数形结合思想在高中数学教学中的应用

胡 军（江苏省扬州市江都区第一中学，江苏 扬州 225000）

高中数学教学中有许多理论化的知识，既包括几何理论知识的学习，如直线与圆的方程、平面向量，又包括概率问题的学习、函数的学习等.数学知识点往往是历代数学家们经过长时间的研究和探索，无数个日夜的潜心计算，最终得出的简洁的数学结论，看似只有简单的几行数字符号，但实际上背后蕴含了巨大的数学体系，这对学生的理解能力要求得十分高，如果只进行单一的知识灌输，那么很难起到一个较好的教学效果，而且如果不能在理解的基础上进行学习，高中生们就很难真正地将公式记忆下来，更不用提将所学知识灵活地运用在实际的解题中，因此，教师可以采用数形结合的教学方式展开教学，帮助学生理解和记忆数学概念.下面，笔者将依据自己在高中数学教学一线多年的经验，就此展开讨论，希望对大家有所帮助.

一、数形结合思想的核心理念

我们都知道，课本上的数学概念多是以公式、符号的形式呈现给学生，乍一看上去让人毫无头绪，无从入手.然而，数形结合思想的核心理念就是将复杂的数学公式转换成可视化的图形，将数字间的关系转变为图形间的关系，如教师可以转变成图形间的位置关系、大小关系等，借助可视化的方式，将虚无缥缈的公式变成可以看得见、摸得着的视觉图片，以帮助教学的开展.

二、数形结合对高中数学教学起到的作用

高中的数学和初中的数学相比有一个跨越式的难度提升，对学生的数学素养有一个较高的要求，因此，教师采用数形结合的教学方式可以带领学生快速体验到高中数学学习的节奏，进入高中数学知识的课堂中.同时，数形结合的教学方式与传统的知识灌输方法相比，结合了视觉，能够帮助学生从多个角度同时理解问题，从而对课本知识有一个更加透彻的理解.除此之外，数形结合的教学方式比较新颖，很容易活跃课堂气氛，营造一个轻松开放的数学环境，这在枯燥的数学学习中能够充分调动学生的学习积极性，让学生有着更高效的学习效率.

三、如何将数形结合思想融入高中课堂中

（一）培养学生数形结合的意识

数形结合首先是一种理念，一种意识，其次是一种学习方法.学生只有先对数形结合的理念有一个具体的认识，让这种方法深入内心，能够不自觉地在平时的学习生活中运用起来，才能真正结合数形来学习.否则，如果只是照猫画虎地单纯运用数形结合的方法，那么很容易浮于表面，学得其形而学不到其意，这样的学习实际上是无效的，不能真正起到良好的学习效果.

由于学生在过去九年的学习经验中大都没有接触数形结合的学习方法，一贯以来运用的都是通过题海战术来加深对数学概念的理解，对数形结合的理解不到位，因此，教师在进行课堂教育之前必须用一定的时间来告诉学生什么是数形结合理论、数形结合理论对高中阶段的数学学习有什么帮助，以及怎样才能真正用好数形结合理论，将其融入平时的学习中.然后，教师可以带领学生用传统的学习方法和数形结合的学习方法分别对一个知识点展开学习，让学生切身体会到数形结合的优越之处，这样一来，在尝到甜头以后，学生也会十分愿意地接受这种新型的学习理念，逐渐培养起学习意识.

那么如何在学习意识和习惯上培养起一个良好的数形结合理念呢？首先不从教学手段方面来探讨，这一点在下一节会进行具体研究.数学的学习大致可以分为三个部分：第一，课前预习；第二，课上学习；第三，课后作业和复习.教师可以先从第一点和第三点入手，帮助学生养成一个良好的学习习惯.

在课前预习阶段，一方面，教师可以对学生做出预习要求，先将本节课的知识点告诉学生，让学生通过自己的理解将数学知识用图像的方式表达出来，先对知识点有一个先决的理解，培养学生养成用图形来帮助自己理解的习惯.另一方面，教师可以根据本节课的知识点给出一个图形化的导入，采用“先图形，后理论”的方法，让学生观察图形，看一看能从这个几何图形中总结出什么规律，尝试将其化简为数学公式或定理.第一种方法的侧重点在于锻炼学生的数学知识把握能力及将符号转换成图形的能力，能帮助学生熟悉从数学定理到数学图形的过程，使学生在脑海中形成数形结合的观念.第二种方法则侧重于培养学生对图形的敏感程度，与第一种方法正好相反，能帮助学生熟悉从数学图形到数学定理的过程.两者都是数形结合学习模式中十分重要的部分，两者相辅相成，能让学生充分地把握数学图形和数学定理间的关系，加深理解，推进教学的展开.

