挖掘常微分方程课程的思政教育元素

窦霁虹

摘  要：常微分方程课程是数学类专业的重要平台课程。文章从培养学生专业兴趣、科学研究思维模式、胸怀大志的爱国情怀和团结协作精神四个方面，深度挖掘课程思政教育元素，以案例为载体，将其有机地融入课程教学，使学生在解决问题的过程中学习知识、锻炼能力、提升素质。课程思政教育在一流课程建设中起到重要的作用。

关键词：课程思政;常微分方程;教学案例;一流课程建设

中图分类号：G642 文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2021）33-0109-04

Abstract： Ordinary differential equation course is an important platform course for mathematics majors. We deeply digs the ideological and political education elements in courses from four aspects， including cultivating the students' professional interests， the thinking mode of scientific research， the patriotic feelings with ambition and the spirit of unity and cooperation. By taking the case as the carrier， the elements are organically integrated into the course teaching， so that students can learn knowledge， exercise ability and improve their quality in the process of solving problems. Curriculum ideological and political education plays an important role in the construction of first-class curriculum.

Keywords： ideological and political education in courses; ordinary differential equation; teaching cases; first-class course construction

常微分方程是伴隨微积分产生和发展而成长起来的一门数学分支，从诞生之日起就显现出它在应用上的重要性。常微分方程课程已经形成较为完整的理论体系，是数学类专业的平台课程。课程培养的知识目标是学生不仅掌握理论知识的数学思想，还要学会发现问题、分析问题及具有解决问题的思路及方法;能力目标是锻炼创新思维和应用意识;素质目标是使学生成为有道德、有文化、有理想的社会主义新型人才。如何将立德树人贯穿到常微分方程课程教学过程之中，挖掘课程思政教育元素，提升教育质量，是一线教师教学研究的重要课题，也是一流课程建设的重要组成部分。我们以培养学生专业兴趣、科学研究思维模式、胸怀大志的爱国情怀和团结协作精神四个方面为目标，以设计教学案例为切入点，将思政元素融入到案例或案例实施过程之中，使学生在完成案例的过程中学习知识、锻炼能力、提升素质。

一、培养学生对数学的学习兴趣

课堂是教师与学生互动的主要阵地，是学校教育的主战场，在课堂上教师不仅要教学生课程知识，还有责任给予学生身心关怀和心理教育，逐步使学生形成对世界的正确认识。教师通过精心设计为教学服务的问题或案例，使学生在解决问题的过程中理解数学的意义，热爱自己的专业，努力学习，服务于社会。

（一）新概念学习时设计实际背景案例

从新概念引入时就要牵住学生的注意力，设计一些有趣的数学背景案例，使学生了解数学问题的来龙去脉，更深刻地理解数学概念，增强学习数学专业课的动力。比如，从研究自由落体运动出发引入微分方程的解、通解和特解的概念;从研究数学摆的运动方程出发引入常微分方程及其初值问题的概念等。

（二）课程内容学习时设计系列小案例

课程理论知识学习时要适时提出一些能够展示学生能力的问题或案例，使学生在做题过程中体会到自己的价值，更加努力学习，养成良好的数学思维，更加热爱自己的专业。

在学习高阶线性齐次微分方程解的结构时，教师先要设计简单易入手的例子，如，“二阶线性齐次方程x"+x=0的解具有什么性质？”让学生讨论或独立完成。学生通过观察和尝试，容易找到该方程两个线性无关的解sinx、cosx，又可以验证它们任意线性组合也是方程的解，进一步发现并得到结论：任意高阶线性齐次方程都具有这样的线性性质。大部分学生都能理解并做到这些，有了很大的信心渴望继续学习。接着，再提出一个有深度的问题：“以上二阶线性齐次方程还有其他形式的解吗？”可以通过三人一组的讨论相互带动完成。利用泰勒展式可以证明该方程的任意一个解都可由线性无关的解线性表示没有其他形式的解了。引导同学们得到重要结论：“二阶线性齐次方程x"+x=0的所有解关于函数的加法与数乘构成了二维线性空间。”同学们顺着这个思路就自然会提出问题：“是否任意n阶线性齐次方程所有解构成的集合关于函数的加法与数乘构成了n维线性空间？”学生学会自己提出问题，带着问题去学习，层层深入直至问题本质，这期间有同学之间的相互竞争，也有相互带动，有动力有激情，逐步使学生养成良好的思考方式，喜欢这样的学习，喜欢上这样的课程。

