“平行线的判定与性质”单元教学设计

陈建豪

摘  要：在教材的结构体系下，基于单元整体设计的视角，对章节内容进行重新整合，按先后顺序划分为“相交线”和“平行线”两个自然单元，“平行线的判定与性质”作为一个整体是第二单元的内容. 本单元用2课时进行新知教学，让学生在一个逻辑连贯的学习过程中，在统一的数学思想方法引领下，一气呵成地完成“定义—判定—性质”的学习过程，从而形成完整的知识结构.

关键词：平行线;判定;性质;单元教学设计

一、内容和内容解析

本单元的教学内容选自沪教版《九年义务教育课本·数学》七年级第二学期（以下统称“教材”）第十三章“相交线  平行线”，所属板块“图形与几何”. 本章之前已经研究了点与直线的位置关系，抽象出了直线、射线、线段、角等基本概念，也得到了线段和角这两个基本几何量. 在此基础上，本章着重用推理的方法研究平面内直线之间的位置关系.

在平面内的直线中，位置关系可以分为两类：一类是相交，另一类是平行. 在前一节课中，师生已经从一般到特殊地研究了平面内两条直线的相交关系;研究了三条直线位置的一般关系——相交关系，借助“三线八角”模型，学习了同位角、内错角和同旁内角.

本节课，将继续沿着从一般到特殊的思路，研究三条直线位置关系的特例——一条直线与两条平行直线相交.

平行线的研究是对图形关系特例的研究，其研究的基本思路是：认识平行线的概念;探索平行线的判定与性质.

研究内容：从平行线的概念出发，研究平面内一条直线与两条平行线相交这一特殊的“三线”位置关系和这条直线与两条平行线相交所成的“八角”之间的大小关系，以及这两者之间的逻辑联系.

研究方法：借助直观想象发现结论、提出猜想，并初步运用演绎推理尝试说理;通过考察判定方法的逆向问题提出性质的猜想，并予以说理验证.

平行线是初中阶段研究图形关系，并用逻辑推理的方法建立命题之间联系，形成局部知识体系的初步实践. 对学生数学抽象、直观想象和逻辑推理能力的发展及形成研究图形关系的一般观念具有重要的启蒙作用. 本单元知识的逻辑基础是平行线的判定方法1，从判定方法1出发，可以得到判定方法2和判定方法3;从判定方法1的逆命题出发，可以得到性质1，并进一步得到性质2和性质3.

二、教学目标

目标1：知道平行线的概念及表示方法，通过操作活动归纳平行线的判定方法1;能用平行线的判定方法1推导平行线的判定方法2和判定方法3，并通过说理，初步体验逻辑推理的方法.

目标2：通过操作活动，归纳平行线的性质1;能用平行线的性质1推导平行线的性质2和性质3，并通过说理，进一步理解逻辑推理的表达方式.

目标3：能用平行线的判定和性质，进行简单的推理并解决简单的问题.

目标4：在操作、探究、归纳平行线的判定与性质的过程中，感知同位角、内错角、同旁内角的数量关系与两直线平行之间的逻辑关系，体验从特殊到一般和转化的数学思想，提高观察、分析、归纳、概括能力.

三、教学重、难点

1. 教学重点

（1）能用平行线的判定方法1以说理的形式推导平行线的判定2和判定3，能用判定方法1 ～ 3进行说理，并解决简单问题.

（2）能用平行线的性质1以说理的形式推导平行线的性质2和性质3，能用性质1 ～ 3进行说理，并解决简单问题.

2. 教学难点

探究平行线的判定方法1、性质1，用平行线的判定方法和性质进行说理.

四、教学问题诊断分析

学生在小学阶段通过直观操作的方式学习过平行线，但本单元要求学生初步用推理的方法进行研究. 由于学生的演绎推理经验不多，对推理过程的步骤和要求不清楚，可能导致学生在推理过程中分不清题设和结论. 因此，以判定方法2和判定方法3、性质2和性质3的说理过程为范例，通过适当的讲解和强调，让学生体会到“从哪里出发，依据哪些定理，推出我们所需要的结论”，再通过阶段性小结理清知识的发生、发展过程及其反映出的数学思想方法来进行强化，帮助学生突破难点.

五、教学过程设计

1. 复习引入

（1）两条直线相交：四个角的位置关系、数量关系. 具体教学流程如图1所示.