以具体的教学案例来说，在“概率”这个章节的学习过程中，教师可以在课前让学生对班级内其他学生的生日月份进行统计，在得到数据后将其绘制成一张饼图或柱状图，让其他学生从中看出如果从班级里任选一名学生，在某个月的概率有多大.这从数据上可能体现得不是很明显，不能直观地看出来，而当将这些数据汇总成一张图时，事情就变得简单起来，样本数量大的占得饼图比例也大，或者柱状图的矩形高度越高，使得学生几乎不费吹灰之力就能看出哪个月份的概率是最大的，这就是由数学数据到数学图形的过程.反之，教师可以将已经绘制的饼图或柱状图给学生，让学生从中推算出班级里每个月份出生的学生有多少.这样一来，学生会对每个月份人数的大小有一个直观上的认知，如可以了解到1 月份的人多、8 月份的人少等.然后，在进行具体计算的时候，学生会发现结果确实如此，图形和数据完美地对应上，这就是由数学图形到数学数据的过程.在这一过程中，学生既能对课堂内容和教学目标有一个清晰的认识，便于数学课堂的开展，最重要的是能在预习中养成数形结合的学习习惯，在今后的学习中有意识地利用图形结合数据解决数学问题.

（二）深入挖掘教材内容，将教学方案与数形结合配合在一起

教材是高中数学的出发点，学习的方向和重点都是由教材来决定的，因此，要想取得一个比较好的数形结合教学效果，教师首先要从教材出发，深挖教材内容，将其与数形结合的理念合并到一起，用图形的形式来展现书本中的知识点，在备课的时候在教案中加入数形结合的部分，准备一些教学资料.在做好充分的准备之后，教师才能在课堂教学的时候达到游刃有余的程度，学生也可以依靠这些教学信息达到一个更好的学习效果.

从教案的角度出发，教师要在课堂环节中设置结合图形讲解知识的环节，并且最好在整个课堂中都能穿插着数形结合的理念.例如，在教学“集合”这一内容的时候，教材中设置了子集、全集、补集的定义学习，以及交集、并集的集合之间运算关系的学习，乍一看上去十分相似的名词容易一下子让学生乱了手脚，不知道从何开始，形成思维混乱的情况，这时，教师可以将数形结合的教学环节安排在课堂最开始的环节，在学生刚刚接触集合的相关名词时就借助图形来梳理集合之间的关系，帮助学生厘清思路，很好地区分不同术语的区别.例如，教师可以在黑板上画一个大的圆形，作为一个集合A，再在圆形内画一个小的圆形，作为集合B，这时候B是包含在A里面的，是A的“儿子”，因此，这就是子集的含义.然而，圆圈A（也就是集合A）中还有很多不属于集合B的空白区域，这些空白区域帮助集合B补全了集合A，因此，这些区域就是B对于A的补集.这样通过图形来讲解，学生就能对子集、全集、补集有一个很明确的区分.在讲解交集和并集的时候，方法也是大同小异的，教师依旧在黑板上用两种不同颜色的粉笔画两个圆形，代表集合A和集合B，当两个圆形（集合）重叠在一起的时候，它们的一部分交汇在一起，形成了一个新的区域，因此，这个“交汇”的部分就是两个集合的交集.同理，两个集合并排站在一起，它们组成了一个团体，也就是组成了一个大的集合，那么这个由“并排在一起”的集合就称为并集.在这个例子中，原本纠缠在一起十分容易混淆的集合概念，经过几个圆形变得豁然开朗了起来，书本上的数学公式可能无法形成具象化的集合形象，而借助数形结合的方式，学生能够很直观地看到各个集合之间的关系，从而对集合的知识有一个比较深刻的理解.这正是数形结合理念的优势所在.

教学资料的辅助同样可以帮助学生利用图形的方法来看待数学问题，教师可以为学生展示图片形式的概念知识，这样在讲解理论的时候，学生可以对照着相关的图形来学习，有助于学生更快地理解其中的关系，取得一个事半功倍的学习效果.正所谓双拳难敌四手，双管齐下的学习方式肯定能取得更好的成效.