（三）课程知识应用时设计建模案例

课程知识应用时融入数学建模案例，能使课程内容更加丰富多彩，使课程教学充满生机，也让学生感受到数学并不是空泛的理论，它与实际问题有密切的联系，使学生从思想上认识数学的真正含义，提高学习数学课程的信心，树立学以致用的思想。比如，在学习一阶线性方程的应用时，引入“某地区人口的预测与控制问题”“油画的甄别问题”“碳-14推测年代问题”等有趣的建模案例;在学习微分方程组的应用时，引入“传染病模型问题”“醉酒驾车问题”“杀虫剂的使用效用问题”等与实际密切相关的建模案例。

（四）课后练习和思考时设计个性化案例

个性化案例的设计，旨在丰富教学内容、发挥学生特长、激发学生兴趣、提升课程的研究性与挑战度。使学生利用课余时间自主学习，满足对知识的更高追求。

思考题举例：在学习一阶线性非齐次微分方程求解时，不能不提到一个有重要意义的方程，即黎卡提方程，该方程在已知一个特解的条件下，可以通过变量变换转化成伯努利方程，从而可以化成线性方程求解问题，但有些黎卡提方程，比如：=x2+y2，被证明其解不能用初等函数及初等函数的积分形式来表示，这就意味着有一部分常微分方程不能用初等积分法求解，在这里我们就可以设计个性化问题：“能求解的黎卡提方程具有什么特点？”“查阅资料，关于黎卡提方程都有哪些重要的结果？”以小论文形式完成，让学生们初步尝试科学研究过程，开阔学习思路，产生兴趣继续深入研究。

讨论题举例：初值问题解的存在唯一性定理是常微分方程课程中的重要定理，在整个微分方程领域的研究及应用中起到理论支撑作用，在学习这些内容时，不仅要让学生理解定理意义、证明推导及其应用，还要教会学生以研究观点审视问题，因此，设计案例“以不动点视角研究解的存在唯一性定理”，以独立或三人一组讨论完成，并撰写论文，使学生主动学习不动点相关理论，提升学习和研究能力，感受科学研究魅力。

课后练习题举例：常微分方程课程中的代表性科学家很多，如柯西、欧拉、刘维尔、伯努利、黎卡提、李雅普诺夫等，在课后练习时，适时引入科学家故事，让学生了解科学家的事迹及取得的成就，教育学生学习科学精神，热爱科学研究。在学习伯努利方程时，它虽不是线性方程，但它可以通过适当地变换转换成线性方程，从而可以求解。在这里设计了一个课后练习，“请查阅伯努利的科学贡献”，学生通过查阅资料得知伯努利是一个家族，是17-18世纪瑞士的数学家族，祖孙三代出过十余位数学家和物理学家。最杰出的是丹尼尔伯努利（Daniel Bernoull），他解决了微分方程中的黎卡提方程，他的贡献涉及天文学、力学、磁学等多个方面，曾十次获得法国科学院颁发的奖金。最值得称颂的是丹尼尔伯努利与欧拉的友谊，欧拉曾经是丹尼尔的助手，他们是最亲密的朋友，也是竞争对手。他们通信40年，在通信中，丹尼尔向欧拉提供最重要的科学信息，欧拉以杰出的分析才能和丰富的工作经验，向丹尼尔提供最及时的帮助，被誉为“科学通信”。教育学生学习科学家的科学奉献精神，引导学生理解“近朱者赤”的观点，要积极上进，锐利进取。

开放性问题举例：请观察草坪的拐角踩踏曲线的形状，建立踩踏曲线的数学模型，解释为什么会形成那样一种弧线。这个问题没有确切的答案，希望同学们发散思维，广泛思考，做出合理解答。有的说是圆弧的一部分，有的说是最速降线，有的说“沉没成本”原理，有的说“破窗理论”思想，打开了学生的思维，激发了学生的好奇心，训练了学生探索能力、解决实际问题的综合能力，同时教育学生遵纪守法、增强保护环境的意识，理解自然与人类命运共同体的理念。

二、培养学生科学研究的思维模式

每一门课程都有其自身的特点，都有完整的课程体系与结构。教师要通过课程教学，总结凝练课程中的研究思想和方法，将其渗透到教学过程中去，使学生掌握和领悟科学思想的精髓，尝试和体验科学研究，树立热爱科学的思想，立志成为对社会有用的人。

（一）课程中的普遍规律

常微分方程课程学习的大框架是从一维到多维，从线性到非线性，从方程到方程组，遵循人们从浅入深、从易到难认识事物的一般规律。课程学习的思路从点到面，先学到的是局部，最后掌握的才是全部。比如一阶常微分方程的求解问题，先学习分离变量方程、线性方程、恰当方程等基本方程，再学习可以转化成基本方程的类型，并且理解了能求解的方程只有一部分，还有些方程不能用初等积分法求解，那就要开辟新思路，从而掌握一阶微分方程整体规律。还比如初值问题的逐步逼近法思想，在保证解存在唯一时，虽然求不出精确解，但可以通过迭代一步一步逼近真正解，也是从浅入深的过程。让同学们看到，科学研究就是从简单到复杂不断深入的过程，人生奋斗过程何尝不是这样呢？掌握这些基本思路和规律，不仅对课程的学习有帮助，也对人生目标的理解和规划有指导意义。

