见树木，更见森林

摘  要：整体观下的“平行线的判定与性质”教学，是站在系统的高度，环顾知识的海洋，注重教学的单元整体性，所谓“见树木，更见森林”;是注重理解知识间的内在联系，由逐一探索走向整体探究，旨在为学生构建关于“平行线”的系统化概貌;利用起承转合的问题串探索数学问题中所蕴含的数学本质与规律，注重问题的层次性、逻辑的连贯性，以构建系统的完整性;培养学生的抽象能力、几何直观能力和推理能力，使学生逐步会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.

关键词：平行线;判定与性质;整体性教学

2021年7月11—18日，第十四届国际数学教育大会（ICME-14）在中国上海华东师范大学普陀校区举行. 笔者有幸在章建跃博士的带领下和团队一起承担了7月15日下午课例的品赏评析与观点分享. 当天的Thematic Afternoon（TA）1是一场彰显中国数学教育的“中国特色主题活动”：一节平面几何课的展示与讨论——“平行线的判定与性质”的整体教学. 本文呈现的正是笔者作为课例点评者的一份讲稿，诚挚地与同仁分享与交流.

感谢陈建豪老师真诚的课堂教学展示，为我们营造了浓郁的数学教育教学研究氛圍，让我们在这个学术研讨的磁场中生发了诸多的思考. 现在，请允许我将基于“平行线的判定与性质”这一单元教学的品赏与评析、感知与感悟，和大家交流，期盼得到思想的碰撞与谬误的指正.

一、整体观下“平行线的判定与性质”的教学理解

“平行线”是平面几何图形的重要基础. 在此，学生将初次进入几何图形系统研究的领域. 此行，有着启蒙、奠基与示范的作用.

藉此，宏观上，学生将初步感受公理化数学思想，并建立几何公理化体系的雏形. 微观上，学生将初步形成图形研究的基本套路和一般方法，体会位置关系与数量关系之间存在的内在联系. 能在不远的将来，将蕴涵其中的数学思想方法，迁移至三角形、四边形、圆、立体几何、解析几何等知识的学习中;迁移至点与圆、线与圆、圆与圆，以及空间里的点与面、线与面、面与面等关系的探索中. 并从中领略、体悟从实验几何到论证几何过渡的过程中，几何说理与逻辑论证的必要性和严谨性.

循此，还可以进一步演绎出平移、移植等重要思想方法. 例如，由平行线引出的平移变换，作为一种基本而重要的变换，在数学知识的学习中具有广泛的应用，而将平移这一方法进一步推广，则又可以得到科学研究中的一种重要方法——移植方法.

《普通高中数学课程标准（2017年版）》强调，要突出数学的整体性，关注同一主线内容之间的逻辑关系，关注不同主线内容之间的逻辑关系，关注不同数学知识中所蕴涵的通性、通法和数学思想. 使学生的学习过程成为一个在通性、通法和数学思想指导下的，具有系统性、连贯性的有机整体. 这些要求同样适用于初中数学教学. 章建跃博士在《数学教育之取势明道优术》一文中也表达了同样的思想：在面对一个新的数学研究对象时，要有“整体观”，要先为学生构建研究的整体框架.

陈老师的课堂，站在系统的高度，环顾知识的海洋，在单元整体性教学一般观念（big idea）的统领下，对学生进行了激趣启智、概貌引介、学法指导等良好行为. 所谓见树木，更见森林;见贝壳，更见大海;见平行线，更见几何图形，更见数学的神奇与瑰丽，更见数学思想方法的深邃与悠远！

二、以问题引领构建“平行线的判定与性质”教学的整体性框架

数学家哈尔莫斯说，问题是数学的心脏. 杨玉东博士也曾经提出，要以本原性数学问题驱动数学课堂教学. 那么，一位教师，如何做到捕捉学习领域的问题关切，并给学生提出精准的问题？陈老师在他的课堂教学中，以起、承、转、合的问题串，探索数学问题所蕴含的数学本质与规律，注重问题的层次性和逻辑的连贯性，以构建系统的完整性.

1. 起——研究对象的自然引入与确定

开课伊始，陈老师提出了本节课的第一个问题：我们是怎样研究相交线的？正如古希腊先哲柏拉图所言，良好的开端是成功的一半. 此问题犹如一石激浪、两指弹音，唤醒了学生对相交线的学习经历和经验. 笔者以为，这不仅仅是本节课学习的认知起点，更为本节课“平行线的判定与性质”研究方法的获得播下了生长的种子.

果然，学生回应频频.