（三）借助现代化的教学工具，培养学生数形结合的意识

随着科技的不断发展，高科技的教学设备层出不穷，这些设备大都通过多媒体器材来将教学内容可视化，提升教学质量，而这正和数形结合的教育理念不谋而合，两者结合在一起肯定能碰撞出美妙的火花，产生奇妙的化学效应.因此，教师要积极地运用这些现代化的教学工具开展数形结合的数学课堂活动，具体来说有以下两点好处：第一，这些教学工具有着良好的图形展示性能，往往可以将图形的展示效果提升一个档次，直接提升数形结合讲解的课堂教学效果.第二，这些比较新颖的高科技产品总是备受年轻人的喜爱，学生会对这样的教学形式产生浓厚的兴趣，从而积极地投入数学的学习中.俗话说，兴趣是最好的老师，在兴趣的驱使下，学生能够提升对所学内容的好奇心，自觉地想要探究其中的奥妙，教师也正是利用了这一点，在课堂上营造一个饱满的学习氛围，对教学质量的提升有很大帮助.

举例来说，教师可以利用动画的方式展现图形教学资料.在传统的数形结合教学模式中，教学资料一般都是静止的图片，这些图片在展示一些数字关系、图形关系，如概率论，流程图等方面的时候，会有一个比较好的效果，而在展示一些需要有一个变化过程的知识概念的时候，往往就显得力不从心，不能取得一个好的教学效果.

在进行高三圆锥曲线的学习时，我们都知道圆锥曲线是高考的重点，也是几何中难度相对较大的一个部分，以椭圆为例，椭圆中长轴、短轴以及焦点对所有的椭圆题目解题都有着很重要的作用.然而，学生在一开始很难理解椭圆中的长轴、短轴、焦点是什么，虽然圆形是椭圆的特殊情况，但圆形相对来说一目了然，圆心表示中心点，半径表示点到圆的距离，很容易就可以根据半径和圆心做出一个圆形来，但椭圆这个看上去“奇奇怪怪”的图形不同，使得学生很难通过理解来看懂这些关键部分都是怎么来的、代表什么意思，以及它们是怎么绘制出一个椭圆的.这时，教师可以借助动画的形式来绘制椭圆.椭圆实际上是到两个点距离之和相等的点的集合，实际操作可能比较难，但是用动画的形式就可以轻松地描述椭圆的绘制过程，这时，学生在看过以后就会恍然大悟.如果通过理论的讲解，那么学生可能很久都无法听懂，但是通过数形结合的方式，学生一下子就可以看懂，教师教学的压力也变得小很多.在这个基础上，将椭圆的两个焦点合并到一起，重叠成一个点，这时，椭圆就变成了圆，“2a”就变成了直径，学生对圆和椭圆之间的关系也能得到清晰的认识.

（四）从生活实例的应用中，帮助学生学习

高中数学教师应该明白，在教学时既要传授学生数学概念，更要让学生了解学习数学的方法，感受数学的精神实质，让他们明白用数学可以解决日常生活中面临的不同问题，了解数学的来源，了解数学的日常应用，充分向学生传授数学文化，让越来越多的学生认识到数学不仅仅是数字，更是一种独特的数字文化和数字魅力.为了提高教学质量，高中数学教师有必要结合课程，让学生意识到每天学习的数据和公式永远不会枯燥，而是具体的，可以在日常生活中得以应用.任何一种理论知识从来都不是空穴来风的.它有一定的发展源泉，也是在现实生活中总结出来的，再衍生出科学的智慧.如果教师把这种智慧变成填鸭式的教学，那么会使学生既不理解这种成就的智慧，又不理解其背后的意义.教师将专业的例子和日常生活中的例子引入课堂，能让更多的学生感受到数学的魅力.从教学结果分析，教师可以将数形结合的思想充分引入课堂，让学生了解数学中的所有理论知识，而数学理论本身来源于现实.学习数学的最终目的是将数学理论回归现实生活，应用数学知识解决日常生活中可能遇到的问题.数学建模思想可以帮助学生逐步将大部分数学理论知识转化为具体的数学模型，让学生利用这个模型理解理论知识所包含的实际问题，并将这些知识应用到日常生活中.在生活中，家长可以让学生了解学习数学的意义和目的，帮助学生提高学习数学的兴趣，使学生的创新意识不断得到提升.

四、结语

数学作为一门理论性比较强的学科，往往会存在许多很难理解的知识点，数形结合思想能很好地将数学符号转化为具体的图形，这样一来，学生通过理解图形之间的关系能更加容易地理解数学知识，教师利用数形结合的理念也能有效地提升高中数学的教学效果，提升学生的数学素养，培养学生的解题能力.