（二）课程中的变量变换思想

在常微分方程课程中常用的科学研究方法就是变量变换方法，它几乎贯穿到整个课程教学之中，教会学生正确理解和应用变量变换思想，可以达到事半功倍的效果，对课程的学习和思维方式的养成有重要的指导意义。比如，变量变换方法可以通过适当的变量变换把待求解方程转换成已知类型的方程来求解;齐次方程可以转化为分离变量方程来求解，伯努利方程可以转化为线性方程来求解，非恰当方程可以通过积分因子转化为恰当方程来求解等;欧拉方程是变系数线性方程，它可以引入自变量的指数函数变换化为常系数线性方程求解，而常系数线性方程求解问题又可以转化为代数方程求根问题。这种例子很多，如拉普拉斯变换法求解、一阶隐式方程求解、高阶方程的降阶法、高阶常系数线性方程特征值方法、非线性问题比较原理等都是变量变换法的应用。变量变换的思想还可以指导我们在日常生活和工作中遇到困难时，若换个角度去考虑问题就可能迎刃而解。

（三）课程中的科学猜想思想

科学猜想是一种重要的科学研究方法，它直观、易操作、好理解，给我们探索未知提供了重要思路，在常微分方程课程中也不乏有这样的例子。教师鼓励学生大胆猜想，然后证明推测，或逐步找到问题的本质，从中显现出学生的聪明才智，这对学生的能力也是一种肯定，促使学生自然而然地不断追求真理。

常数变易法是线性非齐次方程求特解的一种方法，借助于对应齐次方程通解结构，将其中的任意常数换成函数来求解的方法，其实蕴含着“先猜想，再证明”的思路。还比如常系数线性非齐次方程求特解的待定系数法，右端函数是多项式与指数函数乘积的形式时，假设它的特解与右端函数有类似的函数形式，然后确实可求得其特解，这个思想既有猜想，又有類比。寻求特殊黎卡提方程一个特解，幂级数解法都是科学猜想法的应用。

三、培养学生胸怀大志的爱国情怀

任何一门科学的目的都是来服务于社会的，数学也是如此。教师要善于发现和联想，关注数学原理与实际问题的关系，提炼出能够承载教学目标的案例，将其有机融入到教学之中，实现教学目标。教师要不断学习新知识，提升自己，更好地适应新的教学环境。

（一）案例“请用数学方法证明毛泽东提出的‘星星之火，可以燎原的论断。”

在学习一阶线性齐次微分方程时，我们设计了一个案例“请用数学方法证明毛泽东‘星星之火，可以燎原的论断。”这个问题的基本原理就是“马尔萨斯人口模型”。做题时，学生查询资料了解到，毛泽东1930年1月15日给林彪的一封信中提到了“星星之火，可以燎原”，批评了当时林彪以及党内一些同志对时局估量的悲观思想，强调新生事物现在虽只有一点小小的力量，但它的发展会很快的，前途是光明的。做这个题目时，不仅温习了课程知识，还学会了用所学理论解决实际问题的建模方法，锻炼了能力，更了解了中国共产党的发展历史、毛泽东思想，坚定了爱党爱国的信心。

（二）案例“2020年初新冠肺炎疫情席卷全球，请结合传染病模型分析中国武汉新冠肺炎病情发展演化规律，并研究中国政府所采取抗疫决策的正确性。”

在学习微分方程组时，我們根据现实热点问题设计了这个题目，是想让学生们结合课程学习解决身边存在的具体问题，锻炼学生的应用意识和创新能力，是具有一定的探索性、研究性和个性化的综合性实例。采取三人一组的讨论形式进行，锻炼同学们团结协作、撰写论文、查阅资料文献等能力。因为这是大家亲身经历的事件，学生们很感兴趣，促使学习传染病模型的相关知识，利用常微分方程定性理论和微分方程近似求解方法分析解决现实问题，让学生们深深体会到所学知识能真正用到实际中解决实际问题，也了解到了中国人民团结抗疫的感人事迹，更看到了中国共产党的政治决策能力，树立爱党、爱国的坚定信念。

（三）案例“求出‘一带一路中任意两个国家和地区间用时最短的路径。”