生1：从“角（构成相交线的重要元素）”开始. （邻补角、对顶角—互补、相等.）

生2：位置关系与数量关系的对应，以数量关系刻画位置关系.（本节课的灵魂所在.）

生3：相交—垂直—夹角为90°.（从一般到特殊之辩证哲学观下的研究思路.）

师：类比相交线的研究，我们该如何研究平行线呢？（联想与迁移.）

数学的力量，正在于其思想方法的一脉相承. 陈老师将其贯穿于教学的始终.

2. 承——研究方法的实践思考与形成

承上启下，陈老师抛出了本节课第二个问题：何为平行线？对此，学生拥有小学的习得，还拥有来自生活的众多经验. 在时间和空间的流转中，学生对平行线有着一定程度的感受和了解，而这个看似寻常的问题，将指引学生在理性思考与有序表达的层面，将个体基于平行线的记忆、感觉和理解进行逻辑建构、语言组织和流畅表述，而表述所呈现的文字意蕴，往往有着历史极大的相似性，与历史上平行线的各种定义遥相呼应：等距离（墨子）;不相交（欧几里得）;同方向;无倾斜. 当然，此时陈老师如果能给予学生适当的时间思考、述写、阐述、交流、概括，学生应该会产生更多对平行线的理解. 同时指出，我们现行教材中使用的是欧几里得《几何原本》无交点定义——在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 定义，是图形研究“定义—判定—性质—应用”的开端，是几何公理化体系的逻辑基础. 严格界定的过程，正是培养学生抽象思维的过程，将对学生后续的数学学习和科学研究起到典范与借鉴作用.

平行线文字语言、图形语言、符号语言三种形式的互换表征，乃数学家的行为. 汪晓勤教授在其HPM相关著作中，有关于在数学历史文化视野下的平行线符号典故介绍. 这个平行符号既简洁又形象，是世界通用的语言，但它的确立并非一帆风顺. 先进符号的采用是不可抗拒的历史选择结果，符号化必定是数学发展的重要基础，在很大程度上决定了数学的发展程度. 数学历史文化教育（HPM）对于数学教育教学有着无可比拟的力量.

陈老师提出的第三个问题，是平行线研究过程中的一个核心问题：如何画平行线？此问题简约但并不简单，其彰显着操作背后的数学思考，而且将潜在地激发学生产生新的问题.

（1）如何认识并理解平行线的定义？

（2）如何体现这种无限延伸后“永不相交”的特征与意味？

（3）如何付诸实际操作之中？（包括工具的选择、操作的步骤、蕴涵的数学思想等.）

学生个体对于平行线理解的不同，将导致画法的差异，继而引发画理的细思深究和思维的碰撞互动. 因为学生的诸般画法，彰显着数学理解的准确性，历史进程的相似性，判定方法的自然生成性，基本事实的合情合理性，以及各种判定方法之间的本质关联性. 我们看见，教学中陈老师尽可能地去捕捉、观察学生的各种画图，让其数学思维可视化，以理解学生，并引导教学. 那么，哪些画法是课堂教学中出现比较多的？其彰显了学生怎样的数学思考？

陈老师的课堂：

（1）作垂线、再作垂线.（蕴含着欧几里得《几何原本》第五公设.）

（2）矩形的意味.（刚刚习得的垂线知识.）

（3）旋转的平行线理解.（从平移与旋转的角度理解平行线.）

（4）推平行线：只用一把直尺推. 这是学生潜意识中的理想（平;不倾斜;同方向），但是理想与现实（手会抖移、会有偏倚）有天堑之隔，为了改进，再加一把直尺，陈老师追问：在这个过程中，直尺起到什么作用？移动过程什么保持不变？陈老师引导学生透过现象看本质，用数学眼光观察、用数学思维思考、用数学语言表达，发现——直尺的作用是固定，而且移动过程中保持了一对角不变，而这对角恰是“三线八角”中的同位角.“推平行线法（两把尺子）”自然而来——同位角相等，两直线平行.

直观感知、操作确认、逻辑推理、归纳概括，这是一个了不起的跨越！陈老师在探索中引导学生自然、逐步地获得新知. 但是，值得关注的是，无论是学生画图，还是教师引导，都很难奢望学生仅凭一次画图就能得到结论，一蹴而就、一劳永逸. 关键是要在做数学中积累数学活动经验，并由此获得数学思维能力和数学思想方法.

至此，研究方法初步形成——以角之间的数量关系刻画两条直线的位置关系. 同时，在平行线定义的基础上，构建了平行线判定的基本事实.

3. 转——研究内容的生长拓展与迁移

正如数学家波利亚所说，好问题和某些蘑菇有些相像，他们总是成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能在附近就有好几个.

继往开来，陈老师提出了本节课打开视野的两个问题.