（2）三条直线相交：三条直线交于一点（类似于两条直线相交）及两条直线被第三条直线所截;类比，引出本堂课的重要研究内容——“三线八角”. 位置关系确定的角满足特殊的数量关系，能否推得两条直线特殊的位置关系呢？具体教学流程如图2所示.

【设计意图】利用相交线探究方法的复习回顾，引出研究“三线八角”中直线特殊位置关系可能的途径.

2. 新知学习

（1）概念學习.

问题：什么叫平行线？

同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.（引导学生分别用图形语言和符号语言进行表述.）

课堂辨析：试判断图3中的两条直线是平行线吗？

（2）发现活动.

操作：画已知直线a的平行线b.

学生自主操作，教师引导归纳操作要点：一靠、二移、三画.

思考：推移三角尺的过程，保持了什么角相等？

再操作：在长方形卡纸上任意剪一个三角形纸板，试着用这样的三角形纸板和直尺推平行线并验证之前画的直线b是否平行于直线a.

师生共同探讨，由“特殊角的位置关系—两条直线的位置关系”，得出平行线判定方法1——两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.

简单地说：同位角相等，两直线平行.（分别用图形语言和符号语言进行表述.）

运用：用推平行线的方法，过直线外一点P作已知直线[l]的平行线.

【设计意图】通过分析平行线的作图过程，归纳出画相等的同位角可以形成构建平行线的方法，引导学生得出“同位角相等，两直线平行”的事实，并通过操作巩固推平行线法.

（3）推理活动.

思考：我们知道，两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角. 那么，除了利用同位角相等判定两条直线平行外，还能有其他的判定方法吗？

推理：猜测并尝试说理，示范完成说理过程.（关注说理的依据，完成板演.）

师生共同探讨，由“角的数量关系—两直线的位置关系”，得出平行线判定方法2——两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.

简单地说：内错角相等，两直线平行.（分别用图形语言和符号语言进行表述.）

【设计意图】通过对说理条件、结论和依据的表述，以及教师板演的形式，演示完整的说理过程，为后续学生以“同位角相等，两直线平行”或“内错角相等，两直线平行”为依据自主探究平行线的判定方法3的说理做好准备.

探究：小组合作，探究同旁内角满足怎样的大小（数量）关系就能推得两条直线平行，并完成说理交流.

平行线判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

简单地说：同旁内角互补，两直线平行.（分别用图形语言和符号语言进行表述.）

【设计意图】学生通过小组合作自主完成平行线的判定方法3的说理，既体会了判定方法之间的内在联系，又强化了对几何说理的条件、结论的辨析，以及说理依据的正确使用.

（4）阶段小结.

三种判定方法的共性与关系.

（5）探究活动（逆向）.

启发：以两条直线相互平行为条件，可以得出什么结论？

探究：首先，根据已有平行线，学生自主构造同位角，并测量其大小;然后，观察教师演示的动态视频，观察得到在被截线平行的条件下，同位角始终保持相等;最后，得出平行线性质1.

平行线性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.

迁移：以平行线性质1为依据，能否通过说理得到平行线的其他性质？学生小组内交流.

平行线性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.

平行线性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.

【设计意图】学生意识到研究问题的条件和结论与之前的判定互换，根据已有经验，容易想到同样借助“三线八角”来研究. 先测量，再利用信息技术引导学生观察，在第三条直线转动的过程中，同位角的相等关系保持不变，得到平行线性质1. 在此基础上，通过说理得出平行线的性质2和性质3.

（6）小结.

强调以“三线八角”模型作为探究前提;简单说明“何谓性质”;明确条件与结论的关系特征（从直线的位置关系到角的数量关系）.

3. 新知巩固

（1）如图4，直线 l 与直线 a，b，c 分别相交，且∠1 = ∠2 = ∠3.

（2）如图5所示.

（3）如图6所示.

4. 自主小结

（1）我们研究的几何对象是什么？研究了哪些内容？

（2）这些知识之间有什么联系？

（3）还有哪些收获和体会？

5. 课后作业

基礎练习：教材第56页第1小题和第2小题;教材第67页第1小题.

拓展应用：青浦是上海之源，据考证，崧泽人是上海最早的祖先. 小林在去崧泽博物馆参加课外实践活动时，看到展品中有一块残缺的石片，经过允许，她拍照重现了石片的示意图（如图7），并尝试补全这

块残缺石片的原貌. 小林和她的小伙伴做了几块黏土模型，勾勒出的示意图如图8 ～ 图11所示. 试用已有知识，帮助小林选出补全效果最好的一块，并说明理由.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.