在学习微分方程的应用时，基于连接两点用时最短路径模型，设计了与“一带一路”倡议相关的题目，这个问题的设计是想让学生们学以致用，理解“一带一路”合作倡议思想，获取“一带一路”沿线国家的地理位置及其经济状况资料，对我国的管理理念——利益共同体、命运共同体和责任共同体有深刻的理解，了解中国在世界范围内的作用与地位，感受到作为中国人的骄傲和自豪，立志努力学习，报效祖国，使我们的国家更加繁荣昌盛。

（四）案例“基于人口模型，分析我国人口老龄化现状，如何应对人口老龄化问题。”

在学习一阶微分方程求解的应用时，根据2021年第七次全国人口普查结果显示，人口老龄化是社会发展的重要趋势，也是今后较长一段时期我国的基本国情。我们设计这个案例，旨在让学生了解中国国情、社会发展现状及国家决策思想，参与社会问题调查研究，树立为社会服务的志向。

（五）案例“学习皮卡逐步逼近序列的构造过程，你受到什么启发？”

在学习解的存在唯一性定理证明的时候，这部分有五个命题，大篇幅的证明会使学生产生疲倦，学习效果也会受到影响，教师适时提出问题：“学习皮卡逐步逼近序列的构造过程，你受到什么启发？”一方面是为了调节课堂气氛和学生情绪，加深印象，另一方面想通过逼近序列构造过程使学生们明白人生奋斗过程也是如此，同时宣传中国共产党的“红船精神”思想。

逐步逼近序列如下：

这是一组函数序列，一步一步逼近真解的过程。同学们回答“心中有目标，奋力前行”“不怕艰难险阻，坚定信念，越来越接近目标”时，教师适时宣传中国共产党的“红船精神”，中国共产党建党一百年发展史就是逐步逼近序列的一个代表例子。不忘初心、砥砺前行，从一叶红船到巍巍巨轮，每一次到岸都是下一次航行的起点，不断地向目标靠近，驶向我们所向往的美好明天。

四、培养团结协作的精神

教师通过组织集体教学活动，使学生之间的交流、师生之间的互动更加频繁，拉近了人与人的距离，建立起了更加深厚的同学情和师生情，加强了学生间的团结协作，增强集体责任感和集体荣誉感，学生在课堂里不仅学习知识，还能体会到人文关怀、团结协作带来的精神力量，更加关爱周围的每个人，热爱班集体，树立集体观念。

（一）分组讨论方式

三人一组的讨论是最常见的互学研究小组，根据教师设计案例和教学目标，可以在课堂进行，也可是课外研究，使学生在解决问题的过程中充分交流，互相取长补短，也能最大化展示个人才能，增进同学之间的友谊。

（二）互纠互改方式

该方式是学生完成了课堂练习（当然是教师精心设计的）后，老师随机安排学生相互批改纠错，并提出点评意见。学生在互改过程中，发现自己的不足，看到了同学的长处，并能给同学提出建议，互相尊重，这种知识的汲取是很直接的、容易接受的，可以提高学习效率，也加深了同学之间的友情。

（三）学生报告会方式

此方式是一种展示学生自我和团结协作的综合性教学活动，三人一组完成教师布置的课外任务。任务一般具有一定难度和挑战性，比如：“从数学建模角度研究三孩政策对女性工作的影响。”做题时间相对较长，完成后除了提交论文，还要在全班范围内汇报，报告会一般由学生自己组织开展，由学生主持人安排和组织报告会进展，教师和学生代表是评委，或特邀嘉宾（辅导教师或其他老师）。这样的报告会不仅要把题做好，论文写好，还要在规定的时间内讲好，做好PPT课件等辅助工作，全方位展示学生学习研究状况和能力。锻炼学生们的学习研究能力、表达能力、写作能力、团结协作能力和面对公众的应变能力，同时展示班集体的精神面貌。

（四）学习比赛方式

学习比赛一般会在课余时间或课程教学结束后的复习课上进行，把复习课活跃起来，把学生的学习积极性调动起来。比如，把学生随机分成几个大组，教师事先准备好比赛题目及分值，如必答题、简答题、抽答题、抢答题、风险题、思考题等，通过比赛的方式帮助学生复习概念和重要的知识点，最后得分最高的组胜出。这个活动不仅考验各组内部的配合和智慧，也展示全班的竞争和互动，激发了学生们的学习热情，增强了集体荣誉感。

新时代下教育理念更加强调课程在人才培养中的核心地位，挖掘课程思政元素，正是把立德树人作为教学的根本目标，对课程进行教学改革，以提升课程的高阶性、创新性和挑战度。课程思政教学研究是一流课程建设的重要组成部分，西北大学常微分方程课程已经被认定为省级第一批线上线下混合式一流本科课程。希望这些做法能对相关课程的教学改革和一流课程建设提供一些参考建议。

参考文献：

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[4]田苗青，郜欣春.常微分方程中比较原理的应用[J].高教学刊，2016（11）：253+255.