（1）还有其他判定方法吗？——横向，即将发现又一些宝藏！

学生通过前一节课的学习已有“三线八角”的认知. 显然，这个问题会引导学生将同位角的习得自然迁移至内错角与同旁内角的考量. 这个过程的目的虽然在于获得平行线的另外两种判定方法，但更是逻辑推理、论证阐述的良好素材与开蒙启程，同时还可以发现并获得这三类角之间本质的内在联系，即同位角相等、内错角相等、同旁内角互补三个命题中，任意一个命题成立，另外两个命题也成立. 陈老师不妨在探索其他判定方法的过程中，关注这种重要的内在关系并应用之，而不必每次都回到源头重新开始. 如此，不仅事半功倍，更能让学生领略到数学的简约之美. 而且，同样的思路，将在今后诸如圆心角定理、圆周角定理、垂径定理等的学习中得到借鉴与启迪.

（2）逆向思维，我们会发现、获得什么？——纵向，即将开辟另一片疆域！

陈老师启发：尝试着从另一个角度、另一个方向、倒过来思考，以获得平行线的性质. 这可以从画图操作、度量计算、信息技术辅助教学中直观感知，也可以从数学内部生发，条件和结论互换，以揭示性质在本质上即为图形组成元素之间的关系. 这个教学过程的重要性在于拥有数学研究与数学发现的新视角，即逆向思维. 思维的迁移和发散，在此处闪耀着理性的光芒.

还有一点值得关注，对于刚刚接触平面几何的学生而言，解题思路的形成，逻辑推理的符号化表述，一定会存在困难. 为此，在推理过程符合逻辑的前提下，可以适当宽容学生在证明过程中的表述方式，而更多地关注学生对证明本身的理解. 教师严谨示范、学生模仿领悟，蒙以养正！这是一个细水长流、螺旋上升的慢教育的过程.

至此，平行线的定义、判定、性质、应用已经初步形成一个系统而完整的小公理化体系.

4. 合——研究思想的归纳概括与提升

最后，陈老师提出了本节课总结性的一串好问题.

（1）我们研究的几何对象是什么？研究了哪些内容？

（2）这些知识之间有什么联系？

（3）还有哪些收获和体会？

学生的回应很有意味，笔者认为，在“关系”的理解上，起到了真正意义上课堂小结的作用.

学生发现如下.

生1：平行线与之前的角——同位角、内错角、同旁内角，是有联系的.（以数助形.）

生2：同位角、内错角、同旁内角之间可以互推. （本质通透.）

生3：知识之间环环相扣，可以互推. 例如，判定和性质之间的条件和结论.（逆向思维.）

生4：研究判定都归于用数量关系去判定位置关系.（本节课灵魂之所在！）

生5：画平行线的各种方法之間也都有联系.（意蕴无穷……）

生6：知识之间的密切联系.（上升到宏观层面.）

陈老师再一次追问：共性何在？

所有的这一切，都指向：平行线的理解—数量关系确定位置关系—各种方法的本质互通.

三、总结陈词

普鲁斯特在《追忆似水年华》中曾说，真正的发现之旅不在于寻找新的景观，而在于拥有新的眼光（The real voyage of discovery consists not in seeking new landscapes， but in having new eyes）. 整体观下的平行线教学，不仅是对一个新的数学学习内容（平行线）的开启，更要注重理解知识间的内在联系，由逐一探索走向整体探究，旨在为学生构建平行线的系统化概貌. 并且要遵循数学研究对象各要素之间的内在关系，顺应学生数学学习的思维走向，随物赋形、循天而事.

获得、熟记平行线的定义、判定、性质，并能运用于解题固然很重要，但是知识的探究过程及来龙去脉绝不能轻视. 告知（无声的强加），永远比探究简单，但探究中兴奋、挑战与成就的乐趣，也荡然无存. 本节课，学生在陈老师的带领下，重走数学家的探究之路，旨在培养学生像数学家那样思考，是学生再创造的过程. 正如汪晓勤教授在他的著作中所言，在这个过程中，历史上数学家的作图方法如期而至，平行线的判定方法水到渠成，学生扮演了数学家的角色，历史与现实在课堂上实现了精彩的交会！

《小王子》的作者圣·埃克苏佩里说，如果你要造船，不要招揽人来搬木柴，不要给人指派任务和工作，而是要教他們去渴望那广袤的大海. 平行线的研习，不仅是为了在知识的层面获得平行线的定义、判定、性质与应用，重要的是，以此为载体，呵护学生对天地万物的好奇之心，培植学生对自然科学的探究之力，从而使学生拥有对大千世界的品赏之悦，以达至心灵的快乐和精神的富足. 弥足珍贵！此乃数学教学之独特的育人价值所在.

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