结构轻量化要求外，还对卫星发射阶段的结构强度和模态特性提出了要求。卫星结构通常有很长的服役期，而且工作环境复杂多变，其在设计和工作中都存在很多不确定性因素，为了保证长期正常工作，设计者在进行结构设计时必须考虑不确定性因素对结构性能的影响，开展卫星结构的鲁棒性优化设计。多学科CO方法因其分布式的两级优化结构和高度的学科自治性，在卫星系统的优化设计问题中已经得到广泛应用[16-19]，然而采用RCO方法提高卫星系统优化设计结果鲁棒性的研究还不多见。本文将多学科鲁棒优化设计理念应用到某卫星结构优化问题中，同时验证MURCO方法的工程适用性。

4.1 卫星结构优化问题的描述

本文考虑卫星结构的模态特性和静态载荷下的力学特性两个子学科对卫星结构进行多学科鲁棒优化设计。某卫星结构的有限元结构模型如图2所示，通过有限元分析得出卫星结构的模态特性，以及某一工况下的静力学特性，建立优化问题的简化数学模型如下：

minF=M。

s.t.

g1=σmax-[σ]≤0；

g2=dmax-[τ]≤0；

g3=[fx]-fx≤0；

g4=[fy]-fy≤0；

g5=[fz]-fz≤0；

x=[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9]。

(14)

式中：目标函数为结构质量M最小化；σmax和ωmax为静力学分析得到的结构最大正应力和最大位移，[σ]和[ω]为相应的许用应力和许用位移；fx，fy，fz分别为模态分析中卫星结构的x，y，z方向一阶基频，[fx]，[fy]，[fz]分别为其下限；设计变量x1～x9为卫星结构中重要构件(舱板和承力梁)的尺寸参数。

4.2 RCO数学模型

采用RCO方法可以将问题(14)分解为一个系统级优化问题和两个学科级优化问题，即静力学子学科和动力学子学科，g1和g2为静力学子学科的约束条件，g3～g5为动力学子学科的约束条件，x1～x4为共享设计变量，x5，x6为静力学子学科的局部设计变量，x7～x9为动力学子学科的局部设计变量。为了进一步体现一般RCO方法中的约束函数鲁棒性评估问题，对问题(14)进行鲁棒设计时只考虑了共享设计变量的不确定性，其变差设为Δx=±0.01x，在系统级也采用松弛因子方法，并分别采用一般RCO框架和本文提出的MURCO框架对建模进行求解，其中采用MURCO框架的卫星结构数学模型描述如下：

(1)系统级优化问题

minFR=ωM+(1-ω)ΔM；

s.t.

z=[z1,z2,z3,z4]。

(15)

(2)静力学优化问题

s.t.

x1=[xS11,xS12,xS13,xS14,x15,x16]。

(16)

(3)动力学优化问题

s.t.

x2=[xS21,xS22,xS23,xS24,x27,x28,x29]。

(17)

4.3 优化求解及结果分析

在系统级优化问题中，采用全局ASA算法分别对一般RCO框架和MURCO框架下的优化模型进行求解，通过500次迭代后，得到优化结果及其系统分析结果如表5～表7所示。

表5 RCO方法和MURCO方法的优化结果

表6 RCO方法的鲁棒性评估分析结果

表7 MURCO方法的鲁棒性评估分析结果

由表5可见，通过两种RCO方法和全局ASA算法，上述卫星结构的鲁棒优化设计问题得到了与目标函数值非常相近的全局最优解，然而从约束函数的鲁棒性评估分析结果来看，两种方法有很大差别，如表6和表7所示。采用一般RCO方法求解时，在两个子学科的约束函数鲁棒性评估结果中，模型不确定性带来的约束函数变差都占有较大比例，尤其是非线性较强的动力学子学科的约束函数，模型不确定性产生的最大约束函数变差达到了由设计变量不确定性所引起变差的14.937%，再次证明了系统级与学科级不一致性对约束函数鲁棒性评估的影响不可忽视。当考虑模型不确定性影响，并采用MURCO方法求解时，优化结果与系统分析结果之间的偏差明显降低，相对于设计变量不确定性引起的变差，偏差的最大值不超过变差的1%。优化结果与系统分析结果之间的偏差不能被完全消除，是由于在评估模型不确定性引起的约束函数变差时采用了基于一阶泰勒展开式的灵敏度分析方法，该方法对非线性约束函数不够精确，仍然残留了一定模型误差，然而由表7可见，该误差基本被降低到可以忽略的范围内。因此，本文所提MURCO方法对改善RCO问题中约束函数鲁棒性评估的精确性非常有效，而且适用于具有一定非线性的工程优化问题。

5 结束语

基于罚函数方法、松弛因子方法等改进措施的RCO方法，在某种程度上均对系统级一致性等式约束进行了松弛，导致优化结果中系统级共享设计变量与学科级之间存在一定差异，给鲁棒优化设计带来了一定模型不确定性。本文首先通过采用松弛因子方法和ASA算法对一个数值算例进行RCO求解，分析了该模型不确定性对输出变量鲁棒性评估的影响，得到的优化结果表明，这种模型不确定性使约束函数鲁棒性评估产生了很大偏差，在鲁棒优化设计过程中不应被忽略。

为了改善RCO结果的鲁棒性，本文基于一阶泰勒级数展开式的灵敏度分析方法，提出一种MURCO方法对子学科鲁棒约束函数的表达式进行修正，使鲁棒性评估过程中的不确定性因素不仅包括各输入变量的不确定性，还考虑了CO求解过程中产生的模型不确定性，采用该方法求解分析数值算例，能够显著减小鲁棒约束函数的系统分析值与优化值之间的偏差，使其均不超过输入变量不确定性带来的约束函数变差的0.1%。

最后，本文将MURCO方法应用于一个卫星结构的优化设计问题，并基于松弛因子方法和ASA算法进行求解，得到一个满意的鲁棒最优解。相对于一般RCO方法，MURCO方法显著提高了约束函数鲁棒性评估的精确度，即使针对动力学子学科中部分非线性较强的约束变量，也能将其鲁棒约束函数的系统分析值与优化值之间的偏差降低到可以忽略的量级，从而验证了MURCO方法的可行性和工程适用性，为复杂系统的多学科鲁棒优化设计提供了一个有效且可靠的方法。

虽然MURCO方法在提高约束函数鲁棒性评估精确性上表现出了较好的潜质，但是当复杂系统优化问题包含更多子学科和耦合变量，且系统输出具有高度的非线性时，MURCO方法的适用性还需进一步研究。将来的研究将考虑在求解复杂系统优化设计问题时，将RCO框架与高效代理模型结合，同时考虑输入量的不确定性和各种模型不确定性，探索不确定性的精确评估方法，研究适用于大型复杂工程系统更高效、更精确、更稳健的优化设计方法。